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书名:《超越数论基础》 英文书名:
丛书系列: 数论经典著作系列 图书编号:∑96
作者:于秀源 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-3215-4 开本:787mm×1092mm 1/16
版次:2011年3月第1版 2011年3月第1次印刷 印张:7.25  字数:134 千字千字
定价:28.00 元元 页数:

【作者简介】

于秀源 理学博士,杭州师范大学教授。主要从事解析数论、超越数论和密码学的研究。

曾任山东大学数学系副主任,杭州师范学院副院长,衢州职业技术学院院长,山东省青年联合会副主席,山东省数学会常务理事,中国优选法统筹法与经济数学研究会理事,浙江省应用数学研究会副理事长,杭州市数学会理事长等职。已在《中国科学》等国内外重要学术期刊上发表论文120余篇,出版专著及教材8部;曾获“浙江省优秀教师”、“做出突出贡献的中国博士学位获得者”等荣誉称号,获“党政密码科技进步奖”一等奖,“国家高师院校教师奖”二等奖,以及浙江省教育厅科技进步奖、浙江省优秀教学成果奖等多个奖项;1992年起享受政府特殊津贴。

 

 


  

内容简介

在介绍代数数基本知识的基础上,介绍了Siegel引理,Liouville定理及其推广,LindemannWeierstrass定理,A.O.Γeльфонд和Th. SchneiderHilbert第七问题中关于数的超越性的证明,关于代数数对数的线形型下界的Baker定理,超越性度量,数e的超越性度量,数的代数无关性,以及Mahler分类.

本书可作为数学专业研究生教材,也可作为数学系高年级大学生选修课教材使用.

 

 


  

【前  言】

超越数理论是数学的一个历史悠久的分支,可以追溯到提出“化圆为方”问题的古希腊时代.20世纪以来,以A.O.ΓeльфондTh. SchneiderA. Baker等为代表的杰出数学家的工作使得超越数理论的研究和发展,无论在方法上,还是在研究成果方面,都取得了巨大进展和成就.这些成就对数学的其他分支也产生了深远的影响.

本书的目的,在于介绍超越数的基本理论和重要的研究方法,为读者进行这方面授深入研究提供基础.限于篇幅,本书不可能涉及超越数理论的全部内容和方法而是着重于A.O.ΓeльфондSchneider方法、Baker方法,以及与之有关的内容的介绍。毋庸讳言,本书内容会有不妥之处,希望读者指正.

 

于秀源

2011131

 

 


  

【目  录】

第一章 代数数的基本知识

第一节 多项式

第二节 代数数

第三节 有理数域的扩张

第四节 基底

第二章 Siegel引理

第一节 代数数的基本性质

第二节 Siegel引理

第三节 Mahler测度

第三章 Liouville定理

第一节 Liouville定理

第二节 Liouville定理的推广

第三节 代数数用代数数的逼近

第四章 LindemannWeierstrass定理

第一节 数e的有理逼近

第二节 Hermite等式

第三节 LindemannWeierstrass定理

第四节 对数函数的渐近式

第五章 Hilbert第七问题

第一节 Γeльфонд的证明

第二节 Schneider的证明

第三节 定理的推广

第四节 Lehmer问题

第六章 代数数对数的线性形式

第一节 Bake:定理及其推论

第二节 指数多项式

第三节 Baker定理的证明

第七章 超越性度量

第一节 超越数的必要条件

第二节 超越性度量

第三节 e的超越性度量

第八章 代数无关性

第一节 Mahler分类

第二节 代数无关性

编辑手记

 

 


  

【编辑手记】

照例在书后作为策划编辑对本书要写上几句.超越数在中国不像数论的其他几个分支那样被公众广为知晓.先介绍几句.超越数论(transcendental number theory)是数论的一个分支.如果一个复数是某个系数不全为零的整系数多项式的根,则称此复数为代数数.不是代数数的复数,叫做超越数.

刘维尔开创了对超越数的研究,他于1844年以构造性方法证明了超越数的存在,他采用了构造性方法,实际地构造出超越数,例如复数g=23,…都是超越数.1873年埃尔米特证明了e是超越数,1882年,林德曼证明了π是超越数,从而解决了古希腊的“化圆为方”问题.由此开拓了超越数论这一领域.

19世纪超越数论的一项重要成果是林德曼-魏尔斯特拉斯定理:如果a1, a2,, an是两两不同的代数数,b1, b2,, bn是非零代数数,则�

                                              (1)

由此立即得出:如果ai (i=1,,,n)在有理数域Q上线性无关,则(i=12,…,n)代数无关(即它们不是任一有理系数多项式方程的根).由式(1)知,如α是非零代数数,则sin acos atan a都是超越数;如a是不等于01的代数数,则ln a是超越数.

1900年,希尔伯特提出的23个问题中的第7问题就是一个超越数论问题:如果a是不等于01的代数数,b是无理代数数,那么ab是否是超越数?1929年,盖尔方特证明了:如果a是不等于01的代数数,b是二次复代数数,则ab是超越数,特别地,eπ=(-1)-i是超越数.1930年,库兹明把这个结果推广到β是二次实代数数的情形,特别地,是超越数.1934年盖尔方特和施奈德各自独立地对希尔伯特第7问题的后半部分作了肯定回答.1966年,贝克证明了如下重要结果:若α1, α2,,αn是非零代数数,且lnα1, lnα2 ,, lnαnQ上线性无关,则1,lnα1,,lnαn在所有代数数所成的域Q上线性无关.由此可推出:(1)若代数数的对数线性组合(其系数为代数数)不等于零,则必为代数数.(2)α1,,αn,β0,β1,, βn是非零代数数,则是超越数.(3)α1,,αn是不为01的代数数,β1, β2,, βn是代数数,且1,β1, β2,, βnQ上线性无关,则为超越数.为此及其他重要数学成就,贝克获1970年菲尔兹奖.

1874年,康托引入可数性概念,一个直接的推论是“几乎所有”的实数(复数)都是超越数.马勒尔1932年提出一个猜想:对于几乎所有的实数θ、任意的正整数n和正数ε,至多有有限多个n次整系数多项式p(x),使得,其中hp(x)的诸系数的绝对值的最大值.1965年为斯普林茹克所证明.

超越数论是数学中最活跃的前沿理论之一.其最新发展已采用了交换代数、代数几何、多复变函数理论及上同调理论等方法.许多著名问题,例如,沙鲁尔猜想:若复数Q上线性无关,则由Q上生成的域的超越次数至少为n,又其特例关于e和π的代数无关性(更“简单的”e+π的超越性),以及欧拉常数的超越性的猜测,至今都未解决.

超越数论国内少有人搞.知名一点的有朱尧辰、于秀源等先生.数学工作室准备出版一系列数论著作.做为一个重要分支的超越数论不能缺少,华罗庚先生早有布局,早在20世纪50年代由华先生的学生魏道政先生翻译了西格尔的《超越数》.原版据魏先生说是华先生的藏书,随着华先生的逝世,原版早已找不到了,虽然笔者近年来大批搜购老一辈数学家所藏之西文原版数学书,但没能遇到这一本,所以只能在原译文上略加编辑加工了.

但那本书极薄,很难读,要靠它入门很不易.所以我们就决定出版这本于秀源先生的早期作品。于秀源先生是中国文革后自己培养的第一批18位理学博士之一.授学位是在人民大会堂.时间是1983527日下午,时任国务院总理的赵紫阳接见了他们,规格之高,令现在的博士们惊羡.于先生的博士论文题目是《代数函数对数的线性形式》.答辩委员会阵容极其豪华.有柯召、王元、陈景润、潘承洞、潘承彪、莫叶六位大家.时间是1983122日下午.

关于于先生有一个传闻,笔者没有和于先生核实,但宁愿信其有.19861月,当时的山东大学校长吴富恒率团访问剑桥大学.随团的于秀源的导师潘承洞先生拜访了1970年菲尔兹奖得主阿兰・贝克教授.潘先生将于秀源的几篇关于超越数论方面的论文推荐给贝克过目.读后,这位当时年仅42岁的著名数学家十分高兴,欣然同意接受于秀源以访问学者身份到剑桥大学进修.19816月于秀源到达剑桥.在剑桥于秀源完成了后来做为博士论文基础的两篇论文.《对一类函数的超越性准则》和《代数函数对数的线性形式》.临走前,贝克教授将一本修订过的《超越数论》和一张半身照片郑重地赠送给于秀源.贝克教授在书的扉页上写道:“赠给于秀源博士”.于秀源告诉他说:“教授,我现在还不是博士”.贝克一愣,说:“你应该是了”.

于秀源教授回国后写了我国首部《超越数论基础》这样的教材.一般搞学问的人都不愿意搞学问的普及,认为那很耽误时间.只有那些愿意为学术献身的人才会搞普及.

季羡林先生对著名语言学家王力先生的一生用了8个字来概括:中西融会,龙虫并雕.王力先生的书斋他自己命名为龙虫并雕斋.他的著作中有《龙虫并雕斋诗集》,《龙虫并雕斋文集》.《龙虫并雕斋琐语》等.古人云:“雕虫小技,壮夫不为”.搞高深学问研究的人不屑于搞普及.于秀源先生既搞高深学问又搞普及.所以也是数学界中的龙虫并雕大师.在当今中国的政界、商界、学界混迹着大量假冒伪劣博士的这样一个文凭大跃进时代.需要于秀源先生这样的真博士为我们做一点榜样.以免在海外贻笑于方家.

 

刘培杰

2011331日于哈工大

 

 

 

   
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