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书名:《平面几何证明方法全书》 英文书名:
丛书系列: 中外几何经典系列 图书编号:∑1
作者:沈文选 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-2215-5 开本:787mm×960mm 1/16
版次:2005年9月第1版 2005年9月第1次印刷 印张:31.5  字数:547千字千字
定价:35.00元元 页数:

 

作者简介

沈文选  男,1948年生。湖南师范大学数学与计算机科学学院教授,硕士生导师,湖南师范大学数学奥林匹克研究所所长,中国数学奥林匹克高级教练,是湖南数学奥林匹克培训的主要组织者与授课者(湖南中学生已获得国际数学奥林匹克金牌10块,银牌2)。已出版《竞赛数学教程》、《奥林匹克数学中的代数问题》、《奥林匹克数学中的几何问题》、《奥林匹克数学中的真题分析》等数学竞赛著作10余部,在《数学教育学报》等杂志上发表《奥林匹克数学研究与数学奥林匹克教育》、《奥林匹克中的几何问题研究与几何教学探讨》等数学竞赛论文40余篇,多年来为全国初、高中数学联赛,数学冬令营提供试题20余道,是1997年全国高中数学联赛、2002年全国初中数学联赛、2003年第18届数学冬令营等命题组成员。长期从事数学奥林匹克教育研究、中学数学教育研究、初等数学研究,并出版学术著作近20部,发表论文200余篇。任全国初等数学研究协调组成员、全国高师教育研究会常务理事、全国教育数学研究会常务理事、《数学教育学报》编委、湖南省高校数学教育研究会理事长、湖南省数学会中学数学专业委员会副主任、《现代中学数学》常务副主编等。

 


 


 

内容简介

全书共分三篇。第一篇介绍了21种平面几何证明方法;第二篇介绍了14种常见问题的求解思路;第三篇介绍了几何图形的基本性质,如三角形中的巧合点问题、三角形中的数量及位置关系问题等。本书在归纳、总结平面几何的概念、定理、公式的基础上,更贴近数学竞赛的命题方向、命题内容。适合于优秀初高中学生尤其是数学竞赛选手、初高中数学教师和中学数学奥林匹克教练员使用,也可作为高等师范院校、教育学院、教师进修学院数学专业开设的“竞赛数学”课程教材及国家级、省级骨干教师培训班参考用书。

内容全面新颖   方法典型多样

体系严谨合理   题解详细清晰

 


   


前  言

谁看不起欧氏几何,谁就好比是从国外回来看不起自己的家乡。

――H. G. 费德

平面几何,在数学里占有举足轻重的地位。在历史上,《几何原本》的问世奠定了数学科学的基础,平面几何中提出的问题,诱发出了一个又一个重要的数学概念和有力的数学方法;在现代,计算机科学的迅猛发展,几何定理机器证明的突破性进展,以及现代脑心理学的重大研究成果――“人脑左右半球功能上的区别”获诺贝尔奖,使得几何学研究又趋于复兴活跃。几何学的方法和代数的、分析的、组合的方法相辅相成,扩展着人类对数与形的认识。

几何,不仅仅是对我们所生活的空间进行了解、描述或解释的一种工具,而且是我们为认识绝对真理而进行的直观可视性教育的合适学科,是训练思维、开发智力不可缺少的学习内容。青少年中的数学爱好者,大多数首先是平面几何爱好者。平面几何对他们来说,同时提供了生动直观的图像和严谨的逻辑结构,这有利于发掘青少年的大脑左右两个半球的潜力,促使学习效率增强,智力发展完善,为今后从事各类创造活动打下坚实的基础,其他学科内容是无法替代的。正因为如此,在数学智力竞赛中,在数学奥林匹克中,平面几何内容占据着十分显著的位置。平面几何试题以优美和精巧的构思吸引着广大数学爱好者,以丰富的知识、技巧、思想给我们的研究留下思考和开拓的广阔余地。

如果我们把数学比做巍峨的宫殿,那么平面几何恰似这宫殿门前的五彩缤纷的花坛,它吸引着人们更多地去了解数学科学,研究数学科学。

数学难学,平面几何难学,这也是很多人感受到了的问题,这里面有客观因素,也有主观因素,有认识问题,也有方法问题。学习不得法也许是其中的一个重要的根源。要学好平面几何,就要学会求解平面几何问题。如果把求解平面几何问题比做打仗,那么解题者的“兵力”就是平面几何基本图形的性质,解题者的“兵器”就是求解平面几何问题的基本方法,解题者的“兵法”就是求解各类典型问题的基本思路。如果说,装备精良“兵器”,懂得诸子“兵法”,部署优势“兵力”是夺取战斗胜利的根本保证,那么,掌握求解平面几何问题的基本方法,熟悉各类典型问题的基本思路,善用基本图形的性质,就是解决平面几何问题的基础。

基于上述考虑,我积多年的研究成果,并把我陆续发表在各级报刊杂志上的文章进行删增、整理、汇编,还参阅了近几年各类报刊杂志上关于平面几何解题研究的文章,著成了这本《平面几何证明方法全书》。

全书每章各节开头都是低起点,以便让广大数学爱好者能轻松入门,能较快地进入角色。全书所安排的近500道例题都是比较典型的平面几何问题,不仅有多种解法,而且有多级梯度,覆盖面广,即使高等师范院校的数学教育专业的学生,甚至是参加全国数学冬令营的学生,阅读之后也会有较大收益的。在每章的后面安排了大量的习题,以提供实战的场地,并进行针对性练兵,其中一些也是有关章节内容的补充。

限于作者的水平,书中的疏漏之处在所难免,敬请读者批评指正。

 

沈文选

20057月于长沙

 

 


 


【目

第一篇  装备精良“兵器”――掌握基本方法

第一章  分析法  综合法

一、分析法

1.选择型分析法

2.可逆型分析法

3.构造型分析法

4.设想型分析法

二、综合法

1.分析型综合法

2.奠基型综合法

3.媒介型综合法 

4.解析型综合法

练习题1.1

第二章  反证法  同一法

一、反证法

1.什么是反证法

2.何时用反证法

3.怎样用好反证法

二、同一法

1.什么是同一法

2.怎样用好同一法

练习题1.2

第三章  面积法

一、面积法解题的基本依据

1.几个面积公式

2.几个常用的等积变形定理

3.几个常用的面积比定理

4.几个重要结论

二、面积法的解题方式

1.解面积问题

2.解非面积问题――证教材中定理

3.解非面积问题――求解各类问题

练习题1.3

第四章  割补法

一、挖掘题设内涵,进行图形割补拼凑重组

1.既割又补,探其奥妙

2.多次割补拼凑重组,大开眼界

3.多种割补,解法多多

二、根据题设特征,巧补各类图形 

1.补出三角形

2.补出直角三角形

3.补出等腰三角形

4.补出正三角形

5.补出平行四边形或梯形

6.补出矩形或正方形

7.补出正多边形

8.补出圆

9.补对称图

三、分析题设结构,善用出入相补

练习题1.4

第五章  代数法

一、适时使用计算手段

1.直接计算

2.进行代换后计算

3.应用公式转化后计算

二、巧妙借助代数模型

1.借助函数模型 

2.借助方程模型 

3.借助方程组模型 

4.借助不等式模型

5.借助多项式模型

练习题1.5

第六章  参量法  三角法

一、参量法

1.引入线段参量

2.引入线段比参量

3.引入面积参量

4.引入角参量

二、三角法

1.显式问题

2.隐式问题

练习题1.6

第七章  几何变换法

一、合同变换法

1.平移变换

2.轴反射变换

3.旋转变换

4.中心对称变换

二、相似变换法

1.图形的相似

2.位似变换

3.位似旋转变换

三、等积变换法

四、反演变换法

1.求解直线与圆、圆与圆的相切问题

2.证明点共圆、点共直线

3.求解线段关系式

4.证明角相等 

5.求解其他问题

练习题1.7

第八章  坐标法

一、平面直角坐标

二、平面极坐标

三、平面斜(仿射)坐标

四、面积坐标(重心坐标)

练习题1.8

第九章  向量法

一、向量的有关基础知识

二、向量法解平面几何问题的方式与技巧

1.善于运用向量线性运算及性质

2.善于运用向量的三角形不等式 

3.善于运用向量的数量积

4.善于运用向量的矢量积 

练习题1.9

第十章  复数法

一、基本几何量的复数表示及基本结论

二、复数法运用的方式与技巧

1.用向量法求解的问题也可用复数法求解 

2.运用复数知识可有多种解法

3.灵活运用复数知识求解各类问题

练习题1.10 

第十一章  射影法

一、作出点的射影,显现求解媒介量

二、运用射影定理,转化求解关系式

三、善用平面射影变换,巧解各类问题

1.射影变换的基本知识 

2.射影变换解题举例 

练习题1.11

第十二章  消点法

练习题1.12

第十三章  物理方法

一、运用力学原理 

1.重心原理

2.力系平衡原理

二、运用光学原理

练习题1.13

第十四章  完全归纳法  数学归纳法

一、完全归纳法

二、数学归纳法

练习题1.14

第二篇  懂得诸子“兵法”――熟悉基本思路

第一章  线段相等问题的求解思路

一、注意到三角形中等角对等边

二、注意到特殊多边形的性质

三、注意到全等三角形的对应边相等

四、注意到圆中的等弧(圆周角)对等弦

五、注意到线段中垂线、垂径分弦等性质

六、注意到成比例线段间的数量关系

七、进行计算、代换等来转换求解

八、注意运用边比定理、张角定理等求解

九、运用结论“梯形两腰延长线的交点与对角线交点的连线平分上下底”证线段相等

十、注意到面积方法的运用

十一、注意到其他方法的运用

练习题2.1

第二章  角度相等问题的求解思路

一、注意到全等多边形的对应角相等

二、注意到相似多边形的对应角相等

三、注意到特殊多边形(如等腰三角形、等腰梯形、平行四边形等)的性质

四、注意到角的平分线定义与性质及多边形内心性质求解

五、注意到圆中的几类角间的关系

六、运用计算或转换求解

七、注意到三角形内角平分线性质定理的逆定理求解

八、运用三角函数关系式求解

九、运用几何变换(平移、对称、旋转、相似、位似)求解

十、运用其他方法求解 

练习题2.2 

第三章  直线平行问题的求解思路

一、注意到内错角相等

二、注意到同位角相等

三、注意到两直线与第三条直线都垂直(或平行)

四、注意到两直线上的线段构成平行四边形的一组对边

五、注意到两直线上的线段是三角形(或梯形)的中位线与底边

六、注意到三角形一边的平行线的判定定理或平行线分线段成比例定理的逆定理

七、注意到同圆中夹等弧且无交点的两弦(或一弦与一切线)平行的事实

八、注意到过相交(或相切)两圆交点分别作割线交两圆于四点,同一圆上的两点的弦互相平行的事实

九、注意到同底等面积的两三角形的底边与同侧另两对应顶点所在直线平行的事实

练习题2.3

第四章  直线垂直问题的求解思路

一、注意到相交成直角的两直线垂直

二、注意到相交得邻补角相等的两直线垂直

三、注意到直径所张圆周角两边垂直

四、注意到如果一条直线和两条平行线中的一条垂直,则也和另一条垂直

五、注意到分别与两互垂的直线平行的直线垂直

六、注意到等腰三角形的性质

七、注意到三角形的垂心性质

八、注意到菱形对角线互垂的性质

九、注意到同圆中夹弧和为半圆周的相交两弦垂直

十、注意到与直角三角形相似对应于直角的角的两边垂直

十一、注意到分别为两边对应垂直的两个相似三角形的第三边也互相垂直

十二、注意到证明两线段垂直的一种计算方法

十三、注意到勾股定理的逆定理

十四、注意到同一法(或反证法)等方法的运用

练习题2.4

第五章  点共直线问题的求解思路

一、欲证XYZ三点共线,连结XYYZ,证明∠XYZ=180°

二、欲证XYZ三点共线,适当地选一条过Y的直线PQ,证∠XYQ=PYZ

三、欲证XYZ三点共线,适当地选一条过X的射线XP,证∠PXY=PXZ

四、欲证XYZ三点共线,连接XYYZ(XZ),证其都垂直(或平行)于某直线

五、欲证XYZ三点共线,证XY+YZ=XZ

六、欲证三点共线,证其中一点在连结另两点的直线上

七、欲证三点共线,适当地选取位似中心,或证它们的象共线,或证它们以其中一点为位似中心,另两点为一双对应点

八、运用面积方法证三点共线

九、运用张角公式证三点共线

十、运用梅涅劳斯定理之逆定理证三点共线

十一、运用有关结论证三点共线

练习题2.5

第六章  直线共点问题的求解思路

一、先设其中的二直线交于某点,再证这个交点在第三、第四……条直线上

二、欲证直线l1l2,…,lk共点,先在li上取一特殊点,再证其余直线都过此点

三、设法证两两相交直线的交点重合

四、运用三角形的巧合点(内心、外心、垂心、重心、旁心等)证直线共点)

五、注意到特殊图形或多边形的中心的性质,证直线共点于图形中的特殊点

六、运用旋转、轴反射等变换的保结合性证明直线共点

七、运用位似图形的对应顶点的连线必过位似中心证直线共点

八、运用塞瓦定理之逆定理证直线共点

九、运用斯坦纳定理之逆定理证直线共点

十、运用根心定理证直线共点

十一、运用解析法证直线共点

十二、运用反证法等其他方法证直线共点

练习题2.6

第七章  点共圆问题的求解思路

一、注意到圆的定义:若n(n4)个点与某定点的距离都相等,则这n个点共圆

二、注意到若线段ACBD相交且∠ACB=ADB,则ABCD共圆;线段的同侧张角相等时,其张角顶点与线段端点共圆

三、注意到若凸四边形中有一组对角互补,则它的四个顶点共圆

四、注意到若凸四边形的一个外角等于它的内对角,则四边形的四个顶点共圆

五、注意到相交弦定理、割线定理、切割线定理的逆定理的运用

六、注意到托勒密定理的逆定理的运用

七、注意到矩形、等腰梯形四顶点是共圆的

八、利用与有外接圆的多边形相似的多边形的顶点共圆

九、欲证多点(多于四点)共圆,先证四点(或四点以上)共圆,再证其余的点也在这个圆上

十、欲证多点共圆,先分别证几组点共圆,再证这几个圆重合(至少有三点共圆)

十一、运用同一法等其他方法证四点共圆

练习题2.7

第八章  圆共点问题的求解思路一、证诸圆均过图形中的某一个特殊点

二、证其中两圆的某一交点在其他各圆上

练习题2.8

第九章  几何定值、定位问题的求解思路

一、定值问题

1.取特殊位置探猜,在一般位置论证

2.取极端位置探猜,在一般位置论证

3.利用有关公式直接计算

4.运用有关结论推导计算

5.借助于其他方法(如割补法、复数法、坐标法等)和工具(如多项式等)推导计算

二、定位问题

1.特殊位置定位,一般位置论证

2.变中寻定

3.转化为求解定值问题,由定值定位置

4.运用有关公式及结论推导论证

三、隐性定值、定位问题

练习题2.9

第十章  几何极()值问题的求解思路

一、注意到图形中的特殊点

二、注意到图形中元素间相互特殊关系

三、引入变元,利用二次函数的极值性求解

四、构造二次方程,利用判别式来求解

五、引入三角函数,利用三角函数的极值性求解

六、引入参量,利用不等式来求解

七、灵活运用等周定理等有关结论

练习题2.10

第十一章  几何不等式的求解思路

一、充分利用关于不等的熟知的几何结论

二、运用放缩,将不等式转化为等式求解

三、用三角函数表示有关几何量,借助三角函数的增减性、有界性求解

四、用参量表示有关几何量,借助于代数不等式求解

五、借助于著名的几何不等式求解

六、三角形不等式的几种特殊求解思路

1.巧用统一代数替换

2.巧用边的对称齐次多项式性质

3.注意到三角形不等式的等价变形

4.巧用三角函数形式的相关关系

5.利用母不等式,巧取特值

6.灵活运用变换原则

练习题2.11

第十二章  点的轨迹、作图问题的求解思路

一、轨迹问题

1.第Ⅰ型轨迹问题要从两方面证明

2.第Ⅱ型轨迹问题既要探求,又要从两方面证明、讨论

3.第Ⅲ型轨迹问题关键在于探求,探求时可从描迹、条件代换、几何变换、几何动态、运用解析法等诸方面去考虑

二、作图问题

1.代数法

2.交轨法

3.三角形奠基法

4.变换法

练习题2.12

第三篇  部署优势“兵力”――善用基本性质

第一章  三角形中的巧合点问题

一、三角形外心的基本性质及应用

二、三角形垂心的基本性质及应用

三、三角形重心的基本性质及应用

四、三角形内心的基本性质及应用

五、三角形旁心的基本性质及应用

六、三角形外、内、重、垂、旁心之间的关系及应用

1.三角形“五心”的直角坐标

2.三角形“五心”间的相互位置关系

3.三角形“五心”间的距离公式

4.三角形“五心”的有关线段关系式

七、三角形界心的基本性质及应用

八、三角形费马点的基本性质及应用

九、三角形勃罗卡点的基本性质及应用 

练习题3.1

第二章  几类三角形中的数量及位置关系问题

一、直角三角形中的一些数量、位置关系及应用

二、三角形三边所在直线上的定比分点三角形的一些面积关系式及应用

三、莫莱(Morley)三角形的一些数量、位置关系

练习题3.2

第三章  四边形中的一些数量、位置关系

一、凸四边形

二、折四边形 

练习题3.3

第四章  与圆有关的几类问题

一、圆的内接、外切凸n(n4)边形问题

二、圆的内接凸四边形问题

三、双圆四边形

四、三角形的半外切圆与半内切圆

五、圆与圆的位置关系中的一些问题

练习题3.4 

第五章  关联正多边形的问题

一、关联的正三角形

二、关联的正方形

练习题3.5

附录Ⅰ 几何题究竟是怎样证明的

附录Ⅱ  塔克图形

附录Ⅲ  数学奥林匹克中的几何问题研究与几何教学探讨

封面图形说明

参考文献

 

 


 


编辑手记

平面几何是惟一一门可以难倒世界上任何一位著名数学家的初等数学课程。大几何学家陈省身曾多次公开声明他解不出数学竞赛中的几何题。1991年在华东师范大学的一次讲座上,我亲耳听到这样的话,这不是自谦,是事实,是所有学过平面几何并曾为解不出题目而苦恼的人的共识。

人们对几何学的认识不尽相同,但对平面几何学的教育功能的认识却相当一致。1978427日,陈省身先生在美国加州大学伯克莱分校做了一个“教授会研究报告”。其中他谈到了这个问题:“对于“几何”这个词的含义,不同的时期和不同的数学家都有不同的看法。在欧几里得看来,几何是由一组从公理引出的逻辑推论组成,随着几何范围的不断扩展,这样的说法显然是不够的。1932年,大几何学家O.维布伦(VeblenOswald18801960)J. H. C.怀特海德(WhiteheadJohn Henry Constantin19041960)说:‘数学的一个分支之所以称为几何,是因为这个名称对于相当多的有威望的人,在感情和传统上看来是好的。'这个看法,得到法国大几何学家E.嘉当(Cartan, Elie Joseph, 18691951)的热情赞同。一个分析学家,美国大数学家G.伯克霍夫(Birkhoff, George David, 18841944)谈到了一个‘使人不安的隐忧:几何学可能最后只不过是分析学的一件华丽的直观外衣'。最近我的朋友A.韦伊(Weil, Andre, 19061998)说:‘从心理学角度来看,真实的几何直观也许是永远不可能弄明白的。以前它主要意味着三维空间中的形象的了解力。现在高维空间已经把比较初等的问题基本上都排除了,形象的了解力至多只能是部分的或象征性的。某种程度的触觉的想像也似乎牵涉进来了。'

虽然几何不易说清,但平面几何的教育功能却是显著的。美国著名经济学家米尔顿・弗里德曼曾回忆其中学的一位政治学教师叫科恩,当时教一门叫“公民学”(Civics)的课程,另外还教“欧氏几何学”。时隔70年后弗里德曼还记得当时的证明(见《两个幸运的人――弗里德曼回忆录》,中信出版社,2004)。在丹尼斯・奥弗比著的《恋爱中的爱因斯坦》(世纪出版集团)中记叙了一位爱因斯坦家的常客当时在慕尼黑的大学里学医的一个波兰人塔尔梅(Max Talmey)。他送给了爱因斯坦一本平面几何书。在爱因斯坦的后半生,他都把它当做“圣”书。“这在他的头脑中点燃了一把数学之火。阿尔伯特在这门学科中已经成了内行,他向他的妹妹吹嘘说,他已找到了毕达哥拉斯定理的原始证明。

平面几何一直在中学数学中占有重要位置。出版界也对其相当关注,解放前严济慈先生曾用《几何证题术》这本小册子的稿费赴法留学。其后的几十年,许纯舫、梁绍鸿、朱德祥几位平面几何大家的著作一直“统治”着中学数学界,从与时俱进的角度看应该有新的著作问世了。但近几年来出版的几何书总令人有种“求之不得,得之不求”的感觉,希望这本书的出版能有所改观。

沈文选先生是我的老作者,功底深厚,学问扎实,为人纯朴,既有高校背景又有中学实践,在平面几何研究者中颇有影响,叶中豪先生是我的书友,上海十大藏书家,毕业于复旦大学,是当年上海市高中数学竞赛的优胜者,在数学界属于“无名有品,无位有尊”之人。他的长文原是为我筹办的杂志《数学奥林匹克与数学文化》所做,但由于刊号问题久未刊出,所以“委屈”一下收为附录。田廷彦先生也是竞赛界的“域外高手”,解起IMO试题是“手起刀落”令人惊诧,经常给我提出令我无法解答的难题,想必思维一定有过人之处。他们文章也是应约而做,收为附录,望能理解。

近几十年来国家领导人对数学教育宏观上很重视,微观上江泽民在参观澳门濠江中学提出一个平几问题引起了不小波澜,这是一个有趣的问题,也是一个亮点,将其设计为封面有些创意。

哈师大附中刘利益老师,郭城、张一木同学帮助校对了手稿,在此表示感谢。

李广鑫编辑对书稿进行了认真细致的加工,时值盛夏,酷热难耐,挥汗如雨,敬业精神实在可佳。

廖廖数语,谨以为记。

 

刘培杰

2005830






   
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