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书名:《代数数论》 英文书名:
丛书系列: 数论经典著作系列 图书编号:∑94
作者:潘承洞 潘承彪 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-3202-4 开本:787mm×1092mm 1/16
版次:2011年3月第1版 2011年3月第1次印刷 印张:21.75  字数:402千字千字
定价:48.00元元 页数:

 

【作者简介】

潘承洞(1934-1997)与潘承彪(1938-)兄弟是江苏苏州人。先后于 1952 年和1955 年从苏卅桃坞中学毕业,进入北京大学数学力学系数学专业。

潘承洞大学毕业后继续师从著名数学家闵嗣鹤攻读数论研究生,1961 年起在山东大学任教。由于他在 Goldbach 猜想及其它著名数论问题上所取得的重大成果,于 1982 年与陈景润、王元一起获得国家自然科一等奖,1991 年当选为中国科学院学部委员。

潘承彪大学毕业后在北京农业机械化学院(今中国农业大学)工作,1977 年起同时在北京大学任教,从事数论的教学与研究。

两人合著有《哥德巴赫猜想(中、英文版)》,《解析数论基础》,《素数定理的初等证明》,《代数数论》,《初等数论》及《模形式导引》等。潘承洞还与于秀源合著《阶的估计》。

 

 


  

内容简介

本书在初等数论的基础与观点之上,以尽可能少的抽象代数概念与方法,来具体地介绍代数数论中最经典、最基本、因而也是最初等的内容.它取材恰当,概念的引进自然、清楚,从具体到抽象、特殊到一般的写法,以及配有适当的例题和习题,使初学者容易理解、掌握,而且所得到的实质性结论并不比通常的代数数论教材要少.

本书适用于大中师生和数学爱好者.

 

 


  

【第三版序】

去年,刘培杰先生慎重表示哈尔滨工业大学出版社愿意再版承洞和我20年前写的《代数数论》一书,这有些出乎我的意外。因为,国内外的代数数论书已经有了不少,而这本书的内容只是其中很少的一部分,它可能是国内现在的常见的代数数论书中最简单、最基本、最具体的入门书。它不涉及任何现代思想、概念、方法和理论,只是较系统地讲述了在20世纪前期就得到的代数数论的一些基本知识,而且其中一些结论从更高的观点是很容易简单地推出来的(把本书和其他代数数论书一对照就可看出)

经再三考虑我同意了这一建议,因为从某种意义上讲,这样的书对初学者是有一定好处的,这一层意思在第一版序言中已经说了,这本书本来就是为他们写的。几十年来,我见到过一些数学工作者宣称自己解决了某个重要猜想或得到了重大成果的论文,但仔细一看,虽然有的用了“新思想”、“新方法”,却是在根上犯了初等数论中的不可改正的简单错误,一切都成了无本之木,无源之水。我想,让年轻学生在仰望灿烂星空、无比兴奋和陶醉的同时,能静下心来了解一点新东西产生的土壤,脚踏实地地打好一个坚实的基础,为未来的学习和研究确立一个严肃正确的学风,这本书或许是有一点好处的。

本来考虑要增加一些内容,但由于出版计划的安排,来不及写了,以后有机会再补上。在校对书样时也发现了一些疏误,请读者对本书的缺点错误不吝指正。

本书责任编辑刘瑶女士不仅改正了书中不少笔误和疏漏,提出了有益的建议,还改进了编排。在此表示衷心感谢!

最后,衷心感谢刘培杰先生和他的数学工作室,使本书有机会再次出版。

 

潘承彪

2011317

 


   

【第二版序】

最近,一些同志问我要我们写的《初等代数数论》,一打听才知道出版社已经没有存书了.承蒙山东大学出版社的大力支持,决定再版本书,对此表示衷心的感谢.

使我们高兴的是,一些使用过本书的老师和学生反映较好,认为它取材恰当,概念的引进自然、清楚,从具体到抽象、特殊到一般的写法,以及配有适当的例题和习题,使初学者容易理解、掌握,而且所得到的实质性结论(例如,有关类数、Fermat大定理的结论)并不比通常的代数数论教材要少.并认为由此再进一步学习代数数论可收到更好的效果.这一点正是我们所期望的,并在序言中已经说到了.当然,要学习代数数论是不能停留在这样的水平的.

至今,最好的代数数论入门书可能仍是E.Hecke1923年写的《Lectures on the Theory of Algebraic Numbers.但该书对初学者可能有一定困难,而且没有习题.如果配合它同时学习我们的书可能会好些.这也是我们写该书的目的之一.

本书原来名为《初等代数数论》,其理由在序言中已作说明,这是我所坚持的,但承洞并不赞成,因为其内容以至方法并不“初等”,这是有道理的.所以,现在再版时更名为《代数数论》,这是更合适的.经过十多年的教学,觉得本书的取材、讲述是适当的,所以全书仍保持原状未作改动,我仅对所发现的疏漏和印刷错误作了更正,添加了一本参考书及两个注.当然,一定还有不少不当之处,望读者不吝指正.

本书责任编辑孙秀英同志提出了许多有益的建议,排版质量明显提高,她的高效率的工作使本书能这样快地和读者见面,对此我表示衷心感谢!

承洞离开我们已经整整三年了.只能由我写几句以作说明.

 

潘承彪

20001227

 


   

【第一版序】

代数数论最经典、最基本的概念、方法和结论,对于学习数学的人来说是十分重要的,这些内容应当构成大学数学系的一门必修课程.

数学的概念与方法愈来愈抽象化与一般化,大概是它本身发展中不可避免的现象.高观点、抽象地讲述数学对专家来说可能是一件十分方便的事情,但给初学者带来很大的困难,而且对今后数学的发展可能并不是一件好事.

本书在初等数论的基础与观点之上,以尽可能少的抽象代数概念与方法,来具体地介绍代数数论中最经典、最基本、因而也是最初等的内容.所以本书取名为《初等代数数论》.但这些内容正是代数数论发展起来的泉源.限于篇幅,本书没有讨论二元二次型的算术理论,尽管它也是代数数论开始发展起来的一个方面.

一个新概念或新方法,只有当它能解决已有的概念、方法所不能解决(或解决起来很复杂)的问题,显示出它的优越性时,才能证明引进它是必要的,并为人们所真正接受.因此,我们应该知道从原有的(一般说来是较初等的)概念与方法能得到些什么结论,和怎样得到这些结论的.这也有助于对新概念与新方法的理解和掌握.此外,我们认为计算是重要的,这不仅对应用数学是这样,对基础数学也是如此.这些也是我们写本书所遵循的想法.

从本书的前面五章中,可以看到初等数论的内容是如何推广到所谓“二次代数整数环”――除有理整数环外最简单的代数整数环――上去 ,以及这种推广是如何有助于解决初等数论中的一些困难问题.学习这五章可对代数数论要研究的对象、基本内容有一个极初步的了解,这些内容对只想稍为知道一些代数数论知识的人,可能是足够了.

关于代数数论的发展历史和近期进展,我们建议读者去阅读有关参考书及三本数学百科全书中的有关条目(23],[24],[26],特别是[26]的条目“代数数论[algebraic number theory]”),书中不作介绍了.大学生应该养成参考阅读百科全书的习惯,这是很有益的.

本书所需要的预备知识是:初等数论(为方便起见,在第2章中不加证明地列出了它的主要内容)及高等代数中的多项式理论和线性代数知识(可参看[22).仅在极个别的地方用到了一些微积分.各章配有数量不等的习题.

丁石孙教授和赵春来同志仔细了解了我们写这本书的想法和审阅了书稿,提出了宝贵的指导意见与许多具体修改意见.按照他们的意见,一一作了相应的修改、说明.对此我们表示衷心的感谢!本书的写作得到了高校科技基金的资助;山东大学出版社对本书的出版给予了大力支持;本书的责任编辑曹振坤同志不仅改正了书中不少笔误,而且提出了有益建议使本书更便于阅读,我们表示衷心的感谢!

我们两人对代数数论都没有研究,本书是我们教学体会的一点总结,缺点、错误在所难免,请大家指正.

潘承洞  潘承彪

1991512日于山东大学

 

 


  

【目    录】

1  群、环、域

§1.1  自然数、有理整数、有理数

§1.2  集合的二元运算、半群

§1.3 

§1.4  环、整环、域

§1.5  由子集生成的子环、子域

§1.6  环的理想、商环

§1.7  整环的分式域、环和域的扩张

习题

2  初等数论的基础知识

§2.1  Z中的整除

§2.2  Z中的同余

§2.3  Z中的n次剩余、剩余特征、积性特征

习题53

3  整环中算术的基本知识

§3.1  整环中的整除概念

§3.2  整环中的同余概念

§3.3  Zi]中的算术

§3.3A  Zi]中的整除

§3.3B  Zi]中的剩余系

§3.3C  Zi]中的整除理论的应用

§3.4  Z]中的算术

§3.5  Zx]中的算术

§3.6  Euclid整环

习题

4  代数数

§4.1  代数数与代数整数

§4.2  代数数的不可约多项式与次数

§4.3  代数数域与代数整数环

习题

5  二次域的算术

§5.1  基本性质

§5.2  倍数集合及完全剩余系

§5.3  二次Euclid

§5.4  几个不定方程

§5.5  特征和

§5.6  四次互反律

§5.7  三次互反律

习题

6  代数数域的整基

§6.1 

§6.2  模的维数和基

§6.3  纯三次域

§6.4  分圆域

§6.5  Fermat大定理()

习题

7  代数数域的单位

§7.1  单位定理()

§7.2  Minkowski线性型定理

§7.3  单位定理()

习题

8  理想理论

§8.1  一点说明

§8.2  理想唯一分解定理()

§8.3  理想的进一步性质

§8.4  理想唯一分解定理()

§8.5  理想的结构

§8.6  对理想的同余

§8.7  二次域的素理想

习题

9  理想类群

§9.1  理想类群

§9.2  类数

§9.3  多项式x2-x+m

§9.4  Fermat大定理()

习题

附表

编辑手记

参考文献

各章之间的联系图

 

 


  

【编辑手记】

潘承彪先生是我国著名解析数论专家,与潘承洞院士是亲兄弟.在数论史上,这样的“龙兄虎弟”真是不多见.潘承彪先生在解析数论上是以简化了陈景润的“1+2”证明而著称.潘先生一贯行事低调,在数论圈以外较潘承洞院士广为人知,是因为他也参与中国数学奥林匹克的高级别命题工作.单尊教授曾讲过关于潘先生的一件轶事颇能说明潘先生数论解题能力之强.在澳大利亚举行的第29届国际数学奥林匹克上,最后一道试题是由联邦德国提供的,为了检测此题的难度,澳大利亚数学会曾委派4位澳大利亚国内数论顶尖高手来解,但一连几天都没能解出,单教授于是将其带到在北京召开的一次纪念华罗庚先生的数论会议上.虽然此次会议中国数论界群贤毕至,精英云集,但最后只有潘先生一人当场给出了解答.这个题目后来全世界共有11位不同国家的选手给出了解答.其中一位保加利亚选手仅用到韦达定理和最小数学原理就解出了,并获得了当年的IMO特别奖.华东师范大学数学奥林匹克研究所所长熊斌教授于1991年在其硕士论文答辩中曾举了这个例子.当时有一位参加答辩的教授让其当场解答,被挂于黑板,多亏刘鸿坤教授解围才避免了尴尬.当然,如今熊先生已是中国数学奥林匹克的领军人物了,不过在这道题上栽跟头并不丢人,因为大家都做不出.这个问题现在已有6种解法,收录在我们数学工作室的《历届IMO试题集》中.

代数数论由初等数论起源,经欧拉、高斯、爱森斯坦因和希尔伯特的努力成为一个数论分支.代数数论在20世纪得到全面的发展.1900年,希尔伯特在第二届世界数学家大会(巴黎)上提出了23个数学问题.对于其中4个代数数论问题的研究在很大程度上促进了20世纪代数数论的进步.这个时期,代数数论研究出现了许多新思想和新方法(赋值和局部域理论、局部-整体原则、padic分析、几何和解析方法的引进等),与代数几何、复分析、近世代数等结合在一起,产生了一系列重要的研究领域[类域论、模形式理论、代数曲线(特别是椭圆曲线)的算术理论、分圆域近代理论等].20世纪(特别是后30)也是代数数论大丰收的时代,它集中表现为三个菲尔兹奖获得者和两个沃尔夫奖获得者的工作.1973年德林(P.Deligne)证明了高维韦依猜想和1983年法尔廷斯(Faltings)证明了莫德尔猜想,推动了算术几何的发展,这两项工作分别获得1978年和1986年的费尔兹奖.1990年获得菲尔兹奖的德林费尔德(Drinfeld)证明了函数域上二维局部朗兰兹猜想,是宏大的朗兰兹纲领的最重要突破.朗兰兹(Langlands)1996年沃尔夫奖得主,他于20世纪后期提出的一系列猜想是用群的无限维表示理论研究数论,把代数数论和群上调和分析、微分几何和微分方程,李群和李代数等诸多数学分支交织在一起,被人们与克莱因(Klein)的爱尔朗根纲领(用群论研究几何)相提并论.与朗兰兹同时获得沃尔夫奖的怀尔斯(A. Wiles)1994年证明了具有350多年历史的费马猜想,则是借助于现代代数数论诸多方面的最新成就.代数数论在20世纪后期不仅取得丰富的理论成果,而且在计算机科学和信息工程领域得到重要应用.中国代数数论发展受国内政治影响一直没能成气候.华罗庚早年曾布局让陆洪文先生、裴定一先生、冯克勤先生等搞这一领域.但“文化大革命”使这一计划搁浅,否则费马大定理说不定会终结于中国.

201010月,SASTRA拉马努金奖委员会宣布,将2010年度SASTRA拉马努金奖授予29岁的中国数学家、哈佛大学数学系讲师张伟.评奖委员会主席、美国佛罗里达大学数学教授K・阿拉底(Krishnaswami Alladi)在颁奖词中说:“通过自己的努力和与他人的合作,张伟博士在数论、自守形式、L函数、迹公式,表示论和代数几何等数学的广泛领域作出了影响深远的贡献……因为他早期的奠基性工作和最近的两项工作,张伟博士已经成为他所在领域的国际领袖.

这是中国代数数论学者在国际上得到承认的一个重大标志.近年来,代数数论以其丰富的成果和深刻的思想方法与代数几何、群表示理论、调和分析、微分几何和偏微分方程等许多其他数学领域相互渗透和交织,不仅促进了这些学科的发展,产生了许多边缘性数学分支,而且也大大改变了数论的面貌,形成了现代代数数论的各种分支和流派.

代数数论在近年越来越成为数学的主流.挪威科学与文学院(The Norwegian Academy of Science and Letters)决定将2010年阿贝尔(Abel)奖授予位于美国奥斯汀(Austin)的得克萨斯(Texas)大学的约翰・托伦斯・泰特(John Torrence Tate),以表彰“他对数论广泛而持久的影响”.

挪威科学与文学院院长Nils Christian Stenseth2010324日在奥斯陆院部,宣布了阿贝尔奖的获得者JT・泰特将于525日在奥斯陆举行的授奖典礼上接受阿贝尔奖.这个奖项是表彰数学科学中极其深刻而且具有重大影响的贡献,自2003年起每年授一次奖,奖金额度是600万挪威克朗(约合73万欧元或100万美元).

依照阿贝尔委员会的评价,“代数数论和算术几何中的许多主要研究途径仅仅由于JT・泰特的深刻的贡献和富于启发性的洞察力才成为可能.他确实在现代数学中留下了引人注目的印记.

NH・阿贝尔纪念基金会创建于2002年,专用于向数学领域杰出科学家授予阿贝尔奖.阿贝尔奖首次授奖是在2003.

阿贝尔奖由挪威科学与文学院颁发.获奖人的选定以由5名国际杰出数学家组成的阿贝尔奖委员会的推荐为基础.阿贝尔奖同沃尔夫奖一样,一般说是相当于终身成就奖.

JT・泰特于1925313日生于美国明尼苏达州的明尼阿波利斯(Minneapolis).他刚从位于奥斯汀的得克萨斯大学数学系教授和Sid W. Richardson讲座教授的职位上退休.

JT・泰特于1946年获得哈佛学院文学士,并且在阿廷(Emil Artin)的指导下于1950年在普林斯顿大学获得博士学位.

泰特的科学生涯历经60.他曾任普林斯顿大学的研究助理和讲师(19501953),以及哥伦比亚大学的访问教授(19531954).1954年,他任哈佛大学教授,并在那里任教达36.1990年,他获得最后一个学术职位,担任奥斯汀的得克萨斯大学数学系教授和Sid W. Richardson讲座教授.

代数数论近年不仅在数学各分支体现着综合,而且在理论物理中也有着人们意想不到的奇妙联系.如:马克斯・普朗克遵循许多前辈物理学家的理论和实验工作经验,历经数年的深入研究之后,于1900年写出了他的有关黑体辐射的能量分布公式,这标志着量子理论的起始.但是,似乎没有人注意到,普朗克公式在低频率(或者高温度)的延拓可以得出伯努利数.在概率理论中,雅各・伯努利(16541705)引进了以他自己名字命名的伯努利数.19世纪,这些概念与代数数论的基础――模型式联系了起来.这些模形式在傅里叶级数展开式中的整系数,在数论当中起着重要的作用,它们以重数的形式出现在对统计力学的阐释之中.

保加利亚科学院的伊万・托多罗夫与他的年轻合作者NM・尼科洛夫在最近的一篇文章中指出,唯一的、标准化的权为4的模形式,可以给出其形紧时空中的普朗克黑体能量分布.

而伊万・托多罗夫与亚・斯塔内夫在法国高等科学研究所共同撰写的一篇论文中,单位根的伽罗瓦群被用来解决克尼日克――扎莫洛奇科夫方程当中的施瓦茨问题(有限单值性),同时它提供了一个数论和共形场论模型之间的联系.

潘先生写书以慢工出细活著称,一部高斯的《算术研究》译了5年尚未交稿.本书在约稿后,潘先生表示要加些新内容,但笔者表示来不及,所以只能等到一下版了.

本书的两位作者在年轻一代的数学人心目中地位甚高,他们将其亲切的简称为“二潘”.数论在20世纪的中国是主流数学.现在主流似乎是“双微”(微分几何与微分方程).

在人曾对比了北京和上海这两座城市,发现在北京一个人必须非主流才能入流(You have to be out to be in),而在上海,则必须入流才能主流(You have to be in to be in).而潘先生及其著作在中国则永远是既主流又入流!

 

刘培杰

2011331

 

 

   
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