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书名:《初等微分拓扑学》 英文书名:Elementary differential topology
丛书系列: 欧美数学经典著作译丛系列 图书编号:∑182
作者:[美]曼克勒斯著 李培信译 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-3638-1 开本:787mm×1092mm 1/16
版次:2012年7月第1版 2012年7月第1次印刷 印张:6  字数:110千字千字
定价:18.00 元元 页数:85

 

【内容提要】

本书讲述微分拓扑学、特别是它的几何方面的基本内容,不涉及代数拓扑的结果与方法.全书共分两章,第一章微分流形,讲述了有关微分流形的一些经常用而不证的基本事实的证明;第二章微分流形的剖分,讲述光滑部分的存在性和唯一性.书中在每一个基本概念或定理之后都有习题和问题,便于读者思考.

本书可供高等学校数学系拓扑专业作为教学参考书.

 


   

【序】

可以说,微分拓扑学是研究微分流形在微分同胚下保持不变的各种性质的.这个领域内的问题,是由于研究流形的拓扑结构,组合结构以及微分结构之间的相互联系而产生的.可是,它们并不涉及联络、测地线、曲率等一类概念,因此这门学科与微分几何应该有所区别.

这一分支,由于H.Whitney, S.S.Cairns, J.H.C.Whitehead等人的工作,在20世纪30年代取得了特殊的发展.晚近,随着J.Milnor, R.Thom, S.Smale, M. Kervaire以及其他作者的工作而有了新的进展.当然,后期的工作是依赖于前期的,但在处理上大不相同,特别是它利用了代数拓扑的结果与方法.前期的工作在本质上是更多地属于纯粹几何的,因而在某种意义下较为初等.

以数论来打个比方,如果数论里把一个定理称为初等的,则它的证明没有用到复变函数的理论,否则这个证明就称为非初等的.按照这种理解,“初等”一词并不反映证明的难易,初等证明常常比其他的证明更为困难.

我们所谓微分拓扑的初等部分,也就有类似的意义.这就是本书的主题.

因为我们的定理和证明(除了很少的例外)都不涉及代数拓扑,我们希望读者具有下面的基础知识:多元函数的微分学和有关的线性代数、点集拓扑以及第二章用到的单纯复形的几何(不是代数).除了这些课题外,本书力图独立自主.

读者不会发现本书写得特别精致.尽管如此,我们并不企求把任何证明都写成像一个定型的工作,甚至这个主题的最初等部分也是这样.说得更确切一些,我们的希望宁愿是提供一本札记,使读者能够由此得到微分拓扑,至少在它的几何方面的一些感性知识.为了这个目的,有必要让读者通过分散在书中各处的习题和问题来勤于思考,它们是按照这个目的细心挑选的.

“问题”一词用来指一种练习,无论是它的结果本身,抑或是它的证明,都是特别有趣或困难的.那些对主题的逻辑连贯性来说并不重要的问题和练习,都记上一个星号.

关于微分流形有一些经常用而不证的基本事实,本书的第二个目的就是要提供一些比以前更易接受的证明.第一章的大多数定理,粗言之,都是说:任何一个结果,它对无穷可微的流形和映射成立,那么对可微性的次数稍小时也成立.这些定理的证明某些时候是所谓“口头文献”的一部分.只是近来才有人把它们写下来(8]和[9)(Whitney关于解析流形的更强的定理,要求特别不同的证明,可以在他的经典文章[15]中找到).

就某种意义而言,这些结果本身是消极的,因为它们断定C1流形和C流形之间没有出现什么真正有意义的东西.但是它们的证明,至少片面地对于其所含的技巧来说,仍然是有价值的.

第二章用来证明微分流形的光滑剖分的存在性与唯一性.这方面我们根据J.H.C.Whitehead的工作[14]稍加修饰而成.这一结果本身是微分拓扑最有用的工具之一,同时它所包含的技巧,对任何研究流形的组合结构与微分结构的人都是重要的.如果读者的主要兴趣在于剖分,就可以略去§4、§5、§6而不致影响连贯性.

Milnor 1958年在Princeton的微分拓扑讲义相比较,除了必需的以外,我们有意识地尽力避免过多的重复.正因为如此,我们略去了Whitney嵌入定理的证明,而满足于较弱的一个.

我们希望在本书与Milnor的讲义之间,读者会找到一些有用的相互补充.

 

 

曼克勒斯

 

 


  

【译者附言】

微分拓扑学是研究微分流形与微分映射的学科.它的最初思想归于H.Poincaré,当时他所谓的拓扑学就是现在的微分拓扑学.20世纪30年代由于H.WhitneyS.S.Cairns等人的工作,微分拓扑学得到了进一步的发展.而近十多年来的发展特别迅速.一方面是新理论的创立,如Thom的配边理论(cobordism theory)Milnor的纤微丛理论(microbundle theory).另一方面是几乎每年都有一些原来看成高不可攀的著名古典问题得到了解决,例如球面可以具有许多种不同的微分结构,而且在许多场合我们能够计算它们的种数(Milnor-Smale);有这样的拓扑流形存在,它们根本没有微分结构(Kervaire)Haupt-Vermutung(主要推测)已被否定(Mazur-Milnor)H.Poincaré猜想除了三维和四维的情形外已被证明(Smale-Stallings),等等.

由于这个学科和分析的紧密联系,看来它将成为拓扑学中的一个主流.

目前关于微分流形方面的书籍还比较少,在仅有的几本书中,J.R.Munkres的书是有它自己的特色和优点的.本书对基本概念不仅分析得细致清楚,而且写得精练.既介绍了一些基本结果,又介绍了微分拓扑学中常用的一些技巧,如光滑化引理,管状邻域等,同时内容安排却很紧凑.另外,在每讲一基本概念或基本定理之后都附有习题.它是本书的有机部分,使读者能够更深一步来理解所讲的内容.译者1963年在中国科学技术大学给数学系四年级几何拓扑专业同学讲微分流形一课,曾将本书的一部分译出作为教材,在教与学的过程中感到本书是一本有价值的书,因此冒昧地介绍给国内读者参考.

 

李培信

196410月于北京

  


   

【目  录】

第一章  微分流形  1

  §1  引言  1

  §2  子流形和嵌入  10

  §3  映射和逼近  14

  §4  映射的光滑化和流形的光滑化  24

  §5  有边流形  30

  §6  流形的倍流形的唯一性*  41

第二章  微分流形的剖分  46

  §7  胞腔复形和组合等价  46

  §8  复形的浸入和嵌入  51

  §9  映射f导出的割映射  59

  §10  嵌入复形的相处  64

参考文献  71

名词索引  72

编辑手记  76

 

 


  

【编辑手记】

1698年,意大利哲学家维柯通过竞选方式赢得了那不勒斯大学的修辞学教授职位,这职位的正式职责就是要求他在每年的1018发表一篇新学年开学典礼演说.17321018,维柯发表了大学开学典礼第九篇演讲《论英雄心灵》,在这个演讲的开篇维柯就告诉高贵的青年学子们:

“在科学研究中你们所要注意的是,千万不要以追求财富的积累为目的,这样即便平庸粗俗之人也能轻易打败你们;也不要以名誉和权势为目的,因为军人和法官将会远远地胜地你们;最后,也不要像哲学家那样,他们迷失于纯粹自身的求知欲中,人人隐逸,终身埋葬于幽暗之中,以使其精神享受着安逸宁静.对你们有远为高尚的要求和期望.这种要求和期望乃是在学问研究领域辛勤耕耘,并以此来展现你们的英雄心灵,培养为人类谋福利的智慧.

今天的大学生该怎样读书?读什么书!这已经是一个社会问题了,是读成功学、心灵鸡汤、厚黑学.还是考什么四六级证,各种职业资格证,还是上淑女班,琢磨如何变成“白富美”,嫁一个“高富帅”,还是利用大学的宝贵时光啃几部毕生都能用到的世界名著.其实人生虽漫长,但每个时段最适合做什么都是有规初等微分拓扑学律的.高晓松因酒驾进了看守所才开始读早就有计划要读的《大英百科全书》.年近四十能记住多少就很可疑了,而华罗庚先生带青年研究人员时,往往是直接指定一本原版名著然后就全靠自己了.而这本名著可能就会影响你的一生.

本书就是这样一本名著.

曾任复旦大学外文学院院长,中国第一位在国际莎学讲坛上发表论文的陆谷孙在口述其世界观时说:

不要把自己当作了不起的存在,你不过是整个世界很微小的一个粒子,生命本身是种偶然,个体的to be,or not be(生或死)实在不会在时空长河留下什么影的.

本书的译者李培信先生在数学界是一个有身后影响的人.他是《数学译林》和《中国数学会通讯》的编委.最近刚刚去世,此时出版本书也算是对这位数学前辈的一种纪念.

中央美术学院美术馆馆长王璜生有一个理论,他说:

 “很多事不是等条件充分了才去做,而应该做就去做.所以必须有两套架构,有钱是有钱的做法,没钱是没钱的做法.万一我找不到钱,照样能做得漂漂亮亮,如果找到钱,那就做更好更夸张.

数学著作的出版也是如此,有基金资助会做得漂亮.没资助也做得平实.

本来在策划本书出版时是因其有较高的出版价值,在出版过程中有幸得到黑龙江省精品图书出版工程的资助,所以我们更要将其做好.

 

刘培杰

2012711

于哈工大


   
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