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书名:《谈谈素数》 英文书名:
丛书系列: 数论经典著作系列 图书编号:∑91
作者:王元 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-3186-7 开本:787mm×1092mm 1/16
版次:2011年3月第1版 2011年3月第1次印刷 印张:4.50  字数:83千字千字
定价:18.00 元元 页数:

 

【作者简介】

王元 1930415日生,江苏镇江人,著名数学家,中国科学院院士。

1952年毕业于浙江大学数学系,经陈建功与苏步青推荐到中国科学院研究所工作,在华罗庚指导下研究数论。曾任数学研究所所长与中国数学会理事长。

20世纪50年代至60年代初,首先在中国将筛法用哥德巴赫猜想研究,并证明了命题(34)1957年,证明了(23),这是中国学者首次在此研究领域跃居世界领先地位,其成果为国内外有关文献频繁引用。

1973年与华罗庚合作证明了用分圆域的独立单位系构造高维单位立方体的一致分布点贯的一般定理,被国际学术界称为-王方法

20世纪80年代在丢番图分析方面,将施密特定理推广到任何代数数域,即在丢番图不等式组等方面做出先进的工作。 王元还十分关注数学哲学、数学教育和普及,对此工作倾注了大量心血。

 

 


  

【内容简介】

素数论这一古老的数学分支,包含着许多诸如哥德巴赫问题那样的有趣而又艰深的难题。为了解决这些问题,素数论既借助也带动了其他数学分支的发展,因而素数论迄今仍是一个活跃的领域。

本书旨在介绍素数论的主要内容,书中谈到了许多著名的数论问题和猜想,简介了解决这些问题的方法和近代成果,介绍了我国数学家在这个领域里的重要贡献。本书的前一半只用到了中学的数学知识,而具备一些数学分析的知识后就可以读完后一半。全书写法简捷,深入浅出,可供中学生和广大数学爱好者阅读。

 

 


  

【三 序】

这本小书自1978年写成后,共印刷过四次,其中第二版写于1995年,增加了§24,同时由广东科技出版社与台湾九章出版社分别出简体字与繁体字版.1999年,山东教育出版社出版了我的文集《王元论哥德巴赫猜想》,曾将这本小册子的第二版搜入其中.

应哈尔滨工业大学出版社刘培杰先生之邀重版这本书.这次再版,除对第二版的排版印刷错误作了一些修改外,只在§21中增加了定理4.特别的,按本书原写作风格增加了§25,介绍了近年“素数论”中的一个突破性进展,即格林与陶哲轩关于等差素数h一元组的著名猜想之证明.对于一些次要问题则未作补充.

我已是一个年过八旬的老人,已很难再有精力来修订我的拙著了.如果觉得还有参考价值,我衷心盼望年轻学者能不断修正本书不足之处且为本书增添新的有价值内容.��

 

20108

 

 


  

【再 序】

《谈谈素数》这本小册子是十年浩劫结束时,应上海教育出版社赵斌编辑之邀,立即动手写的.大概是十年来少有科技图书出版,所以初版5万册很快销售一空.

这么多年来,不断有读者给我来信.我很高兴他们从本书中了解到“素数论”的知识,但也产生了一些副作用,尽管我们一再声明研究经典数论问题,必须首先有坚实的数学基础,否则会劳而无功,但少数人不听劝说,确实浪费了宝贵时间,使我很不安,所以我在此再次强调这一观点.

几年前,台湾九章出版社总经理孙文先先生邀我再版这本小册子,苦无时间,直到最近潘承彪教授将华罗庚教授的《数论导引》的“附录”作了重新修订,使我可以将有关部分搜入本书之中,省了不少时间,在此特表感谢.这次修订,除将原书有关问题的最新结果补入本书外,还增加了§24,讲述了模p的二次型同余式的最小解问题,这次修订之后,书名为《素数》交由广东科技出版社出版.

 

199511

 

 


  

【序  言】

在数学中,数论是研究数的性质,特别是研究整数性质的分支,它和几何学一样,是最古老的数学分支.

素数就是除1与其自身外,没有其他因数的大于1的自然数.在自然数列中,最初的几个素数是

2,3,5,7,11,13,17,

素数的性质是数论最早的研究课题之一,现在已发展成为数论的一个独立分支――素数论.素数论是数论中十分有味与引人入胜的一个分支,它里面有着许多没有解决的奇妙的猜测.

这本小册子将介绍素数论方面的一些结果,前面一部分(§1~§11)是算术部分.在中学的数学课中,平面几何学是训练逻辑推导最好的课程.此外,初等数论也能起到这个作用,它有助于培养分析问题和解决问题的能力.这一部分并不涉及更多的定义与知识,所以只要耐心阅读,高中的学生是可以看得懂的.但素数论方面的重要与深刻的结果,常常是用精深的数学方法,特别是精深的分析方法得到的.如果不讲这一部分,就会给人以错觉,好像近代的素数论研究,只要从整数与素数的定义出发,作一些算术推导就行了.事实当然不是这么回事,所以在§12~§25中,我们将假定读者学过微积分并了解实数的极限概念.这一部分着重介绍近代素数论的一些问题与结果,而将证明省略了.讲这一部分的目的是给读者增加一点数学常识.属于近代数学的那些结论中,能让非专业人员了解的,也许除数论以外就不多了.从这里也不难看到,虽然素数论中的许多问题表面上提法都很简单,但是近代素数论的重要成就,却往往是在近代数学成就的基础上,通过十分迂回的道路而得到的.反过来,为了解决素数论中的问题,也曾多次刺激并带动了其他不少数学分支的重要发展.因此,素数论在数学中并不是孤立的,而是与很多数学分支密切相关的.由上所述,我们认为企图从整数与素数的定义出发,用简单的算术方法来处理这一类问题是不易收效的.不少事例表明这样做往往劳而无功,我们应该从中总结经验教训.总之,我们认为有兴趣于这类经典问题(如哥德巴赫问题)的人,应该具备相当的数学知识与修养,而且应该先熟习素数论中已有的成果与方法,再作进一步的探讨,才可能会是有益的.

这本小册子取材于华罗庚老师的著作《数论导引》(科学出版社,1957年),《指数和的估计及其在数论中的应用》(科学出版社,1963年)及夕尔宾斯基著《关于素数――我们已知和未知的》(波兰,华沙,1961年).笔者仅仅作了一些整理与归纳,使读者更便于了解素数论的概貌.另外,由于上面几本著作都已出版十多年了,所以本书也引证了一些新的文献,供作参考.

在撰写的过程中,承蒙陈景润同志的热情支持与帮助,又承蒙于坤瑞、徐广善等同志帮助准备手稿,他们提出了不少宝贵的意见.我谨在此向他们致以最衷心的感谢.限于笔者的水平,错误与不妥之处,还希望读者不吝指教.

 

19785月于北京

 

 


  

【目  

§1.素数与复合数    1

§2.唯一分解定理    2

§3.素数有无穷多    5

§4.素数表    6

§5.费马数    8

§6.梅森数    9

§7.特殊数列中的素数    11

§8.费马小定理    13

§9.拉格朗日定理与威尔逊定理    15

§10.表素数为两个自然数的平方和    17

§11.二次剩余    21

§12.素数的出现概率为零    23

§13.素数定理    28

§14.素数定理的误差项    31

§15.素数定理误差项的不规则性    33

§16.相邻两素数之差    34

§17.素数在算术级数中的分布    36

§18.哥德巴赫问题    38

§19.孪生素数问题    43

§20.华林-哥德巴赫问题    45

§21.多项式与素数    47

§22.表整数为素数与整数平方之和的问题    50

§23.p的剩余类分布问题    51

§24.p的二次型同余式的最小解    52

§25.素数中的算术序列问题    54

编辑手记    57

 

 


  

【编辑手记】

数学工作室有许多“老总”级的“粉丝”,其中中国太平洋人寿保险公司的总经理郑韫瑜便是一位。一次他从上海总部来哈尔滨视察工作,在哈尔滨分公司总经理的陪同下顺访数学工作室。�

数学工作室虽处陋室但宾主相谈甚欢,郑先生早年也是上海市的数学竞赛优胜者,后入复旦大学数学系,师从俞文教授,搞偏微分方程,后入保险业,终成大器。笔者问其中学阶段对他影响最大的是哪一本书时,他就提到了本书即王元先生的《谈谈素数》,这也是笔者在高中阶段就读过的一本书,印象很深,后期在笔者为师范院校学生讲数论选讲时也是参考这本书,经郑先生提起,笔者遂生再版之意,借黑龙江省精品图书工程开展之际开始向王元先生约稿。�

王元先生在中国数学界地位极高,人称“元老”,又是中科院资深院士,社会活动甚多,所以我预想约稿难度一定很大,因为我与“元老”并不相识,准确的讲是“元老”并不认识我,虽然我曾多次见过“元老”,但并未正式介绍过,但“元老”曾为我们数学工作室的书写过序言,那是许以超,陆柱家先生编的《全国大学生数学夏令营试题及解答》。几年前,在浙江大学召开的

一次数学教育研讨会上,丘成桐先生和“元老”都参加了,在浙大校园中,笔者与上海教育出版社的叶中豪先生与“元老”巧遇,笔者还向“元老”问起他那本斯普林格出版公司出版的《丢番图方程逼近》的英文版书的情况,他告诉笔者,这本学术性很强的书居然销量不错。出于对“元老”的景仰,笔者与中豪提议与“元老”摄影留念,“元老”欣然同意,待我们三人摆好姿式请路人拍照时,才发现中豪的相机没电了,从而失去了一次珍贵的与“元老”合影的机会,不过,对笔者这个年纪的人来说,偶像更适合于留在心中.另外一次见到“元老”是在2003年,中国数学奥林匹克(CMO)在澳门举行,“元老”作为中国数学奥林匹克委员会主席亲临现场,受到中学师生的追星,纷纷合影,一时间各省代表队入住的酒店门前热闹非凡。�

为了使本书更有时代感,“元老”特意补充了菲尔兹奖得主陶哲轩的工作,并亲自审校了全书的校样,其治学之严谨,审读之细致,工作之高效令我们工作室编辑人员敬佩不已。

有人曾这样定义书痴:如果你手里已有这本书了,但在书店里又见到这书的另一版本,你会毫不犹豫地买下来,这就是“书痴”的证明。

笔者相信,“元老”这本书会把读者都变成“书痴”的。

 

刘培杰

2010.10.30于哈工大

 

   
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