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书名:《GALOIS理论》 英文书名:
丛书系列: 欧美数学经典著作译丛系列 图书编号:∑107
作者:[德]阿廷 李同孚译 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-3225-3 开本:787mm×1092mm 1/16
版次:2011年3月第1版 2011年3月第1次印刷 印张:5.75  字数:104千字千字
定价:18.00 元元 页数:

 

【作者简介】

  (Artin, Emil,18981962)

代数学家.生于奥地利维也纳.1916年在维也纳大学学习了一个学期后加入步兵团;1919年进莱比锡大学继续学习,1921年获博士学位;随即去格廷根大学一年;后到汉堡大学,1923年为不支薪讲师,1925年升为副教授,1926年升为教授.1937年移居美国,先后在圣母玛利亚大学和布卢明顿印第安那大学执教.19461958年执教普林斯顿大学.1958年回到汉堡大学.1962年法国克莱蒙尔德大学授予他荣誉博士学位,同年他因心力衰竭逝世.

阿廷研究的领域很广,主要有仿射几何,类域论,伽罗华理论,Γ-函数,同调代数,模论,环论,拓扑,复变函数论等.

阿廷被公认为现代抽象代数学的先驱.1923年,他在研究非阿贝尔L级数(属于迪利克雷L级数的推广)时提出广义互反律猜想,并于1927年证明了它.从而解决了希尔伯特第9问题.他还利用这个互反律把著名的希尔伯特主猜想归结为纯粹的群论问题,后来被PH・富特文格勒证明(1930).1926年,他引进实域的概念,从而肯定地解决了希尔伯特第17问题:n个变量的正定有理式能否表示成有理式的平方和?1944年,他提出“阿廷环”(即关于右理想的极小条件的环)的概念,这是现代代数学的基本概念之一.阿廷提出过许多著名猜想,给代数学研究以巨大的推动.例如他在20世纪20年代提出了函数域上的黎曼猜想(韦伊于1941年给予了证明),非阿贝尔L级数是亚纯的(布饶尔于1947年证明)并且也有黎曼猜想的性质(至今尚未证明)20世纪30年代他猜测有限域是拟代数闭域(几乎立即被谢瓦莱证明)等等.他还猜测如果一个单群的阶g能够被p>g1/3整除,则这个群必属于已知类型(被布饶尔等于1958年证明).他对三维空间的纽结理论研究也有贡献.此外,还有许多现代数学的概念都联系着阿廷的名字,如阿廷模,阿廷猜想,阿廷符号,阿廷L函数等.

阿廷热爱讲授各级课程,范・德・瓦尔登的名著《代数学》就是根据他和E・诺特的讲课记录整理而成的.他的著作包括《v函数引论》(Einführung in die Theorie der Gammafunktion.1931),《伽罗瓦理论》,(Galois Theory,1942),《代数数与代数函数》(Algebraic Numbers and Algebraic Functions,1950),《类域论》(1951)和《几何代数》(Geometric Algebra,1957).他的著作很多,但不轻易发表.1965年,斯普林格出版社出版了阿廷的文集,其中包括了他的全部49篇论文.

 

 


  

内容简介

本书是世界著名数学家阿廷(E.Artin)在德国Notre Dume大学的讲稿,本书用极其简练的语言介绍了近世代数中的伽罗华(Galois)理论.

本书对伽罗华理论的论述有自己独到之处,如伽罗华理论基本定理的证明较之其他著作有较大简化.对分圆多项的不可约性在本书中采用了朗道(Landau)的证法,而不是像其他书中采用整多项式的性质进行证明.

本书由北京大学已故教授李同孚先生翻译,可供大学数学系师生及数学爱好者阅读.

 

 


  

【序  言】

书的英文版原是我过去在Notre Dame大学一个夏季学期里所作讲义的整理.当时是为了使代数初步知识较少的大学生在较短时间内了解Galois理论的方法及问题的提出.A.N.Milgram先生为此整理工作写了一个涉及这理论应用的第Ⅲ部分.

当出版社建议我出德文译本时,提出问题,可否同时写出近世代数抽象基础的导论.但经仔细考虑后,我想保持本书的原来计划,还是针对同样的读者.现在已有足够的教科书,其中详述了代数的基础.

但是,在Ziegler先生的译文初稿完成之后,发现最后两部分需要修改.第Ⅱ部分里较大的变更仅如下述:简化了Galois理论基本定理的证明.述及单位根的那节里,采用了分圆多项式不可约性的证明,它不用整多项式分解的性质,而是凭借Landau的证法.最后,第Ⅲ部分完全重写.

改写上得到Hel Braun小姐的大力支持.我感谢�H.Reichardt�先生在校对上的许多有价值的建议和协助.��

 

E.Artin

汉堡,19598

 

 


  

【目

  线性代数 //1

A.  //1

B.向量空间  //2

C.齐次线性方程  //2

D.向量的相关性与无关性  //3

E.非齐次线性方程  //6

F.行列式  //7

  体论  //13

A.扩体  //13

B.多项式  //14

C.代数元  //15

D.分裂体  //19

E.多项式分解成不可约因子的唯一可分解性  //20

F.群特征标  //21

G.命题13的应用与例子  //23

H.正规的体扩张  //25

I.代数扩张和可分扩张  //31

J.Abel群及其在体论上的应用  //35

K.单位根  //39

L.Noether方程  //41

M.Kummer  //43

N.正规基的存在  //47

O.平移命题  //48

  应用  //50

A.要用到的群论中的某些命题  //50

B.方程用根式的可解性  //53

C.方程的Galois  //55

D.尺规作图  //59

附录  纪念李同孚先生 //63

编辑手记  //68

 

 


  

【编辑手记】

胡作玄先生在《数学是什么?(北京大学出版社,2008年,第一版,第377)中曾提到过本书.他说:数学的难度在于数学的长期积累,要想在数学上有所创造,不但要同许许多多古代天才竞争,而且要同当代的同辈竞争.其实,有许多场合考验一个人的实力,只要看看年轻的伽罗瓦的创造;阿廷写了一个几十页的小册子(本书).看明白都不容易,更不用说创造了.

这本书是一部当之无愧的世界数学名著,作者阿廷更是一位世界著名的数学家.

1983年日本弘文堂出版了由日本科学史家伊东俊太郎,坂本贤三,山田庆儿和村上阳一郎主编的《科学史技术史事典》词条撰写者达460人,都是在各个部门中从事科学技术史研究的学者.据原编者称,这是世界上第一部综合性的科技史词典.在其中收有“阿廷”这一词条.一般来说科学史技术史内容都极其广泛,数学只不过是其中一小部分.许多赫赫有名的大数学家都没被列入,阿廷名列其中自然说明了其在数学中的地位.

本书据称是世界上第一部独立论述伽罗华理论的著作.1941年用英文出版了第1版,1948年出版了英文第2.2版有中译本,是李英译的,由上海科学技术出版社出版.3版为德文版,于1959年由Notre Dame大学出版社出版,李同孚译,亦由上海科学技术出版社1979年出版.本书即是此译本的再版.

本书的作者Artin原来在中国有好几个译名,其中以阿丁居多,包括在《世界百科名著大辞典(自然和技术科学)(山东教育出版社,1992年,第15)中都是这样译的,但现在一般译为阿廷.译外国人名问题在中国一直是个大问题.一个有趣的例子是胡适讲的,据胡适讲,在安福部当权时,颁布了一个新的国会选举法,其中有一部分的参议员是须由一种中央通儒院票选的,凡国立大学教授,凡在国外大学取得学位的,都有选举权.于是许多留学生有学士硕士博士文凭的,都有人来兜买.本人不必到场,自有人拿文凭去登记投票.据说当时的市价是每张文凭可卖二百元.兜买的人拿了文凭去,还可以变化发财.譬如一张文凭上的姓名是(Wu Ting),第一次可报“武定”,第二次可报“丁武”,第三次可报“吴廷”,第四次可说是江浙方言的“丁和”.这样办法,原价二百元的,就可以卖八百元了.(《大公报・文艺副刊》第64期,1935811日出版.胡适《记辜鸿铭》)

阿廷著作很多(尽管与他的研究成果相比少很多).主要的有《几何代数学》,《代数理论》,《代数与代数函数》,《γ函数引论》,《最小条件环》(合著)及《类域论》等.虽然本书是他的著作中唯一一个有中译本的(我们数学工作室有决心将其他几种也想办法介绍到中国),但阿廷在中国数学界影响却不小,有许多中国数学家在延续着阿廷的代数工作.华罗庚先生虽然是位出色的数论专家也还是一位代数专家,他关于体论的工作充分体现了代数的优美性.1949年,他证明了“体的半自构必是自同构或反自同构”.这条定理去掉了体的半自构概念,由此可以证明特征不等于2的射影几何的基本定理.1956年,Artin在专著《几何的代数》中记述了这个定理,并称之为美丽的“华氏定理”.

其实比华罗庚更早受阿廷影响的还有一位,即曾炯,可惜他英年早逝.

Artin在中国的传人当首推曾炯(字炯之,18981940).曾炯是在抽象代数发展的早期进入抽象代数学领域,并作出重要贡献的数学家,更是我国从事抽象代数学研究的第一人.1929年入当时国际数学中心德国哥廷根大学,在迄今为止最伟大的女数学家E.Noether指导下攻读抽象代数学.1934年获博士学位.接着到德国汉堡大学E.Artin那里进修.ArtinNoether被认为是抽象代数学的两大鼻祖.曾炯是唯一的一个曾受教于他们两位的中国代数学家.

曾炯在代数上的贡献可以概括成三条定理,其中两条定理是关于可除代数的.��

F为域,D叫做F上的可除代数,如果

(1)D是除环;

(2)DF上的有限维向量空间;

(3)uFuvDa(uv)=(au)v=u(av).如果更假设D的中心是FD就叫做F上的中心可除代数.

[定理一](1933)Ω是代数闭域,X是未定元,那么Ω(X)上的中心可除代数只有Ω(X)自己.更一般的,设kΩ(X)的有限次扩域,那么k上的中心可除代数也只有k自己.

[定理二](1934)P是实闭域,而kp(X)的有限次代数扩域,那么K上的中心可除代数除去K之外,最多还有一个,其指数为2.

上面两个定理分别是“复数域上的中心可除代数只有它自己”和“实数域上的中心可除代数除去它自己之外只有实四元数除环”这两个经典结果的漂亮推广.

曾炯还引进了Ci域的概念.F称为Ci域,如果对任意正整数dF上任一nd次齐次多项式f(x1,…,xn),若n>di(i>0),则f(x1,…,xn)=0必在Fdi中有非全零解.

[定理三](1936)Ω是代数闭域,那么Ω(x1,…,xn)Cn.

S.Lang1951年又重新得到了这个定理,在文献中这个定理被称为“曾-Lang定理”.这个定理是关于超越扩张的Brauer群研究的基础,同时对ArtinSchreier形式实域上的二次型理论有重要应用,因此被许多文献引用.

阿廷的学术地位在代数方面与Amalie Emmy Noether齐名.1932年他俩共同被授予“阿尔弗瑞德・奥克曼-陶布纳纪念奖”(Alfred AckermannTaubner Memorial Award).以表彰他俩在代数方面的先驱工作.尽管这个赫赫有名的大奖货币价值只有500马克(约合120美元),但想想著名的希尔伯特23个数学问题中他就令人敬佩地解决了两个,他于1927年解决了希尔伯特第9问题,证明了任意数域中的一般互反律.(具体见潘承彪先生的《代数数论》,近期将由我们数学工作室重新出版).1926年解决了希尔伯特第17问题.得到了正定形式的平方表示式(详见即将由我室出版的冯克勤教授的《平方和》一书).

关于伽罗瓦理论之于现代数学的重要性似乎是早已有公认不用我这个策划编辑多说什么,但我要向各位告知的是2011117日是伽罗瓦这位19世纪天才数学家诞生200周年纪念日,我们为了纪念他推出这一名著.

今天,伽罗瓦的思想已渗透到数学的各个不同领域,就连通常称之为伽罗瓦经典理论的东西,也以它自己的创新继续令人感到惊讶.我们仅引用三位数学大师对这一理论的评论来说明这一点.

H.Weyl:数十年来,这本经过七次出版的手稿中留下来的伽罗瓦的思想,后来对整个数学的发展产生越来越深远的影响.这些思想包含在伽罗瓦于一场有点傻的决斗中丧生的前一天写给友人的告别信中,其时他还不到21.根据在这封信中所表达出的思想的新意和深远性,这封信可能是人们手写作品中最杰出的一件.

F.克莱因在《古今数学思想》中对伽罗瓦在数学中的贡献作出了总的估价.他说:“不了解‘伽罗瓦理论'就难于估计出他的成就的全部意义.因此,我希望尝试着用几句话来描绘出这一理论的基本构思,虽然在如此简短的叙述中不可能给出它的全貌.在做这件事以前,我首先想指出伽罗瓦理论作为我们大学中一门课程所起的独特作用.这里有一个使教和学双方同样感到惋惜的矛盾.一方面,为这一极富独创的发明及其深邃结果的重要性所鼓舞,广大教师特别乐于讲授伽罗瓦理论这门课,但另一方面,开始学习的大学生又恰恰特别难于理解这一方面的内容.在大多数情况下.令人痛惜的结果是,教师注入了爱,付出了努力,但除极少数例外,大多数听课的人却毫无所获.伽罗瓦理论在叙述上的特殊困难在这方面也起了一定作用.”�

近年来,伽罗瓦理论的逆问题引起了极大的注意,要得到它的令人满意的解答,需要深入数论,代数几何,自然还有群论,包括表示论在内.看来,克莱因所描述的情况只不过更严重罢了.

这种现象引起了数论大师A.Weil的注意,他在为其自己的书的俄译本所做的序言中写道:“曾经有过一段时间,伽罗瓦理论被当做是难懂的,抽象的东西,只是为一些专家们写的.不仅如此,我还知道一些和我同时代的卓越的数学家.他们公开承认他们对伽罗瓦理论一无所知,并且似乎还以此为荣.现在,大家都已充分认识到这是一个基本的分支,每一个严肃认真的数学专业大学生应该在头几年的教育中就了解它.”�

在近年,费马大定理的证明成功轰动一时,在其方法上不乏伽罗瓦理论及其逆问题的出现.所谓伽罗瓦逆问题指的是具有给定伽罗瓦群的有理数域Q的伽罗瓦扩张的构造.D.希尔伯特是这方面的先驱者:他的不可约性理论断言,只要实现给定的群G作为函数域�Q(X)上扩张的伽罗瓦群就足够了.既然是这样,那么就会出现黎曼曲面理论的方法和代数几何的方法,其中以沙法列维奇1954年得到的出色定理为其后续的转折点.他用数论方法证明了:任意有限可解群可作为某一正规扩域F/Q的伽罗瓦群.

近年来发展的途径是刚性方法.而且在很大程度上适用于单群或与之接近的群.1984年汤普森(J.Thompson)在《代数》杂志上证明了:大得出奇的M=Gal(F/Q),对于某些伽罗瓦扩张F/Q,大得出奇的M本身现今已可靠地进入模形式(这是由于自己的复不可约特征标的奇异性质),并且甚至碰到了物理的弦理论.

伽罗瓦的逆问题既在我们所熟悉的范围,又在其他数学理论中广泛出现.例如,在伽罗瓦的微分理论中,这时的代数方程f(x)=0,比方说,由系数属于C(z)的常微分方程所代替,这些内容已出现在著名的布尔巴基(Bourbaki)讨论班的报告中.

阿廷的工作并不完全属于昨天,在今天仍有巨大的现实需求,特别是在数学机械化这一新兴领域中.

从数学机械化的发展趋势来看,代数闭域上代数方程组的求解以及等式型几何命题的自动推理已获丰硕成果,而实代数方程组的求解以及不等式(包括不等式几何命题)的研究正方兴未艾.与前者相比,后者的研究特点正好体现在“实性”和“序”两个方面.从而.实代数方程组的求解以及不等式的研究必然涉及实域理论中的有关概念、方法和结果.

实域理论的发展应追溯到著名的希尔伯特第17问题.根据第17问题的特有形式.阿廷和O.Schreier洞察到实数域及其子域的最本质的属性.这些属性包括两个方面:一是与平方和相关的“实性”;二是与运算相适应的元素之间大小关系即“序”关系.E.ArtinO.Schreier把这些本质属性引进到域范畴中.由此建立了著名的ArtinSchreier理论.这一理论是实域理论的基石,正是基于他和O.Schreier所建立的理论,Artin肯定地解答了希尔伯特第17问题(实际上,Artin的正面解答是一个比希尔伯特第17问题更为精致的结果).这使得Artin进入希尔伯特问题解答者的光荣行列中.

鉴于希尔伯特问题在数学发展中的重大意义及Artin出色的解答在其学术生涯的重要地位,有必要简要介绍一下这一问题的历史及概况.

半正定多项式的平方和表示这个问题,最初是就齐次式提出的,它就是:实系数的半正定齐次式,是否必能表成齐次式的平方和?闵可夫斯基(H.Minkowski)1885年的一篇文章中,对此持否定的看法,其后,希尔伯特研究了这个问题,并得到了完整的解答,他的结论是:��

n元的m次实系数半正定齐次式,只有在以下几种情形才能为齐次式的平方和,即

(1)n2m任意;

(2)n任意,m=2;

(3)n=3m=4.

希尔伯特使用了很繁难的几何方法,而且也没有给出具体的反例.其后,希尔伯特又对三元的半正定齐次式作了进一步的研究,得到的结论是:尽管在m4时不一定能表为齐次式的平方和,但可以表示成两个平方和之商,换成多项式的语言即为:二元实系数的半正定多项式,必可表示成实系数有理函数的平方和.��

后来希尔伯特在写著名的《几何基础》时,在讨论几何构图中又遇到了这一问题(见中译本上册定理67.第二版.科学出版社),这就构成了希尔伯特在1900年巴黎大会上提出其第17问题的历史背景.

Artin的解答之后,朗(S.Lang)20世纪50年代在Artin工作的基础上建立了实位理论,从而使得对第17问题的解答大为简化.除代数方法外,20世纪50年代中叶.A.罗宾逊(A.Robinson)用模型论的方法,非常简捷地证明了阿廷定理.他的这项工作被认为是模型论应用于代数的最佳实例之一.

自从阿廷正面解答了希尔伯特第17问题,80多年来,这个问题已被移植到许多不同的场合,在许多不同的对象上建立了类似于阿廷定理的结论,如GondardRibenboim将其推广到实流形上,Dickmann对实闭环上的半正定多项式证明了类似的阿廷定理,还有人将其推广到纳什(Nash)函数环上及以对称函数为对象的情形.足见这个问题及阿廷定理对当代数学发展的影响.

阿廷的工作对近代数学的另一个影响是与朗兰兹猜想相联系的.

1983年,美国科学院为美国总统的科学技术委员会提交了一份《理论数学的进步》年度报告,在综述部分有这样两段话:

“费利克斯・克莱因(Felix klein)1872年在他的爱尔朗格纲领(Erlanger Program)所透彻阐释的几何学中群对称的统一作用导致了一个世纪的数学进步,与爱尔朗格纲领相媲美的后继应当是朗兰兹纲领,它是用李群的无穷维表示来阐释数论.

“朗兰兹猜想是用群GL(n)的无穷维不可约表示来刻画n次数域的性状,而他的更宏伟的猜想提出了一系列使人眼花缭乱的问题.这些问题的解决会使我们对于表示论、数论和代数几何有更好的理解.这方面已经取得了引人注目的进展,但还有更多的事情留给了未来.”�

朗兰兹纲领是从1967年起由美国数学家朗兰兹(Langlandsr1940)以一系列猜想的形式提出的.这些猜想的本质是试图发现复的和padic李群的无穷维表示理论、调和分析、代数几何与数论之间的深层联系.这些猜想对于纯粹数学的一个广阔的领域表达出一种普遍而富有哲理的观点,被人们称之为朗兰兹哲学.

尽管朗兰兹猜想高深莫测,但仍旧根源于古典数论的基本问题,即三千年前人类就开始研究的代数方程有理解和整数解问题.希尔伯特第9问题是说:对于任意代数数域K应当有什么样的互反律可看做是古典二次互反律的推广?用更朴素的语言讲,这个问题相当于:对于每个整系数不可约多项式f(x),如何用f(x)的自身特性来描述f(x)在每个有限域Fp上的分解规律.类域论中的阿廷互反律给出这问题的一个解答.早在1923年,阿廷就在数域任意伽罗瓦扩张L/K的研究中引进群表示方法.他引进伽罗瓦扩张L/K关于表示ρL-函数

阿廷证明了L(Sρ)的一系列解析性质,但是他不能发现迪利克雷特征和迪利克雷L-函数的高维模拟,不知道G的高维表示如何用K的自身特性去体现.有趣的是,就在同一时间(1927),和阿廷在同一个学校(汉堡大学)工作的哈肯(Hecke)研究了模形式的L-函数.到了1951年,韦依用idele语言叙述类域论,他构作了一个新的群(现在叫做韦依群)由此得到一种新型的L-函数,而阿廷的非阿贝尔L-函数和哈肯关于模形式的L-函数都是它的特例,就像韦依所说的,“实现了阿廷和哈肯的联姻”.1967年朗兰兹提出了他的第一个猜想给出了阿廷L-函数和哈肯关于模形式L-函数之间的明确联系.

朗兰兹纲领是对现代数学诸多领域一种统一性的看法和普遍性的观点,由一系列规模宏大的猜想所组成,其中有些猜想甚至还没有形成很明确的数学语言.

迄今为止,对于高维情形(n2)只对少数例子证明了朗兰兹猜想,多数工作是n=2情况,关于n3情形的研究最近才有较大的进展.对于数域伽罗瓦扩张,目前只对某些非交换伽罗瓦群的二维不可约表示,证明了朗兰兹第一猜想,对于数域K上的代数簇,只对椭圆曲线情形提出了明确的谷山-志村-韦依猜想,把椭圆曲线的L-函数与某种哈肯杈2模形式的L-函数联系起来.1994年怀尔斯对于Q上半稳定的椭圆曲线证明了谷山-志村-韦依猜想,并由此推出费马大定理.另一方面,对于函数域情形却有较大的突破,前苏联数学家Drinfeld20世纪70年代中期对于朗兰兹第1猜想证明了函数域的n=2情形.这项工作和Drinfeld在量子群和数学物理等方面的工作使Drinfeld获得了1990年菲尔兹奖.因而朗兰兹和怀尔斯一起获得了1996年沃尔夫奖.可以预料,朗兰兹纲领将带动21世纪理论数学的发展和进步.

值得一提的是E.阿廷的儿子也叫阿廷,为区分称他为M.阿廷.他也是一位出色的代数几何专家.更巧的是他还和他父亲在同一个猜想中作出过重要贡献,那就是Weil猜想.A.Weil在第二次世界大战期间移居美国时,对于有限域上一般的代数曲线提出下列猜想.

f(xy)Fqxy],C:f(xy)=0是绝对不可约的非奇异代数曲线,g=g(C)C的亏格.Nn是该曲线在有限域Fqn中的(射影)解数.为曲线Czeta函数.则�

(1)(有理性),其中.

(2)(函数方程).

(3)(Riemann猜想的模拟)F(0)=1deg F=2g,并且,其中|wi=(1i2g).

(4)(Nn的估计).特别的,|Nn-(1+qn)|≤2gqn/2.��

1924年,E.Artin对于曲线y2=f(x)f(x)Fqx],2q证明了上述猜想.1935年,HasseDavenport对于椭圆曲线证明了此猜想.20世纪40年代初期,Weil采用数论中的Gauss和与Jacobi和对于Fermat曲线Xn+Yn=1Artin Schreier曲线证明了此猜想,并且正是基于这些例子,Weil才提出这个结果对于任意曲线均应成立.这个猜想首先是由Weil本人于1948年证明的.为了证明这个猜想,他写了一本书《代数几何基础》,这本书客观上大大推动了代数几何学的发展.1971年,苏联数学家Степанов给了一个初等证明,后来又由W.Schmidt所简化.而至今最简单的初等证明是由Bombieri1976年给出的,只用到Riemann Roch定理.

Weil还研究了Grassman簇、Abel簇等高维代数簇,在此基础上提出了如下的高维猜想:设V是有限域Fq上的非奇异绝对不可约r维射影代数簇,NnVFqn中的射影点数.

Vzeta函数.则�

(1)(有理性),其中Ph(T)ZT(0h2r)P0(T)=1-TP2r(T)=1-grT.

(2)(Riemann猜想的模拟)deg Ph=Bh (BhBetti数,它是某个上同调群的维数),则

,0h2r

其中|αhi=qh/2.

(3)(函数方程),其中

(4)(解数估计),其中O项与n无关.

1960年,Dworkp进分析工具证明了ZV(T)的有理性.1964年老E.Artin的儿子M.Artin和法国数学家Grothendieck用后者发展的复杂的代数几何工具证明了该猜想的大部分内容.剩下最困难的|ahi=qh/2则是由P.Deligne1973年证明的.Grothendieck在代数几何方面的工作和DeligneWeil猜想的最终证明分别得到19661978年的菲尔兹奖.

本书原版为德文,现在能看懂德文数学书的越来越少了,这对于传播德国优秀数学传统不能不说是一个很大的困难.传播难度是决定传播速度的一个因素.比如说法国好酒有的是,但中国人就认拉菲(Lafite).为什么?有人解释说:因为在1855波尔多列级酒庄的一级酒庄里,除拉菲外,奥比安(Chateau Haut Brion),拉图酒庄(Chateau Latour),木桐酒庄(Chateau Mouton Rothschild),玛歌酒庄(Chateau Margaum)在法语发音中都带有小舌音,一般中国人还真发不出来,唯独拉菲不存在这种问题,所以不懂法文的大款们在向朋友炫耀时,可以没有顾虑.

《西方的没落》作者斯宾格勒有一种固执的观念.他认为德国的败局就是高贵文化的末日.他一再挖苦那些唯恐天下不乱的无产阶级眼里只有“面包与马戏”――庸俗的物欲和庸俗的精神需求.这似乎印证了当下的情形:应有的标准已然被失败的试验所摧毁,所磨灭,而这种标准只能在一个充分肯定“差别”的社会秩序里,随着时间自然形成.否则就像现在这样,奢侈品的消费群整体粗俗.风靡全国的文化产品趣味无聊,决定一个人声望的仅仅是他在排行榜上的“身家”.

从重建高贵数学文化的角度看,多读读德国人用德文写的数学著作是有益的!

 

刘培杰

2011331日于哈工大

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