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书名:《平方和》 英文书名:
丛书系列: 数论经典著作系列 图书编号:∑92
作者:冯克勤 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-3219-2 开本:787mm×1092mm 1/16
版次:2011年3月第1版 2011年3月第1次印刷 印张:7  字数:130 千字千字
定价:18.00 元元 页数:

 

【作者简介】

冯克勤 清华大学教授。1941年生,1968年研究生毕业于中国科学技术大学教学系。1973年至2000年在中国科学技术大学数学系和研究生院(北京任教,2000年后到清华大学教学系工作。从事代数数论和代数编码理论研究。出版了《分圆函数域》,《代数数论简史》等专著;《整数与多项式》,《交换代数基础》,《代数数论》,《代数与通信》等大学生和研究生教材;主编过《走向数学》丛书。

 

 


  

内容简介

全书共分四章及附录:第一章整数平方和――能表示吗?第二章再谈整数平方和――有多少种表示法?第三章-1是平方和吗?第四章多项式平方和。本书适合于高等院校师生及相关专业研究人员、数学奥林匹克竞赛选手和教练员以及数学爱好者。

 


   

【前  言】

在解决一个数学问题时,如果我们没有获得成功,原因常常在于我们没有认识到更一般的观点,从这种观点看来,眼下要解决的问题不过是一连串有关问题中的一个环节.采用这样的观点之后,不仅我们所研究的问题会容易得到解决,同时还会获得一种能应用于有关问题的普遍方法……

希尔伯特:《数学问题》,1900年在巴黎第

二届国际数学家大会上的演讲

本书中要讲的问题是:平方和.

正整数是否都可写成两个整数的平方和?通过简单的试验便可知道,例如从13030个正整数中,36711121415192122232427283015个数不能表成两个整数的平方和,而其余15个整数是可以的(例如112+02212+12422+02522+12,等等).那么,究竟什么样的正整数可以表成两个整数的平方和?

正整数是否都可写成三个整数的平方和?仍然作简单的试验便可知道,在不能表成两个整数平方和的上面那15个数当中,除了7152328之外,其余11个数均可表成三个整数的平方和(例如312+12+12612+12+221112+12+32,等等),而7152328均不是三个整数的平方和.那么,究竟什么样的正整数可以表成三个整数的平方和?

7152328不能表成三个整数的平方和,但是都可以表成四个整数的平方和:712+12+12+221512+12+22+322312+22+32+322812+12+12+52.换句话说,30以内的正整数均可表成四个整数的平方和.如果你愿意试验一下更大的正整数,便会发现它们似乎都可以.那么,是否每个正整数均可表成四个整数的平方和呢?

更进一步,一个正整数n有多少种不同的方法可表成二个(三个或四个……�)整数的平方和?例如25=(±52+02=02+(±5) 2 =(±3) 2+(±4) 2 =(±4) 2+(±3) 2共有12种方法表成二整数平方和.n表成两个(三个或四个……�)整数平方和的表法数有没有简单的计算公式?

-1(以及所有负整数)显然不能表成整数的平方和,-1也不能表成有理数或者实数的平方和.但是在复数域中,-1显然是平方和:-102+i2,i2=-1.那么,给了任意一个域F,如何判别-1是否为域F中元素的平方和?如果-1是域F中元素的平方和,那么-1至少是域F中几个元素的平方和?如果-1不是F中元素的平方和,那么域F中什么样的元素才是F中元素的平方和?

一个实系数多项式f(x1,x2,,xn)是否可表成一些实系数多项式的平方和?如果f(x1,x2,,xn)可如此表示,即f(x1,x2,,xn)g1(x1,x2,,xn)2+ g2(x1,x2,,xn)2 ++ gm(x1,x2,,xn)2,其中g1, g2 ,, gm均是实系数多项式,那么对于任意实数a1, a2 ,, an ,f(a1, a2 ,, an)= g1 (a1, a2 ,, an) 2 + g2 (a1, a2 ,, an) 2 ++ gm (a1, a2 ,, an) 20.对于任意实数都取非负值的多项式叫做正定的.那么,反过来,正定的实系数多项式是否一定可表成一些实系数多项式的平方和?如果不能,那么它是否可表成一些实系数有理函数的平方和?……�

这些关于“平方和”的数学问题听起来通俗易懂,但其实都是很不简单的,每个问题的背后都有精彩的数学典故.首先,这些问题都是由著名数学家进行研究并得到解决的.关于正整数表成二整数平方和问题,早在公元前丢番图就作过研究.费马于1642年在给梅森(Mersenne)的信中就已基本上猜出了正确的结论,欧拉也研究过这个问题.但是第一个完全解决二整数平方和与三整数平方和问题的是德国大数学家高斯(1801年,24岁).而四整数平方和问题则是由法国数学家拉普拉斯解决的(1772年,23岁).他证明了:每个正整数均可表成四整数平方和.关于-1在域F中是否为平方和这个问题,德国数学家阿廷(E.Artin)和施莱尔(Schreier)于1926年进行了深刻的研究.-1在域F中表成平方和所需最少元素个数,德国数学家费斯特(Pfister)于1967年给出十分漂亮的结果.关于正定实系数多项式是否可表成实系数多项式平方和,是由德国大数学家希尔伯特于1888年进行研究,答案在多数情形均是否定的.这促使他退一步问:正定实系数多项式是否一定可表成实系数有理函数的平方和?这是他于1900年巴黎第二届国际数学家大会上所提的23个著名数学问题中的第17个问题.这问题于1927年由阿廷所解决.本书将介绍这几段很不简单的数学史.

其次,上述数学家在研究和解决各种平方和问题的时候,提出和创造了新的数学思想和方法.这些新的数学思想和方法对于推动数学发展所起的作用和巨大意义,甚至超过了解决某些具体数学问题本身的价值.正如我们在前言一开头引用的希尔伯特那段话所指出的,这些数学家以高观点来考察平方和问题,把它作为更一般问题的一个环节,创造了研究和解决更广泛问题的普遍方法,甚至由此产生出一些富有生命力的新的数学分支.高斯研究二整数平方和问题的方法,经过库默尔和希尔伯特等人的发展,形成了数论一个新的分支――代数数论.爱森斯坦等人对于整数平方和表法个数公式的研究,产生了椭圆模函数理论和模形式理论.阿廷和施莱尔对于-1是否为平方和的研究,建立了形式实域理论.正是利用这个理论,一年后阿廷解决了希尔伯特第17个问题.费斯特对-1表成平方和所需最少元素个数等问题的研究,建立了新的二次型代数理论……通过各种平方和问题,本书也想向大家介绍这些数学家创造了哪些新的数学思想和方法,如何推动数学的发展,并由此建立了哪些新的数学分支.

最后,我们所以能够为中学师生写这本小册子,是因为关于平方和的数学问题、数学结果,甚至相当一部分数学证明都是非常初等的.我们所选取的材料就所需知识面来讲均属于初等数学范围.除了中学教材之外,只需要一点初等数论知识.为了读者方便,本书将这些初等数论知识写成一个简单的附录,放在书后供大家参考.如果说大家有什么困难,可能会是数学修养方面的问题.而本书的主要目的正是想通过平方和问题使大家开阔眼界.我们试图通过对平方和这些初等数学材料讲述非初等的数学思想.把这些材料当做通向了解高等数学思想方法的媒介和桥梁,以提高中学师生的数学修养,了解近代数学的一些侧面和轮廓.除此之外,我们也希望大家从中领略到一点数学美.

 

冯克勤

一九八九年二月于合肥

 

 


  

【目  录】

第一章  整数平方和――能表示吗?  1

1.1  二平方和――高斯定理  1

1.2  四平方和――兼谈域和四元数体  5

1.3  二元二次型  10

1.4  三平方和  16

第二章  再谈整数平方和――有多少种表示法?  23

2.1  θ,q0,q1,q2q3  24

2.2  雅可比恒等式  28

2.3  r2(n)计算公式  30

2.4  r 4(n)计算公式  36

2.5  再证r 2(n)公式――兼谈高斯整数环  42

幕间休息――漫谈代数数论  50

第三章  -1是平方和吗?  54

3.1  -1就是一切  55

3.2  全正元素是平方和  59

3.3  -1是几个数的平方和――虚二次域情形  64

3.4  sF=2n(费斯特定理) 68

第四章  多项式平方和  73

4.1  历史的回顾  73

4.2  多项式平方和――肯定性和否定性结果  78

4.3  构作sF=2k的域  86

4.4  进一步的结果和未解决的问题  91

附录  一点初等数论  94

编辑手记  97

 

 


  

【编辑手记】

冯克勤先生是我国代数数论大家,非常忙,约稿不易.笔者通过数学工作室在天津的顾问孙宏学先生介绍结识了以王成维校长为核心的一批优秀中学教育精英,刚巧其中就有冯先生的胞弟冯克俭先生, 于是促成了此事,这正应验了中国的那句老话,朋友多了路好走.

冯先生是学术大家但不是学术明星,普通读者很难在专业刊物之外读到冯先生的只字片语,有过为数不多的几次,冯先生的出现多半与华罗庚先生是相伴的.

在中国科技大学50年校庆的文集《中国科学技术大学数学系五十年》中,冯先生讲授了一件事,那是在1978年前后,冯教授去北京时中午常在华老的办公室里休息,每天午睡前,都要从一个布袋里随机地抽取五封信读读,那是从全国各地寄给华老的.多数表达了人们对华老的热爱和敬仰,其中也不乏溢美之词,有些甚至到了肉麻的程度,华老逝世后,中国科学院数学研究所在他的办公室里整理出足足四麻袋草稿纸!冯先生说:“这些年来,我常把这个故事讲给年轻人听,希望他们不要只看到那个布袋,不要只看到他的成绩和荣誉,而那四个麻袋是他劳动和汗水的化身,这才是他的真正价值,当前改革开放的形势为年轻人创造了更多的机会,但也助长了某些人逃避艰苦的思想.我相信,任何一种真正的事业都是通过艰苦劳动得来的,我这种坚定的信念来源于华罗庚老师的榜样;尽管他是天才,他仍然勤奋了一生!”

冯先生1941年出生于天津市宁河县,19599月考入中国科学技术大学,当时正是华罗庚先生在科大主事,19647月毕业后被录取为该校研究生.19677月毕业,1978年起任该校讲师,1982年升任副教授.1985年升任教授.所以冯先生与华先生可以说一直是学业上的师生,学术上的助手.华先生早年高瞻远瞩,布局中国数论研究大局,代数数论是其中一大块,裴定一、陆洪文、冯先生都是干将.可惜“文化大革命”开始,这支队伍没能像中国解析数论学派那样辉煌一时.

冯先生的名字更多的是与代数数论相联系的,德国马普数学研究所的负责人是著名代数数论专家D.Zagier.早在1982年华罗庚就曾邀请D.Zagier来华讲学,现任清华大学教授的张贤科为Zagier写了一首中文诗,并为Zagier起了个中文名字,要他在“查吉尔”和“查杰尔”两个中选择,他选了“查杰尔”.作为回报,他推荐张贤科的一篇关于相对整基的文章在《数论杂志》(Journal of Numbrer Theory)上发表.后来张贤科去美国马里兰大学访问时.Zagier也向张贤科请教了一个问题:“我是不是应当结婚?”张回答说:“按照中国的传统观念,还是结婚为好.1991年,冯先生再访马里兰大学时,L.Washington还建议其帮助Zagier介绍一位中国女孩.条件是:数学好,长得漂亮,还要在生活上照顾好他.天哪,这几条放在一起违反了公理的相容性,自然难以寻找.有人说历史上的女数学家比历史上的女王还少,其中较著名的7位被称为“数学七仙女”.7位中只有两位貌似天仙,古希腊的帕希娅和俄国的柯瓦列夫斯卡娅.其余几位正如一位数学史家在悼念爱米・诺特时所说:“美神没有眷顾她的摇篮.”但仅有的这两位又哪里是照顾别人的人呢?中国自古有“女子无才便是德”的古训,所以像林徽因那样才貌双全、秀外慧中之女如稀世珍品.从照片上看,近代似乎只有杭州大学分析学教授徐瑞云算是一位美女,其余便乏善可陈了.所以巧妇难为无米之炊,冯先生的任务当然是无法完成的啦.不过冯先生的《交换代数基础》和《代数数论入门》倒是业内的经典之作.

本书是冯先生唯一的一本与初等数学相关的书,初等数学讲究解题技巧,这方面冯先生是很强的.在冯先生的一本四十多年前的笔记本中,记载了这样一个故事.

1964723日在华罗庚教授主持的“综合讨论班”上,讨论“拉夫伦捷夫方程”(前苏联数学家),用到以下结果:

bn为实数,且

求证:bn =0(n=0,1,2,).事隔一周 ,在730日的讨论班上,北京大学闵嗣鹤先生给出了一个证明.冯先生当时也以为可以给出一个证明,未果,第二天中午冯先生修补了他的证明,终于成功(后来华罗庚先生又提出一个更简洁的证明,只有四行).能约到冯先生这样的大家的书稿是我们数学工作室之幸,也是爱数学的读者之幸.

 

刘培杰

2011331日于哈工大

 

 

 

   
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