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书名:《初等数论难题集(第一卷)》 英文书名:
丛书系列: 数论经典著作系列 图书编号:∑44
作者:刘培杰 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-2778-5 开本:787mm×1092mm 1/16
版次:2009年5月第1版 2009年5月第1次印刷 印张:46.5  字数:780 千字千字
定价:68.00 元元 页数:

 

【内容简介】

全书共分10章:第1章整除与带余除法,第2章因子与倍数,第3章最大公约数与最小公倍数,第4章平方数与n次方数,第5章素数与合数,第6章进位制,第7章取整函数[x],第8章整数与集合,第9章整点,第10章杂题。

本书适合于数学奥林匹克竞赛选手和教练员、高等院校相关专业研究人员及数论爱好者使用。


  

【前  言】

曾经热播一时的电视剧《北京人在纽约》片首有这样一段耐人寻味的话:

 

如果你爱一个人就送他去纽约,

因为那里是天堂;

如果你恨一个人就送他去纽约,

因为那里是地狱。

 

这种貌似矛盾,实则深刻的句式完全可用之于数论。因为它是一门既古老又年轻,既浅显又艰深,既容易入门又难于精通,既纯而又纯又有诸多意想不到应用的数学分支。

说它古老是因为它所研究的对象是人类最早认识到的数学对象――整数.说它年轻是直到今天还有许多新的数论分支在产生,许多新的数论猜想被提出.说它浅显是因为有些问题的解决简直是轻而易举,如爱尔特希考查匈牙利神童(后成为著名图论专家)波萨时问到的题目:从12n2n个自然数中任选n+1个来,其中必有两个数是互质的.由于当时测试是在餐桌上进行的,据报道说波萨只喝了几口汤便给出了一个极其简练的解答:任选出的n+1个数中必有2个相邻而相邻之数必互质.说它艰深是因为有许多貌似初等的问题横亘多年没人能解答,仅以人们所熟知的费马数为例,如是否存在无穷多费马素数?是否存在无穷多费马数是合数?是否每个费马数都是无平方数?(具体可见Krizek, LucaSomer合写的一本长达257页的大书――《关于费马大数的17个讲义》)

就数论全貌来讲可描绘成古老的主干发出了若干新芽,特别是近年来兴起的计算机热对数论产生了巨大的推动.1993317日由澳大利亚昆士兰Criffith大学的P.Pritchard教授指挥60多台计算机在挪威的Bergen得到了一个最长为22,其中最小的素数为11410337850553,而公差为4609098694200的算术级数,这在拉格朗日时代是断难得到的,尽管他也研究了这个问题.更难以想象的是另一项由D.Dubner T.Forbes, N.Lygeros, M.MizonyP.Zimmermann指挥的由M.Toplic199832日找到的由相邻素数组成的算术级数,长度为10,其第一项为p=10099697246971424763778665558796403295093

24689190041803603417758904341703348882159067229719,而公差为210.这与陶哲轩获菲尔兹奖的工作有关.

数论对初学者吸引力非常之大,大到可以让一个人改弦易辙,世界著名数学家哥德尔刚一入维也纳大学时想以理论物理为专业,为此他去听了位于维也纳第九区的斯特鲁德尔霍夫大街4号的理论物理研究所四楼大教室蒂林(Hans Thirring)教授的课,巧的是维也纳大学的数学研究所在同一座楼房的地下室里,所以两年后他决定放弃物理学而转向数学,维也纳技术大学的赫拉卡(Edmund Hlawka)教授是当年哥德尔的学生,他是这样评价这一决定的:

 

“对他影响最大的,当然是哈恩(Hans Hahn)和门格尔(Karl Menger)了,他选修了他们的集合论和实变函数课程,也上富特文勒(Furtwängler)的数论课,而且我相信,正是后者激发了他把数论方法应用于逻辑――以自然数表达逻辑和数学命题,现在这被叫做‘哥德尔化'(Gdelization).

 

由此可见是数论中蕴含的一种美吸引了他.2006年阿贝尔奖颁奖仪式在瑞典举行,奥尔堡大学的Martin Raussen和挪威理工大学的Christian Skau采访阿贝尔奖得主卡尔松(Lennart Carleson)时问道:“今年是挪威戏剧家诗人亨利・易卜生逝世100周年的纪念,他所写过的最长的诗是�Balloon letter to a Swedish lady,�诗中的一节是这样写的:

 

‘――永远不要从分析方程中寻找快乐,

因为我们这个时代渴求美――'

 

诗中并没有引出什么深远的结论,易卜生似乎在表达一个大家共同的感受,那就是数学和美或者说艺术是相互对立的,它们属于两个不同的领域,您对这种观点是怎么看的?

卡尔松说:“我认为易卜生并没有真正地领会到数学中的美,这种美是我们都能发现并欣赏的,我甚至认为许多数学论证中的美比许多现代画更容易理解,但是大量的数学是缺少美的,也许特别在现代数学中,那里的问题常常是极其错综复杂的,有的解法要几百页的篇幅才能说清楚,那很难被称做是一种美,但是在古典数学中,有许多引人注目的定理和论证,它们的独创性给人留下了深刻的印象,用美来形容那些定理和论证是不为过的.

数论特别是初等数论是很“雷人”的,一不小心就会被“雷”到,在初等数学领域,初等数论与平面几何是两大“吸引子”(非线性动力学术语),一个在青年时代没被之吸引的学生将来是一定不会在数学上有什么建树的。

许多当代数学家(不论是否是数论学家)的经历都证明了这点.德国马普数学研究所的著名拓扑学家希策布鲁赫对数论有着浓厚的兴趣,以至于在1970年为庆祝普林斯顿落成一座新教学楼所召开的名为“数学前景展望”的研讨会上他当时提议将主题定为“拓扑学中越来越多的数论”。他在谈到自己中学阶段的学习时说:“好老师对学习数学至关重要,幸运的是,我遇上了如我的父亲和《数学的乐趣》这样优秀的引路人,下面,我举一些当时自己认为特别有趣,且能被高中生理解的书中例证:质数数列,涉及算术数列中无穷多个质数的问题。其他的例子还有毕达哥拉斯数和费马定理,循环小数及决定其周期长短的数论问题等。为了类似的有趣问题,我在课余时间更多地接触数学,乐此不疲.”对于这种具有挑战性的数学之美的狂热追求是数学家的特征之一。

英国爱丁堡大学教授著名数学家阿蒂亚说:“数学是一门具有挑战性的神奇学科,千百年来,不同文明、不同国度的人们都把数学作为锻炼思维能力的重要手段,而数学使我着迷的魅力在于其所蕴含的智力挑战,数学思考要求严谨审慎,因此只有真正入其内才能体验那种令人心醉的感受,那些将数学视作枯燥计算者,实在很难感受数学的奇妙,在我看来,数学之美犹如绵延的山脉;或许有的山峰怪石嶙峋,粗糙险峻,但整体看来却又气势恢宏,风光无限.(阿卜杜斯・萨拉姆国际理论物理中心.成为科学家的100个理由.赵乐静,译.上海:上海科学技术出版社.)

所以数学家特别是数论学者对于数论如美食家遇到佳肴,旅行家遇到了美景一样,沉湎其间,不能自拔.从心态上讲,数论爱好者像哈雷迷.美国人常说:“年轻时有辆哈雷戴维森,年老时有辆卡迪拉克,则此生了无他愿了.

世界各地的哈雷迷很多,如约旦国王侯赛因,伊朗前国王巴列维以及好莱坞明星施瓦辛格,至于最骇人听闻的哈雷迷是《福布斯》杂志家族第二代掌门人马孔・福布斯,他曾拥有100辆哈雷.哈雷很贵,所以美国还有为了哈雷倾家荡产,甘愿露宿街头的哈雷迷,但这等豁得出去的铁杆迷中国几乎难见.

其实数论挺像哈雷,实用性不强.论速度、价格、油耗、载重等哈雷均不占优势,所以骑哈雷得到的精神享受要多些,数论也是如此,它可能是数学中最纯的,用哈代的话说是最少有实际应用的学科了。

本书不仅适合于在校大中师生,同样也适合于已走出校门的数论爱好者阅读.因为一可以保持读书做题的惯性,从而进一步养成终身学习的好习惯.

美国马里兰大学教授约克回忆说:“进入大学前的那个夏天,一位教授对我说,如果能事先读完他推荐的两本数学书,其中包括由哈尔莫斯(P.Halmos)撰写的《有限维矢量空间》,我便可在入学后直接修读高级课程.于是每天在往返于住地和打工的肺结核医院的通勤车上抓紧时间学习,读了整整一个夏天!虽然颇为辛苦,我却心无旁骛,乐此不疲,我发现,阅读专业书籍可以培养一种与时俱进的学习能力,奇怪的是,我们在课堂上不遗余力地强调科学学习,却不培养良好的阅读习惯,其实学生毕业后不通过进一步自学继续提升水平,便很难确保知识和智力的持续增长,在此意义上,书籍是我们的终身伴侣.

本书是一本以问题为主的书,但理论蕴含其间,W.T.Gowers在一篇题为《两种数学文化》(The Two Cultures of Mathematics)�的文章中谈到有两种数学文化的存在,一种认为解决问题的目的在于更好地理解数学,另一种数学文化则认为理解数学的目的在于能更好地解决问题。

第一种文化的代表是英国著名数学家Michael Atiyah爵士,在1984年的一次访谈中他说:“有人会轻松地说:‘我想要解决这个问题',然后坐下来问:‘我怎样解它?'我不是这样,我只是徜徉在数学天地间,好奇而饶有兴味地思索着,与人交流,激发想法;一有所悟就紧追不舍,或者我会注意到有些事件与我所知道的另一些事件有关联,就试图把两方面结合起来以促生出新东西,我特别不会开始于‘我要做什么'或‘它将会怎样'之类的想法,我对数学感兴趣;我谈数学,学数学,讨论数学,于是有兴趣的问题会脱颖而出。”

其实数学家可分为两类:一类是热衷于建构庞大理论体系的理论家,如克罗登迪克;一类是醉心于小型叙事攻克难题的问题家,如厄尔多斯,他留给世人的既有很多问题的解答,更有大量迷人的待解问题,但是,他在发展理论方面却没有相应规模的建树.就数论而言特别是喜欢初等数论的人,多数都有第二种倾向,即热衷解题而疏于建立理论,因为解题更有趣。

就研究者而言是这样,就学习者而言似乎也是这样,华罗庚先生曾在维诺格拉多夫的《数论基础》中译本前言中写道:“读此书而不做书后习题就如入宝山而空返。”数论犹爱问题家。

读书人最怕功利心强的人的一声质问:读之何用?俄罗斯著名数学家阿诺德在2000921日俄罗斯“数学与社会――世纪之交的国外数学教育”学术会议上的报告中提到了哈代解释了数论为什么是数学的女王.就是哈代的这个解释,前不久尤里・伊万诺维奇・马宁也重复过,其中说法稍有不同,但几乎如出一辙,哈代的这个著名解释是这样的:“数论成为数学的女王是由于它自身的完全无用性.”但是尤里・伊万诺维奇的说法稍有不同,他解释道:“数学之所以是很有意义的科学,不是像有些人认为的那样,数学促进了人类和科学的进步,而是另一种我要说的,即它阻碍了这种进步,瞧!这就是它的功绩,这就是现代科学的基本问题――阻碍进步,是数学首先在这么做,因为如果费马等人不去证明费马定理,而去制造飞机和汽车,那么他会导致更多的危害,而数学引诱人们去关注一些毫无用处的愚蠢的习题。这样,就一切正常了。”

我们不是阿诺德那样的大家,自然不具语惊四座的底气与见识,但对问到该书用途时,我们还是可以这样回答:如果你是一位在走高考独木桥(不含参加自主招生)的高中生和为毕业找工作而焦虑不安的大学生,那么本书对你是多余品,如果已经拿起来读了也请你放下,因为它会误了你的前程;如果你是位准备参加数学竞赛的中小学生或是对数论课程感兴趣的大学生,本书对你是急需品;如果你是一位教练员或数论教师,那本书会是你的必备品;如果你是一位数论“瘾君子”,那本书简直就是“毒品”,离开它你会觉得一切都索然无味。

初等数论的迷人之处是内容少问题多,尼采说过,“没有什么东西比脸皮更深厚的了.”人脸的一百多块肌肉可以牵扯出25万种反映深层心理的表情,从中可以寻求不同生活的反映和个性的表述.数论似人脸,性质、定理少之又少,但问题却浩如烟海,何止25万,所以数论之于数学恰似人脸之于人体,以最简单的结构反映最丰富的内容。而这些正是选拔数学天才最好的素材,所以在数学竞赛中多见初等数论的身影。本书中对此也多有反映,本书收集的初等数论问题几乎全部是由刘培杰数学工作室收集编写的,也有极少数问题是由田廷彦、周晓东编写,全书题目顺序是由田廷彦编排的.两个以编辑为职业的人业余鼓捣点初等数论(接下来甚至会有代数数论、组合数论)是典型的共好,共好是“共同爱好”的简称,共好在黏合人际关系中是非常重要的因素。如果你读过布兰佳等著的《共好》,所有人都会感到:共好太重要了。

愿以几人之小共好博得众人之大共好。

 

刘培杰

2009.2.18于哈尔滨

 

 


  

【目  录】

  1  整除与带余除法  /1

  2  因子与倍数  /110

  3  最大公约数与最小公倍数  /134

  4  平方数与n次方数  /170

  5  素数与合数  /225

  6  进位制  /277

  7  取整函数[x  /369

  8  整数与集合  /408

  9  整点  /492

  10  杂题  /541

  数论中的定理与结果  /685

 

 


  

【后  记】

200919日,在人民大会堂内,2008年度国家最高科学技术奖被授予串级萃取理论的建立者,中国科学院院士徐光宪.他的成功秘诀之一是多做习题,早年徐老从上海交通大学毕业留校任教后,将亚瑟・诺伊斯《化学原理》中的498道习题和鲍林《量子力学导论》中的习题全部做了一遍.2003年非典期间,徐光宪发表了致北大学生的公开信,谆谆告诫学子们“提高自学能力,在家多做习题”.

美国普林斯顿高等研究院的阿德勒回忆自己成才经历时曾说过在高中阶段,他曾与另外8名杰出的高中毕业生一道从事暑假科学实践活动,在得知他们大都已学过微积分后,也决心立刻开始自学微积分.

他的父亲给他找出了他以前用过的微积分课本,并颇有心得地告诉他说,练习最好隔题而做――因为不解题不可能掌握所学的知识.但阿德勒的时间又很有限,而且做题太多也很乏味.于是阿德勒充分利用乘坐通勤车、课业之余的时间学习和解题,结果在秋天进入哈佛大学的时候阿德勒便直接开始学习高等微积分课程了.事实上,正是数学上的“先走一步”,使他的物理学学习很快超越了其他同学.

做习题是学习自然科学的不二法门,刘培杰数学工作室对此有高度的共识,并致力于开发此类图书,试题类图书有《历届IMO试题集》、《全国大学生数学夏令营试题解答》、《历届CMO试题集》、《历届美国大学生数学竞赛试题集》等多部图书.看到本书的众多习题,可能会有读者要问:需要做这么多题吗?我们认为:这是必须的!

心理学家Michael Howe在他的书《解释天才》中指出:要想在复杂任务上做得杰出,就必须达到一个最低练习标准,这一点在对特长和技能的研究中一次次得到证实.事实上,研究者已经得出了自己的结论,他们相信要想取得真正技能,必须达到一个神奇的数字:1万小时.学数学也是一样,虽然没有人专门研究但解万题确实是成为杰出数学家的一道门槛.苏步青、田刚等大学阶段都有过此经历.在数学家中真正的神童很少,如维纳、闵可夫斯基和陶哲轩.大部分都是靠勤奋而成名.即使像庞加莱、希尔伯特那样的大家都不例外,学生期间的勤奋除了读书就是做题,所以世界各国数学书中一大部分就是各类习题集.当然做数学题有快有慢,但要想成功总时数少不得.

神经学家Daniel Levitin说:要想达到精通的水准,或者成为世界级水平的专家,在任何领域,1万个小时的练习都必不可缺.一次一次地研究,作曲家、篮球运动员、虚构作家、滑冰运动员、音乐会上的钢琴家、围棋选手、犯罪高手,无论你从事什么,这个数字一次一次地出现.当然,这解释不了为什么某些人经过同样的练习却取得比他人更高的成就.但迄今为止,还没有人发现任何世界级专家能够用更少的练习时间取得目前的成就.似乎大脑必须用这么长的时间,才能学会达到真正精通所需的一切知识.

解完这套初等数论难题集(共三卷)的全部习题,我们估计一个中等智力的读者共需费时5 000小时,但还有没有相信勤能补拙的读者就是未知的了.

1995年的《美国数学会公报》的一篇文章中,Saunders MacLane提出把直觉―探试―出错―思索―猜想―证明作为理解数学的一个过程,而大部分现代数学课程推崇的过程与此相反,是课堂讲述―记忆―测验.

对初等数论问题的独立解答可以适当还原Saunders Maclane的过程.因为它难于套用公式又有一定难度.解答一定是在试错后完成.原来也曾设想只提供题目和简单提示(像波利亚和舍贵那两本《数学分析中的问题和定理》一样,吴康先生也曾提出这样的建议),但恐有些读者解不出题目向我们求助,限于我们的精力和水平怕难以及时帮助到读者,所以索性将详细解答一并附上.

这是一部越俎代庖之作,犯了术业专攻之忌.被比尔・克林顿誉为人类历史上最伟大的编辑的美国西蒙・舒斯特公司的副总裁兼总编辑的戈特利布(Robert Gottlieb)1994年的一次采访时感慨到:“出版业已发生了很多变化,其中一个变化就是如今很多编辑已不再编书.他们现在的任务主要是签订图书出版合同.”也有人调侃编辑说:“他们甚至不再用‘书籍'(Book)一词,在他们的工作中只有选题(Title).”策划编辑日益成为出版流水线上一名熟练工人,从马尔库塞的“单向度的人”到后工业化“流水线上的人”单一乏味的工作是造成现代人幸福感下降的原因之一.所以要像农民学习从种到耕到收全过程参与,尽管从经济学原理上讲有悖于效益至上原则,但提高了生产者的满意度.其实编者和作者并非难统一,哈尔莫斯也曾是一名好编辑,其他行业也不例外.在作曲家舒曼的传记电影《春天交响曲》中,有一个细节,年轻的舒曼在门德尔松指导下毕恭毕敬地修改乐谱――事实上,这一情节不仅是舒曼,也是当年众多年轻作曲家的真实经历.门德尔松不但是名满欧洲的作曲家,还是当时德国最大乐谱出版社的编辑,年轻作曲家们想要走上音乐之路.第一步就是拜访门德尔松,应征者中还有瓦格纳(但门德尔松一时疏忽把他提交的交响乐谱弄丢了,致使瓦格纳对此耿耿于怀).

最后像王元教授、潘承彪教授、柯召教授、孙琦教授、陆洪文教授、冯克勤教授、单教授、于秀源教授、黄宣国教授、曾荣教授、曹珍富教授、余红兵教授、李建泉教授表示感谢,因为有许多难题的解法是出自他们之手.

世界上最早解释彩虹的是法国数学家笛卡尔,那么是彩虹的哪一个特色让笛卡尔产生做数学分析的灵感呢?美国物理学家费曼的回答是:“我会说他的灵感来自于他认为彩虹很美.(里昂纳德・曼罗迪诺.费曼的彩虹.陈雅云,译.西安:陕西师范大学出版社,2000)好啦,这就是我们做本书的最重要原因,因为数论真的很美!���

 

刘培杰

200935

 

 

   
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