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书名:《线性偏微分方程讲义》 英文书名:
丛书系列: 欧美数学经典著作译丛系列 图书编号:∑110
作者:[美]尼伦伯格著 陆柱家译 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-3224-6 开本:787mm×1092mm 1/16
版次:2011年3月第1版 2011年3月第1次印刷 印张:4.75  字数:83 千字千字
定价:18.00元元 页数:

 

【作者简介】

尼伦伯格 纽约大学Courant(柯朗)数学科学研究所(CIMS)荣誉退休教授。1925225日出生于加拿大安大略省汉密尔顿市。1945年在加拿大麦吉尔(McGill)大学获得学士学位,之后他来到纽约大学,在James Stoker(斯托克)的指导下于1947年获得硕士学位,于1949年获得博士学位。此后,尼伦伯格成为纽约大学的教员。他是CIMS的创始成员之一。他在CIMS度过了他全部学术生涯,并于1999年从那里退休。

由于尼伦伯格在偏微分方程方面的工作,他于1959年获得美国数学会的Bcher奖;1987年获得加拿大数学会的Jeffrey-Williams奖;1994年获得美国数学会的Steele终身成就奖。他是Crafoord数学奖的第一个得主,该奖由瑞典皇家科学院于1982年设立;1995年尼伦伯格获得美国国家科学奖章,这是美国科学界的最高荣誉。

 

陆柱家19436月出生于上海。中国科学院数学与系统科学研究院研究员。

1960年从上海市卢湾中学毕业后考入中国科学技术大学,1965年毕业于中国科学技术大学数学系,同年分配到中国科学院数学研究所工作。1982年至1984年公费派至美国伯克利加州大学数学系进修,为访问学者。1993年起享受国务院颁发的政府特殊津贴。19953月起任中国科学院数学研究所业务处处长,199812月中国科学院数学与系统科学研究院成立后任该研究院科研处处长。

在国内外数学杂志上发表了20余篇研究论文(包括与人合作的)。曾任国家图书馆第一届、第二届和第三届专家咨询委员会委员,全国自然科学名词审定委员会数学名词审定委员会委员,北京市数学会常务理事、学术委员会主任,中国科学院数学与系统科学研究院主办的杂志《数学译林》的责任编委,美国《数学评论(Mathematical Reviews)》评论员。是中国数学会会员,美国数学会会员。现任《数学译林》副主编,北京市数学会理事。

 

 


  

内容简介

本书共分两章:第Ⅰ章论述一个颇为古典的问题,即通过适当的自变量变换,把(一阶)算子组化为像Cauchy-Riemann方程组这样简单的典则形式;第Ⅱ章致力于一些现在已被证明是如此有用的工具,即拟微分算子,以及广义函数波前集(或奇谱)的概念,并介绍了它们的几个应用.本书适合数学爱好者以及线性偏微分方程的研究者和有关方面的专家参考使用。

 

 


  

【目  录】

    1

第Ⅰ章  化一阶算子组为典则形式的方法  3

1.  一阶方程  3

2.  齐次方程  7

3.  高维空间中的齐次方程  11

4.  几乎(almost)复结构的可积性  15

第Ⅱ章  拟微分算子及其某些应用  20

5.  拟微分算子  20

6.  有关Cauchy问题唯一性的Calderón定理和一个推广  29

7.  Cauchy问题的唯一性()  36

8.  波前集和奇性的传播  43

9.  次特征和奇性在边界处的反射  48

参考文献  58

编辑手记  61

 

 


  

【编辑手记】

《深圳商报》曾举办过一次“2009年度十大好书”评选活动,令人意外的是以难以卒读著称的奇书《万有引力之虹》([美]托马斯・品钦著,张文宇译,译林出版社,2009)赫然列为第2(2009年度新浪网好书榜为第6名),这是一部比《尤利西斯》更难读的书,此书因其大胆离奇的情节,天马行空的想象力,出版之后引发广泛关注和争议,誉之者谓之当代文学的顶峰,“20世纪最伟大的文学作品”,毁之者谓之预告世界末日的呓语,按江晓原的说法阅读此书被称为“阅读自虐”,一是因为这部书作为现代文学中经典之作的巨著,情节复杂,扑朔迷离,二是书中引入了过多的自然科学内容,包括现代物理、高等数学(甚至在第259页还出现了偏微分方程),火箭工程,以及热力学第二定律所引发的哲学猜想“热寂说”(随着“熵”的单向增加将在全宇宙达到完全的均衡.宇宙即成死寂世界).虽然有读者评论作者托马斯・品钦有自炫博学之嫌.但毕竟此书进了畅销书之列,结果更重要,手段可以无所不用其极.

本书是一部偏微分方程的世界名著,虽然没有大厚本精装那样唬人的外表,但其内容极其重要.本书译者陆柱家先生是我国著名微分方程专家,曾任中国科学院数学研究所科研处处长.现任《数学译林》常务副总编.在本书之前曾与我们工作室有过一次合作,与许以超先生合作出版了《历届全国大学生数学夏令营试题及解答》.直到现在还有很多大学数学系师生来电索要这本书.陆先生能自己写书自己用数学专用软件排版可谓一专多能,这样的作者是很受欢迎的�而本书的原作者则更是大名鼎鼎了,我们来看一看他的简介:�

尼伦伯格Nirenberg. Louis,1925-  美国数学家.1925228日生于加拿大安大略省的哈密尔顿.1945年获麦吉尔大学学士学位;19471949年获纽约大学硕士和博士学位.1945~1951年留校做研究工作.先后担任助理研究员和副研究员.1951~1957年执教于该校.先为助理教授,后为副教授,1957年以后任教授.1976~1977年任美国数学会副主席.美国全国科学院、美国艺术与科学学院院士,法国科学院、乌克兰科学院等科学院的外籍院士.1987年被中国南开大学授予荣誉教授,1988年被浙江大学授予荣誉教授.

尼伦伯格的贡献主要在线性和非线性偏微分方程及其在复分析和微分几何方面的应用等领域.

尼伦伯格的第一个主要工作是在整体微分几何领域,解决了长期没有解决的R3中正曲率曲面等距嵌入的外尔问题�他是分析各领域中取得并应用先验估计的高手.�这类例子有非常有用的一组加利亚尔多-尼伦伯格不等式;1959年他和阿格蒙(Shmuel Agmon)、道格立斯(Avron Douglis)对线性椭圆算子的一般边值问题的先验估计,是一个在分析中广为引用的结果;另一个是他和F・约翰合作,1961年在研究椭圆型方程的解时引入的有界平均振动空间,简称BMO空间,它是后来C・费弗曼关于这类函数空间工作的关键.

尼伦伯格曾在多方面得到了重要的发展,如他和其学生纽兰德关于殆复结构的定理已成为经典。在考尔德伦和赞格蒙给出的估计的基础上,1965年他和J・科恩引入了伪微分算子的概念,并首先对其做了系统研究,促使后来产生了大量的研究工作。他和特里夫斯(François Treves)的研究工作是对一般线性偏微分方程可解性的重要贡献。他还分别与多人合作对自由边界问题的正则性、蒙日-安培型方程光滑解的存在性、纳维-斯托克斯方程奇点集、用移动平面法对非线性椭圆方程对称解等做了研究。�

尼伦伯格的特点是喜欢与人合作进行研究工作,他自称90%的论文是与人合作写成的。到目前为止,他已指导过40多名博士生。�

尼伦伯格曾获麦吉尔大学(1986)、比萨大学(1990)和巴黎第九大学(1990)等大学名誉博士.1959年获美国数学会博谢纪念奖,1982年获瑞典皇家科学院的克罗福持奖.1994年获美国数学会斯蒂尔奖.

巧的是在本书编辑加工过程中我们看到了尼伦伯格获得陈省身奖章的公告�原文如下:

 

The Chern Medal Award(陈省身奖章)

获奖人Louis Nirenberg(尼伦伯格)

颁奖词  “由于他在非线性椭圆型偏微分方程现代理论的确切阐述中的作用,以及在这个领域中培育了众多学生和博士后.”�

工作简介  尼伦伯格是20世纪杰出的分析学家和几何学家之一,他的工作对于多个数学领域及其应用的发展有着重要的影响.对于线性和非线性偏微分方程的理解,复分析和几何的相关方面,以及现代科学的基本数学工具,他都有着本质性的贡献.他在分析学和微分几何之间发展了复杂精细的联系,并把它们应用于流体理论和其他一些物理现象.

在过去的65年里,尼伦伯格的名字与分析学的一些主要的发展联系在一起.他与August Newlander合作的关于几乎复结构的存在性的定理已成为经典.在分析学中最广泛引用的结果之一是一般线性椭圆型方程组的一些先验估计,[JP2]这是尼伦伯格与Shmuel AgmonAvron Douglis合作得到的.他与Fritz John合作的关于有界平均振动(BMO)函数的基本工作,对于此后Charles Fefferman关于BMO函数空间的工作是至关重要的�与Joseph Kohn(弗里茨・约翰)合作,他引进了伪微分算子的概念,它对许多数学领域都有影响.尼伦伯格与他人合作而得到的其他一些影响深远的工作,包括偏微分方程的可解性,一类偏微分方程和Navier-Stokes(纳维-斯托克斯)型流体运动方程光滑解的存在性.他发表了超过185篇论文,并有46个学生.

 

为了使读者更好的理解尼伦伯格的工作.�我们摘编两位中国著名数学家对微局部分析的简介,一位是齐民友,一位是际恕行:

与物理学中有宏观物理学与微观物理学相仿。在数学理论的分析学中也有大范围分析与微局部分析等分支.

函数是分析学中所研究的一类基本对象,在函数的各种性质(例如相等、可微性、有界性、渐近性等),有些性质是局部性质,例如我们可以说一个函数在某点可以求导;有些性质是整体性质,例如我们可以说一个函数在某区域中有界.而函数的某些整体性质常常可以从其每个局部中的局部性质推出,例如,若两个函数在某区域中点点相等,则这两个函数在该区域中相等�近代数学理论中,函数概念已发展成广义函数(分布)或更一般的概念�这时,局部性质就是指在一点的充分小的邻域中的性质,这种局部性质也常常可推出相应的整体性质.以下为了叙述的方便,我们所提及的函数一般就是指广义函数,而说到函数在某点的性质就是指它在该点充分小的邻域中的性质.

可微性也是一种局部性质,为考虑函数在某定义域中的可微性,可以分别考察它在各点的可微性�如果一函数u在某点为无穷次可微的,我们称它为在该点是C光滑的,或简称为在该点光滑,否则,则称它在该点非光滑�所有非光滑点全体称为函数的奇支集,记为sing supp u.进一步的考察可知,在一点附近同为非光滑的函数,其性质可以相差很大.这种现象促使我们对函数的局部性质作更细致的考察.

用微局部分析的方法来研究偏微分方程导致了线性偏微分方程的巨大进步�人们借此对于偏微分方程理论的许多基本问题重新加以认识与处理,有些问题研究历史久远,而从此得到了迅猛的发展,也有些问题是近期才提出的,它们使偏微分方程理论研究达到了一个更深的层次�我们几乎可以说,20世纪60年代后线性偏微分方程理论的每一个重要进展无一不是与微局部分析紧密相连的,以下举几个例子说明之.

偏微分方程Cauchy问题唯一性的研究由来很久,早在20世纪初Holmgren证明了具有解析系数Cauchy问题在非解析函数类中解的唯一性�但当方程系数仅为C函数时,Cauchy问题不一定有唯一性�到30年代末,对于含两个自变数方程的Cauchy问题唯一性才有了较普遍的结果,而对含多个变数的方程,直到20世纪50年代末以前仍只有零星的结果。1958年,Calderon利用拟微分算子为工具证明了不具重特征的偏微分方程Cauchy问题解的唯一性,他只要求方程具C系数与不具有重特征,并不需要对方程的类型提出什么要求.

Calderon证明Cauchy问题唯一性的要点如下:他首先引入以|ξ|为象征的拟微分算子(也称为奇异积分算子)将高阶方程组化成一阶方程组,这种化方程组的方法不会增加特征,因而所得到的方程组也不具有重特征,这个一阶方程组的象征是一个不具重特征值的矩阵,所以能够通过相似变换化成对角阵。然后问题大体上就相当于单个一阶方程的问题,从而较容易建立适当的估计式,而导致齐次Cauchy问题的解为零�这里需强调的是,我们将一阶方程组的象征矩阵化成对角阵的过程就相当于在拟微分算子范畴中对方程组进行变换,而且由于方程组的象征阵化成对角阵是在Rnx×Rnξ的每点的邻域中进行的,因此每次所得到的估计都是微局部的.仅在将这些微局部的估计综合以后才得到一个整体的估计式.

大家知道,常微分方程总是有很多解的.由于偏微分方程可以看作常微分方程的推广,人们长期认为一个偏微分方程也总是有很多解的,并需要以适当的定解条件来确定其解.然而1957H. Lewy给出了一个反例

对这样的方程若仅要求f是原点邻域中的C函数,对于很多f,方程根本就没有解.这一新现象的发现,促使人们去研究这样一个问题,究竟什么样的方程才是对任意右端有解的.更准确地说,若L为在Ω中定义的偏微分算子,x0Ω,如果有x0的邻域ω,使对任一fC0ω)都有uDΩ),使Pu=f在ω中成立,则称算子Lx0点为局部可解的.自1957年以后的一段相当长的时期中,局部可解性问题成了当时线性偏微分方程理论研究的一个热点.

1960Hörmander证明了实系数主型算子总是局部可解的,这里的主型算子也就是指没有重特征的算子.1963NirenbergTreves对于具复系数的一阶主型算子局部可解的必要条件与充分条件得到了较完整的结果.但是对于高阶主型算子的局部可解性直到1970年才有较完整的结果,其原因也是在此以前缺乏合适的分析工具.1970NirenbergTreves的做法是先在高阶算子的特征点邻域中将它分解成一个椭圆算子与一个一阶算子的乘积,后者在该邻域中与原高阶算子具有相同的特征点,然后集中研究该一阶算子的局部可解性.由于这种算子分解只能在拟微分算子的范畴中进行,因而也只有在拟微分算子的系统理论发展与成熟以后,局部可解性问题的研究才有了重大的突破.然而,应该指出,这个问题至今仍未彻底解决.

偏微分方程解的正则性是偏微分方程理论研究的基本课题之一,正则性与奇性实际上是同一对象的两个侧面,因此人们一般更注重于偏微分方程解的奇性生成、分布、强度或奇性结构�关于偏微分方程解的奇性分布的一个经典的结论是:解的弱间断只能在特征曲面上出现,较精细的结论是,解的弱间断是沿方程的次特征线性传播的,对于线性主型偏微分方程,则有更精确的奇性传播定理,它是Hörmander等人在20世纪60年代末建立的.

P为具C系数的主型算子,它的主象征为px,ξ),称Hamilton方程组

满足p(x(s)ξ(s))=0的解x(s)ξ(s)为算子P的零次特征带,则有

定理  若uD(Ω)为方程Pu=f的解,其中P=p(x,D)如上述,p(xo,ξo)=0,( xo,ξo)WFuγ为过(xo,ξo)的零次特征带,则若γWFf,必有γWFu.

上述定理也可表述为,在微局部的意义下,当f为光滑时,只要u在某点有奇性,这个奇性就沿着次特征带传播,显然,这一结论比经典的在底空间中的奇性传播结论更精细,而通过往底空间的投影,很容易导出经典的奇性传播定理.

奇性传播的研究完全是属于微局部分析范畴的课题,它引导人们对偏微分方程解的性质作更深入的了解.

关于微局部分析对偏微分方程研究的影响还可举出很多例子,例如Cauchy问题适定性的研究,非椭圆方程解的次椭圆估计,重特征算子的分类与化简,等等.此外,它在散射理论、量子力学的准经典近似等方面的应用也是令人瞩目的.

微局部分析在线性偏微分方程理论研究中所取得的出色成就必然吸引人们将微局部分析方法应用于其他各种问题,特别是非线性偏微分方程的研究.近十年来在这一方面人们也取得了很大的成功,从而形成了非线性微局部分析的分支.其中最重要的成果有非线性方程解的奇性传播以及高维守恒律双曲型方程组广义解的存在性等.�

由于非线性效应,方程的解的奇性会产生相互干扰,因而一般来说,它的解的奇性分布比相应的线性方程解的奇性分布要复杂得多.目前,人们通过多年的研究对非线性方程解的奇性传播、反射、干扰等规律已有了较清楚的认识.特别是法国J. M. Bony在研究这类问题中又发展了仿微分算子的理论与二次微局部分析的理论,从而为微局部分析的应用开辟了更广阔的前景.

在高维守恒律双曲型方程组的研究中,带有各种类型间断的解的存在性等问题长期以来是人们十分向往而又束手无策的问题.因此,尽管一维守恒律双曲型方程组的研究已有长久的历史与很好的精细结果,但一到高维的情形,很多结论是否成立即成为未知.现在鉴于微局部分析理论的发展,人们能够先对相应的线性化问题作出比以往更精细的估计,从而导得非线性问题的所需结果.例如,在20世纪80年代,A. MajdaS. Alinhac先后获得了高维守恒律双曲[JP2]型方程组带有激波与带有中心波的解的存在性,相应的还有一批结果涌现,从而使人们在这个领域中的研究获得了重大的突破.当然,在高维情况下,非线性守恒律双曲组广义解研究的内容十分丰富,还有许多复杂而深刻的问题未解决.

近年来,J. Y. Chemin利用微局部分析对不可压缩流体的数学理论进行研究,也取得了重要的进展.

目前,作为一个新兴的学科分支,微局部分析还在迅速地发展,它的应用也正在渗透到更多的方面.它无疑是当代数学发展的一个主攻方向,更丰硕的成果尚有待我们努力去摘取.

尼伦伯格是一位长寿的成功数学家.今年已经86.长寿的经济学大师约翰・肯尼斯・加尔布雷斯(活了98岁)在《富裕社会》中指出:“经济学认为不幸和失败再正常不过,成功才需要解释,至少是幸运的少数之外需要进行解释.”笔者认为本书已经对尼伦伯格的成功进行了解释,看完本书后似乎就不必再解释什么了!

 

刘培杰

2011331日于哈工大

 

 

 


   
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