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书名:《初等数论难题集(第二卷)上》 英文书名:
丛书系列: 数论经典著作系列 图书编号:∑82
作者:刘培杰 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-2921-5 开本:787mm×1092mm 1/16
版次:2011年2月第1版 2011年2月第1次印刷 印张:34  字数:662 千字千字
定价:128.00元(上、下册)元 页数:

 

【内容简介】

本书共分7章:第1章同余,第2章数列中的数论问题,第3章多项式,第4章数论与函数,第5章二次剩余与同余方程,第6章不定方程,第7章数论与组合.

本书适合于数学奥林匹克竞赛选手和教练员,高等院校相关专业研究人员及数论爱好者.

 

 


  

【前  言】

在初等数学和数学竞赛中,几何、代数、数论、组合都是“超级大户”.几何需要不少基本知识,而组合杂题(不算计数和组合恒等式,以下所谓的组合都指组合杂题)则是出了名的“支离破碎”,它们处于数学竞赛的两极;数论则介乎两者之间.尽管它们都需要高超的、令人赏心悦目的技巧.

不过,如此一来,倒使数论成为离直觉比较远的了,为什么这样说呢?因为几何问题的构思是“有章可循”的(在与当代平面几何专家叶中豪先生的无数次探讨中,我们深深感觉到这一点),即使再难也不可能解不出,而组合杂题则仅仅依赖于一两个奇怪的想法,像变魔术一样,更依赖于出题者的直觉.但数论题则不然,只要其中一个数字差一点点,就完全可能从一道普通奥数题甚至低幼级问题,变为一道无人能解的世界难题.所以,几何的命题靠的是原有结果的堆砌,简单结果组合出不凡的结论;组合的命题则是从技巧出发,做题的人面临的“风险”是:想到了就是几分钟的事,想不到就是一辈子的事.数论与它们都不太一样(当然也仅仅是相对而言),它不是命题者从定理和技巧出发,而是从某个比较漂亮的结论出发,慢慢地猜出来的;于是数论题无非三种结果:

(1)无人能做出的猜想;

(2)能解决,但无法排除高等工具;

(3)可以成为奥数试题.

做奥数的数论题,如百思不得其解,其实就是没有看出问题本身的实质,变成第(1)或第(2)类问题了.

在高中数学奥林匹克竞赛中,初等数论的最高知识和技巧无非是:模、费马小定理和欧拉定理、二次剩余、中国剩余定理和无穷递降法;最高难度无非是某题掩盖了以上事实作为实质,不容易挖掘出来.也就是说,“暗信息”没有变成“明信息”.显然,几何中“暗信息”最多,而组合最少,数论居中.暗信息与直觉、聪明才智不同,是你必须知道的东西.比如说,某些题是绕不过一些暗信息的,如果你没有想到或不知道这些暗信息,那你就不可能把那道题做出来.

在生活中,暗信息大量地存在着.比如出门坐车,身旁的某个陌生人究竟是不是小偷、通缉犯?买东西,质量究竟好不好?我不知道,这跟我的聪明才智有没有关系;而对于癌症这样的大课题来说,人们也无法凭自己的直觉和逻辑推理,很快就找到最好的配方或医疗方式,只好一个个地尝试.在这过程中,聪明才智需要吗?当然需要一点,但是面对复杂异常的实验,小聪明恐怕帮不上什么关键性的大忙.显然,在人类的科学探索中,绝大多数情形是通过实验、经验来挖暗信息,与智商关系不是特别大.数学竞赛处于直觉、聪明和知识、暗信息的交界处,这无疑是世界全部知识体系中极小的一部分,但也已是无穷无尽:我们每次做完一道比较困难的奥数题,总觉得深有体会,似乎“功力”又增长了一点,但是面对下一道难题,又开始一筹莫展了.

因此,奥数难题有两种:一种是真正地依赖于直觉和天才,看过答案之后自然无话可说;另一种则需要某些“暗信息”,也就是说我知道需要依赖于某个不太难的结论,但一时不知道是哪个,这在不等式中比较常见,几何亦是如此.有这样一道作图题:已知相交两圆,圆不知,问如何只用直尺画出连心线?这依赖于一些结论:平行弦、弦的中点、中位线,这些都是要做出来的.如果碰巧知道这些(并不困难),此题就迎刃而解,如果碰巧不知道,那就麻烦大了.在数论中,有时也知道做某题要用到同余,但就是不知道该模什么数;再如:设大于1的整数n满足每个不同素因子的指数都是2(例如22×32×72),证明n不整除它的全体因子之和σ(n).如果你知道形如m2+m+1的数无3k+2型因子(mk均为正整数,可用费马小定理快速证明.再比如,对于大于1的正整数n,求证2n-1不整除3 n-1),此题就不很难,否则确有一定难度,你还要“摸索、发现”上述“暗信息”.歧路一多,到达目的地就困难许多,而“暗信息”是帮助我们克服歧路的有效工具.上面的这道题,还有许许多多的奥数问题,都有一个共同点:即单单凭借智商似乎很难想得出来,而一个智商不太高但很勤勉、很善于学习的人,能解出来也不是什么稀罕事.要知道数学竞赛题目的难度不可无限升高,最高的也得有最少数的人做得出来,“全军覆没”的题不应该出.怀尔斯证明费马大定理的论文中,一开始就提到40多位当代数学家(包括几位菲尔兹奖得主)的工作,不要说100年,即使是在50年前,他就是再聪明也休想解决费马大定理.

有人可能认为前一类题目好,其实未必,后一类题目循序渐进,环环相扣,对于积累经验、提升功力、学习进步很有好处.做前一类题,像是徒手爬一座座孤零零的小山,而做后一类题,就是掌握了一定的工具后爬一座大山,尽管走走停停,但最终是“会当凌绝顶,一览众山小”.用不了多久,数学功夫就能今非昔比.毕竟我们是在进行数学竞赛,而不是智商竞赛.这一现象在高等数学研究中更为明显.可以想象费马大定理会有一个相对比较初等的证明,但那肯定迂回曲折得多.历史上如有名的素数定理、华林猜想等都是先有高等证明,再有(相对)初等证明的.初等证明的特点是技巧高,缺点是结果不够强.

说了这么多,无非是要告诉大家,没有人具有无穷的天才,所以很多东西是要学的.像费马小定理、欧拉定理,或是微积分中的一些简单公式,都是费马、牛顿、莱布尼茨、欧拉等大师琢磨了上百年的东西,现在看来这些东西似乎都不难,难道这些历史上的大师就这么懒、这么笨吗?千万不要有这个错觉,大师们有很多工作,但历史证明有些不那么重要;能够被历史留下来的,不是最难的结果,而是最重要的结果.对于数学竞赛来说,某个结果用得很频繁,“出镜率”高,就能说明它重要,是一个定理(当然反过来说能称为定理的不一定都很有用).所以,即使是某个定理本身不再是暗信息,它的重要性、它的用法对于一个生手来说也许仍是暗信息!而出题者无非可能在这方面认识多一些,所以他把某个重要定理的应用非常隐蔽地出到某个题目中去,而解题者高不高明,就要看他对那些定理和技巧的领悟的程度了.

科学、数学以及高雅艺术都有这样一个需要学习、需要积累的过程,在此之中我们认为是渐悟、顿悟兼而有之,也就是阶梯式的上进(平的是渐悟,直的是顿悟).现在的一些流行歌曲或快餐文化比较肤浅,只要满足紧张忙碌的人们在一点松懈之余得到消遣就可以了,从它的功能上讲也是尽到了用处,无可厚非.当然,一个人若不满足于此,还想要循序渐进地了解一些比较深入的东西,我们觉得还是应该选择研习科学(特别是数学)或高雅艺术(如古诗、古典音乐),其目的之一就是提高自己的修养.现在一些十分自我的年轻人无意于此,客观上也是因为从繁重的教育和工作中没有得到提高修养的机会;提高修养的唯一途径就是自觉自愿地学习(至少在中学及以后有了这方面意识时),不是为了升学、职称而参加考试的那种学习,那种学习不仅不能提高修养,甚至还会使人对真正意义上的学习产生厌恶之情.爱因斯坦就是被可怕的考试搞得整整一年不想看书,后来他对填鸭式的教育做了相当多的批评.

但尽管如此,人们(比如周光召)还是说,爱氏要生长在中国才彻底没戏了.

有人说过,培养对数学的感悟能力,再也没有比初等数论更加合适.历代数学大师对数论赞誉有加.过去也陆续出过一些数论习题的小册子,以及潘承洞、潘承彪编写的很难超越的数论教材.在几何、不等式与分析领域早有类似著作问世.尤其是波利亚、舍贵的《数学分析中的问题和定理》,更是一代名著.我们写这书,主要是为了给读者提供一个学习数论的平台,至少在这一点上,我们的初衷与波利亚、舍贵应该是一致的.

本书中绝大多数题由刘培杰搜集,田廷彦添加了少量问题,主要是参与整理;另有大约300题由周晓东提供,其中有约100题来自于Peter VandendriesscheHojoo LeeProblems in Elementary Number Theory,之前周晓东陆续在www.mathoe.com做了翻译、解答.另外200题左右主要来自于平时讲义的积累,大多是国外各类竞赛题及数论资料.

两卷内容大体做如下安排:第1卷是初等数论中最基本的内容,即引进同余之前的那部分,包括整除和一些特殊的数的性质(如平方数、素数、进位制等);第2卷则主要涉及同余乃至不定方程、数论函数方面的内容.此次汇编规模甚大,也算是第一次尝试(至少在国内),尽管难免挂一漏万,但希望大家批评指正,待第2版时再加以补充和修正.

 

编著者

20112

 

 


  

【目  录】

1     /1

1.1  同余基本知识  /1

1.2  剩余类、完系和缩系  /65

1.3  费马小定理与欧拉定理  /76

1.4  威尔逊定理  /111

1.5  中国剩余定理  /122

1.6  阶与原根  /139

2  数列中的数论问题  /161

2.1  组合数的性质  /161

2.2  其他数列  /207

3  多项式  /302

4  数论与函数  /378

4.1  数论函数  /378

4.2  函数方程  /490

 

 

   
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