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书名:《解析数论引论》 英文书名:
丛书系列: 欧美数学经典著作译丛系列 图书编号:∑100
作者:[美]阿普斯托 赵宏量 唐太明译 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-3177-5 开本:787mm×1092mm 1/16
版次:2011年3月第1版 2011年3月第1次印刷 印张:21  字数:387千字千字
定价:48.00 元元 页数:

 

内容简介

本书共分十四章,将解析数论从古到今几乎所有的重要发现都作了较为简要的论述和介绍.

本书适合大学师生及数论爱好者.

 

 


  

【前  言】

本书内容是依据TOM M.Apostol所著的《解析数论导引》一书,在20余年前就由唐太明初步译出,后经西南师范大学数学系教授赵宏量又对照原文作了进一步的修改、补充、审校和加工;最后又由赵宏量进行了统稿和定稿工作,终于将此书于19922月由西南师范大学出版社出版.出版后受到专业数学工作者多人的好评,认为是国内这方面少有的几本高质量的《解析数论》.当然这本书没有华罗庚教授的《数论导引》的内容丰富,华教授的这本书,内容涉及的范围比HardyE.M.Wright的著作大得多,也深入得多.其中包括了华老自己的不少重要结果,也收入了不少深刻的数论结果,是极为珍贵的.华老的书于1957年由科学出版社出版到1975年已印刷四次,1982年还由Springer出版社出版了这本书的英文版.

但是我们编译的这本书也有它的特点和不同的写作风格,它把数论从古到今几乎所有的重要发现都作了较为简要的论述和介绍,而且对一些在华罗庚《数论导引》中未加证明的问题,也作了适当的论述和部分证明.

本书是迄今为止国内正式出版的各种数论书方面较为全面和系统的一本高质量的《解析数论》的基础教材,而且内容又比较新颖;最适宜于作为大学本科高年级学生和研究生的入门教材,也是自学数论的人可选用的一本优秀读物.特别适宜

于那些对《解析数论》有兴趣和爱好的业余学者,作为研习《解析数论》的极为难得的良好的参考资料.书中还列出了吸收消化和吸引历代专业和业余数学爱好者的许多问题及其解决方法的特殊技巧等;本书可能会使许多数学系学生和青年教师产生特殊的兴趣,也可能会对社会上那些乐于研究数论问题的人们提供较好的帮助.

本书在时隔20年后又重新编辑出版,对原来的内容作了进一步的审校和加工,同时,也更正了原来出版中存在的许多差错,现定名为《解析数论引论》.相信这一次的重新修订出版,一定会受到国内广大数学爱好者、数学专家、业余爱好者的支持和欢迎,特别是今天出版这样较高层次的数学著名作品,对于提高我国的文化科学素养,发展我国的科学技术事业都是具有重要的现实意义的.

书后增加的“哥德巴赫猜想”研究综览对于提高学习兴趣是有帮助的.

赵宏量

201010月于西南大学

 


  

【目  录】

历史介绍  //  1

第一章  算术基本定理  //  11

1.1      //  11

1.2  整除性  //  12

1.3  最大公约数  //  12

1.4  素数  //  14

1.5  算术基本定理  //  15

1.6  素数倒数的级数  //  16

1.7  欧几里得算法  //  17

1.8  两个以上的数的最大公约数  //  18

第一章习题  //  18

第二章  数论函数与迪利克雷乘积  //  21

2.1      //  21

2.2  麦比乌斯函数μ(n)  //  21

2.3  欧拉函数φ(n)  //  22

2.4  φμ的相互关系  //  23

2.5  φ(n)的一个乘积公式  //  24

2.6  数论函数的迪利克雷乘积  //  25

2.7  迪利克雷逆函数与麦比乌斯反转公式  //  27

2.8  Mangoldt函数Λ(n)  //  28

2.9  积性函数  //  29

2.10  积性函数与迪利克雷乘积  //  30

2.11  完全积性函数的逆函数  //  32

2.12  柳维尔函数λ(n)  //  33

2.13  除数函数σa(n)  //  33

2.14  广义卷积  //  35

2.15  形式幂级数  //  36

2.16  数论函数的Bell级数  //  37

2.17  Bell级数与迪利克雷乘积  //  38

2.18  数论函数的导数  //  39

2.19  塞尔伯格等式  //  40

第二章习题  //  40

第三章  数论函数的平均值  //  46

3.1      //  46

3.2  O符号,函数的渐近等式  //  47

3.3  欧拉求和公式  //  48

3.4  几个基本渐近公式  //  49

3.5  d(n)的平均阶  //  50

3.6  除数函数σa(n)的平均阶  //  53

3.7  φ(n)的平均阶  //  54

3.8  对于由原点可见的格点分布的应用  //  55

3.9  μ(n)Λ(n)的平均阶�  //  57

3.10  迪利克雷乘积的部分和  //  57

3.11  μ(n)Λ(n)的应用�  //  58

3.12  迪利克雷乘积的部分和的另一个等式  //  61

第三章习题  //  62

第四章  素数分布的几个基本定理  //  66

4.1      //  66

4.2  切比雪夫函数ψ(x)g(x)  //  67

4.3  联系g(x)与π(x)的关系式  //  68

4.4  素数定理的几个等价形式  //  71

4.5  π(n)pn的一些不等式  //  73

4.6  Shapiro Tauberian定理  //  76

4.7  Shapiro定理的应用  //  78

4.8  部分和 的一个渐近公式  //  80

4.9  麦比乌斯函数的部分和  //  81

4.10  素数定理初等证明的简短概要  //  87

4.11  塞尔伯格渐近公式  //  88

第四章习题  //  89

第五章        //  95

5.1  同余的定义与基本性质  //  95

5.2  剩余类与完全剩余系  //  98

5.3  一次同余式  //  99

5.4  简化剩余系与欧拉-费马定理  //  101

5.5  p的多项式同余式,拉格朗日定理  //  102

5.6  拉格朗日定理的应用  //  103

5.7  一次同余式组,中国剩余定理  //  104

5.8  中国剩余定理的应用  //  105

5.9  模是素数方幂的多项式同余式  //  107

5.10  交叉分类原理  //  109

5.11  简化剩余系的分解性  //  111

第五章习题  //  113

第六章  有限Abel群及其特征  //  115

6.1  定义  //  115

6.2  群和子群的例子  //  116

6.3  群的基本性质  //  116

6.4  子群的结构  //  117

6.5  有限Abel群的特征  //  119

6.6  特征群  //  121

6.7  特征的正交关系式  //  121

6.8  迪利克雷特征  //  123

6.9  含有迪利克雷特征的和  //  125

6.10  对于实的非主特征χL(1χ)不等于零  //  127

第六章习题  //  129

第七章  算术级数里素数的迪利克雷定理  //  131

7.1      //  131

7.2  形如4n-14n+1的素数的迪利克雷定理  //  132

7.3  迪利克雷定理的证明方案  //  133

7.4  引理7.4的证明  //  135

7.5  引理7.5的证明  //  135

7.6  引理7.6的证明  //  137

7.7  引理7.8的证明  //  137

7.8  引理7.7的证明  //  137

7.9  算术级数里素数的分布  //  139

第七章习题  //  140

第八章  周期数论函数与高斯和  //  141

8.1  k的周期函数  //  141

8.2  周期数论函数的有限傅立叶级数的存在性  //  142

8.3  拉马努然和及其推广  //  144

8.4  Sk(n)的乘法性质  //  146

8.5  与迪利克雷特征相伴的高斯和  //  148

8.6  具有非零高斯和的迪利克雷特征  //  150

8.7  诱导模与本原特征  //  151

8.8  诱导模的进一步的性质  //  152

8.9  特征的前导子  //  154

8.10  本原特征与可分的高斯和  //  154

8.11  迪利克雷特征的有限傅立叶级数  //  155

8.12  本原特征部分和波利亚不等式  //  156

第八章习题  //  158

第九章  二次剩余与二次互反律  //  161

9.1  二次剩余  //  161

9.2  勒让德符号及其性质  //  162

9.3  的值  //  164

9.4  高斯引理  //  165

9.5  二次互反律  //  168

9.6  互反律的应用  //  170

9.7  雅可比符号  //  172

9.8  对丢番图方程的应用  //  175

9.9  高斯和与二次互反律  //  176

9.10  二次高斯和的互反律  //  179

9.11  二次互反律的另一个证明  //  185

第九章习题  //  185

第十章        //  188

10.1  数的次数modm,原根  //  188

10.2  原根与简化剩余系  //  189

10.3  a3,模2a的原根不存在  //  190

10.4  对奇素数p,模p的原根存在  //  190

10.5  原根与二次剩余  //  192

10.6  pa的原根存在  //  192

10.7  2pa的原根存在  //  194

10.8  其他情况下原根不存在  //  194

10.9  m的原根的个数  //  195

10.10  指数的计算  //  197

10.11  原根与迪利克雷特征  //  200

10.12  pa的实值迪利克雷特征  //  202

10.13  pa的本原迪利克雷特征  //  203

第十章习题  //  205

第十一章  迪利克雷级数与欧拉乘积  //  207

11.1  引言  //  207

11.2  迪利克雷级数绝对收敛的半平面  //  208

11.3  由迪利克雷级数定义的函数  //  209

11.4  迪利克雷级数的乘积  //  211

11.5  欧拉乘积  //  213

11.6  迪利克雷级数收敛的半平面  //  215

11.7  迪利克雷级数的解析性质  //  217

11.8  具有非负系数的迪利克雷级数  //  219

11.9  迪利克雷级数表示为迪利克雷级数的指数  //  220

11.10  迪利克雷级数的平均值公式  //  222

11.11  迪利克雷级数系数的一个积分公式  //  224

11.12  迪利克雷级数部分和的一个积分公式  //  225

第十一章习题  //  229

第十二章  函数ζ(s)L(sχ)  //  232

12.1      //  232

12.2  Gamma函数的性质  //  233

12.3  胡尔维茨zeta函数的积分表示  //  234

12.4  胡尔维茨zeta函数的围道积分表示  //  236

12.5  胡尔维茨zeta函数的解析开拓  //  237

12.6  ζ(s)L(sχ)�的解析开拓  //  238

12.7  ζ(sa)�的胡尔维茨公式  //  239

12.8  黎曼zeta函数的函数方程  //  242

12.9  胡尔维茨zeta函数的函数方程  //  243

12.10  L-函数的函数方程  //  244

12.11  ζ(-na)�的值  //  246

12.12  伯努利数与伯努利多项式的性质  //  248

12.13  L(0χ)�的公式  //  250

12.14  用有限和逼近ζ(sa)  //  251

12.15  |ζ(sa)|�的不等式  //  253

12.16  |ζ(s)||L(sχ)|�的不等式  //  255

第十二章习题  //  256

第十三章  素数定理的解析证明  //  261

13.1  证明的方案  //  261

13.2  引理  //  263

13.3  的围道积分表示  //  266

13.4  直线σ=1附近|ζ(s)||ζ′(s)|的上界�//  268

13.5  在直线σ=1ζ(s)不为零  //  269

13.6  的不等式  //  271

13.7  素数定理证明的完成  //  272

13.8  ζ(s)的无零点区域  //  275

13.9  黎曼假设  //  277

13.10  对除数函数的应用  //  277

13.11  对欧拉函数的应用  //  280

13.12  特征和的波利亚不等式的推广  //  283

第十三章习题  //  284

第十四章        //  288

14.1      //  288

14.2  分拆的几何表示  //  291

14.3  分拆的生成函数  //  291

14.4  欧拉五边形数定理  //  294

14.5  欧拉五边形数定理的组合证明  //  297

14.6  p(n)的欧拉递推公式  //  298

14.7  p(n)的上界  //  299

14.8  雅可比三重积等式  //  301

14.9  雅可比等式的推论  //  303

14.10  生成函数的对数微分  //  304

14.11  拉马努然的分拆等式  //  306

第十四章习题  //  307

    “哥德巴赫猜想”研究综览  //  311

特殊符号索引  //  318

编辑手记  //  320

 

 


  

【编辑手记】

先介绍一下本书的作者T.M.Apostol,有译为阿波斯托尔的.他是一位美国解析数论专家,加州理工学院教授.1948年获伯克利加州大学数学博士,之后在伯克利加州大学、麻省理工学院和加州理工学院任教.他是一位杰出的数学教师,所撰写的大学和研究生教材被译成多种语言,影响很大.

我国著名数学家华罗庚先生曾两次访问过Apostol所在的加州理工学院,其中时间较长的一次是1983.华先生作为菲厄查尔德(Sherman Fairchild)杰出学者访问了该校3个月,此次推荐华罗庚的即为�Apostol�教授(本书322页附有20世纪�80年�代,作者为邀请华罗庚访问加州理工学院而写的信函).

华罗庚先生于1983118日,在该校做了一个题为“关于在中国推广数学方法的一些个人经验”的讲座.在华先生离开加州理工学院之前,送给作者一本有他签名,由他和王元写的《Application of Number Theory to Numerical Analysis(《数论在近似分析中的应用》),并在书中夹了一封信,写道:“珍重的友谊,作暂时的告别,希望再次重逢”.

再介绍一下本书的译者赵宏量.赵先生是西南大学数学与统计学院教授,曾担任中国优选法统筹法与经济数学研究会理事,并在1966年初到1968年底的3年中参加三线建设工作,担任西南三线国家科委施工统筹方法战斗组组长,与华先生在“双法”推广中合作密切.

本书的作者及译者都与华先生有一些联系,所以借纪念华罗庚教授诞辰100周年之际出版本书也算是一种纪念.

 

刘培杰

2011331日于哈工大  

 

 

 

   
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