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书名:《三角形的五心》 英文书名:
丛书系列: 中外几何经典系列 图书编号:∑51
作者:贺功保 叶美雄 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:9787-5603-2899-7 开本:787mm×960mm 1/16
版次:2009年4月第1版 2009年4月第1次印刷 印张:15.5  字数:277 千字千字
定价:28.00元元 页数:

 

【内容简介】

全书共分6章,包括三角形五心的概念和性质,三角形五心的坐标表示、向量形式及应用,三角形五心间的距离,圆内接四边形中三角形的五心性质及应用,三角形五心性质的综合应用等内容,每章节后配有习题,书后附有习题参考答案。本书适合于初、高中学生,初、高中数学竞赛选手及教练员使用,也可作为高等师范院校、教育学院、教师进修学院数学专业开设的“竞赛数学”课座教材及国家级、省级骨干教师培训班参考使用。

 


  

序  言】

三角形的五心,是三角形的五个特殊点。三角形的三条中线交于一点,该点称为三角形的重心;三角形的三条高交于一点,该点称为三角形的垂心;三角形的三条内角平分线交于一点,该点称为三角形的内心;三角形各边上的垂直平分线交于一点,该点称为三角形的外心,等等。这些点对三角形而言,都有若干重要的性质。例如,内心就是三角形内切圆的圆心,外心就是三角形的外接圆的圆心。1803年,有一个叫克鲁格(Kluegel)的数学家,把上面提到的4个点称之为三角形的“奇特点”。自18世纪至20世纪,许多奇特点、奇特线、奇特圆相继发现,诸如“费马点”、“陪位重心”、“葛尔刚点”、“纳格尔点”、“勃罗卡点”、“等角共轭点”、“欧拉线”、“西姆松线”、“九点圆”、“斯陴克圆”、“泰勒圆”等数不胜数。以至于1914年数学家伯肯(G.Berken)和迈耶(W.Fr.Meyer)在他们撰写的一篇介绍部分奇特点、奇特曲线、奇特圆的文章中,给出了“对于三角形的奇特点和奇特线的研究,构成了三角形几何”的三角形几何的定义。从这可以看出:三角形几何正好就是我们今日所说“平面几何”,平面几何也就是昔日的三角形几何,它所研究的不只是三角形,也包括多边形。因为用联结顶点的直线,便可把多边形割成若干个三角形来研究。

随着时代的变迁,三角形几何走过了它的一段兴盛与衰落时期。1995年《美国数学月刊》刊出了《三角形几何学的兴起,衰落和可能的东山再起:微型历史》一文,全面阐述了“一个被历史的尘埃和灰烬所掩埋的科目能够东山再起吗?”这一饶有意趣的议题,并给出了正面的回答。1998年,中国科学技术大学的常庚哲教授也在《中学数学教学》(1998年第5期)撰写了《“三角形几何”的兴衰和可能的东山再起》的文章,预测三角形几何研究的热潮又会东山再起。他说:一个被历史尘封的学科能东山再起吗?这只有在它前进的过程中伴随着极大的革新才有可能。如今,三角形几何的焦点已经在改变,这种改变是由计算机的产生和发展而引起的。很早以前,人们就清醒地看到:在视觉的、数值的、代数和逻辑符号三个方向上,计算机都提供了数学实验的可能性,提供了进行“机械的”和“自动的”证明的可能性,以及发现新的定理的可能性。机器证明数学定理,应该首先选择简单的定理下手。因此,三角形几何构成了首选的对象。这样,三角形几何又变成了用计算机证明和发现定理的策略的实验基地。

时至今日,国内各类杂志上讨论平面几何问题的文章也如雨后春笋,特别是各类杂志的问题征解栏目中的三角形几何问题也占了较重的分量。国内出版界出版的平面几何书籍也渐渐多了起来。例如笔者就分别在科学出版社出版了《几何课程研究》,在高等教育出版社出版了《中学几何研究》等高校教材,在湖南师大出版社出版了《奥林匹克数学中的几何问题》,在华东师大出版社出版了《三角形――从全等到相似》,《四边形――从分解到组合》,并且这两本书也同时由台湾九章出版社出版。特别是哈尔滨工业大学出版社出版了数十种平面几何书籍,形成了强大的平面几何经典著作系列阵容,呈现出我国出版界的一道亮丽的风景线。

《三角形的五心》这本书,就是这亮丽的风景中的一个景点,这是一位中学数学教师经过多年的研究而汇聚起来的成果。书中介绍了他如何从基本的、平凡的知识学起,如何从三角形的五心的有关性质去探索有关几何问题的妙解,使我们在阅读时,会有似曾相识的感触,甚至可以问自己,我学到这些知识时会发现这种妙解吗?面对一个又一个思路别致,风格迥异的求解思路,我们能否考虑:还能找出一种新的思路吗?几何学的奥妙,研究的课题是无穷无尽的,善读者,乐思者必有所发现,而本书正好为我们提供了乐思善读的丰富经验和模仿练习的众多良机。

三角形的五心,这不多的基本知识,运用起来变化却很多。用得好,可帮你解决不少问题。学习平面几何,就是这么个过程,由多而少,由少而多,开始学新东西,眼花缭乱,觉得内容很多,学多了,想透了,你会发现,基本的东西,关键的东西并不多,抓住五心,就都串连起来了。牢固的基础知识,熟悉的图形基本性质,是我们能够翱翔在平面几何空间的首要条件,希望读者们拿起笔和纸,亲自研究一下五心有趣的性质和运用的想法,因为这些想法将促使我们进一步去寻根究底。学习平面几何与锻炼身体一样,绝不是旁观者的活动。数学史中许多最重要的进展往往是由敏锐的几何洞察力的飞跃所致。面对三角形几何这笔丰厚的遗产,我们应牢记数学家HG・费德说过的话:“谁看不起欧氏几何,谁就好比是从国外回来看不起自己的家乡。”最后借用叶中豪先生的一句话作为结束语吧!

“愿几何世界中的瑶草琼花迎风绽放,来点缀美丽芬芳的数学百花园。”��

���

沈文选

2009318日于长沙

 

 


  

【目  

1  三角形五心的概念和性质  //  (1)

1  三角形外心的概念和性质  //  (1)

2  三角形垂心的概念和性质  //  (12)

3  三角形重心的概念和性质  //  (36)

4  三角形内心的概念和性质  //  (48)

5  三角形旁心的概念和性质  //  (79)

6  众心关联和众心共图  //  (91)

2  三角形五心的坐标表示、向量形式及应用  //  (109)

1  三角形五心的坐标表示及应用  //  (109)

2  三角形五心的向量形式及应用  //  (118)

3  三角形五心间的距离  //  (145)

4  圆内接四边形中三角形的五心性质及应用  //  (159)

5  三角形五心性质的综合应用  //  (180)

6  平面几何中的几个重要定理  //  (212)

参考答案  //  (220)

参考文献  //  (235)

   
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