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书名:《Barban-Davenport-Halberstam均值和》 英文书名:
丛书系列: 数学研究著作系列 图书编号:∑33
作者:刘弘泉 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-2784-6 开本:787mm×960mm 1/16
版次:2009年1月第1版 2009年1月第1次印刷 印张:19.5  字数:227 千字千字
定价:40.00 元元 页数:

 

  

Barban Davenport Halberstam均值和(以下简称“BDH均值和”)是涉及大筛法应用和算术级数中素数分布的一个重要均值和,最初是由前苏联数论学家M.B.Barban、英国数论学家H.DavenportH.Halberstam分别独立地在20世纪60年代开始研究的,Davenport在其名著《Multiplicative Number Theory(见[D)的§29中专论此和,而英国数论学家C.Hooley则从1975年至今已在“On the Barban Davenport Halberstam theorem”的大标题下共发表了17篇论文.应用大筛法和Siegel定理,BarbanDavenportHalberstamGallagher已获得了BDH均值和适当的上界估计,MontgomeryHooley则分别在1970年和1975年用不同的方法得到了BDH均值和S(Q,x)适当的渐近公式(此处“适当的”一词意指Qx满足一由Siegel定理所界定的不等式).

我在1993年发表了一篇关于如何获求某些“BDH型均值和”适当下界估计的论文(见[L2),特别地由该文结果可导出BDH均值和已知的适当下界估计.该文的方法是全新的,因为我没有像通常那样将BDH均值和加以平方展开,而是发现了BDH均值和同圆法(“圆法”通常用来研究加法数论的问题!)中间内在而微妙的联系,由此只需将一个显然的恒等式中的积分按圆法中的“优弧”和“劣弧”加以分部处理,再经过一些求和与积分的变化,即会使问题中的“BDH型均值和”显现出来,从而获得一个适当的下界估计.受到陈景润和潘承洞在关于Goldbach数例外集工作中一引理处理方法的启发,在文[L2]中新方法的基础上,我又在1995年发表了一篇关于BDH均值和下界估计的论文(见文[L3),在其中我突破了由使用Siegel定理所带来的传统限制条件,该文的结果立即得到了国外同行高度评价(J.B.Friedlander的评价可见《Mathematical Review》,1996(f),11125).将圆法的思想同大筛法乃至L函数零点密度估计方法相结合后产生的威力,已在[L3]的工作中得到体现.值得指出的是,虽然后来Hooley采用其他方法也成功地突破了由使用Siegel定理所带来的传统限制条件,且能改进我所获得的下界估计的系数,但他却无法突破我在[L3]中获得的一个优于素数定理余项形式的结果(较为宽泛的Qx的限制条件(见本书附录三)).最近,在一篇即将发表的论文中(见[L6),我在将BDH均值和平方展开的基础上(这又回到了Montgomery方法和Hooley方法的出发点),综合运用圆法与L函数零点密度估计方法,在突破了由使用Siegel定理所带来的传统限制条件的情况下,经过很复杂的求和与积分的变换,获得了BDH均值和的一个显含L函数例外零点的“拟渐近公式”,由此立即可得两个重要推论:(i)欲获得BDH均值和在突破了由使用Siegel定理所带来的传统限制条件的情况下的标准形式的上界估计,就必须对L函数可能出现的例外实零点的上界做适当假设(这实际已解决了自Gallagher 1967年的工作以来关于BDH均值和上界估计的一个长期悬而未决的问题;这是迄今为止Hooley等人的方法无论如何所达不到的)(ii)在关于Qx的同类限制条件下,改进了Hooley在其2000年的文章[H7]中所获得的关于BDH均值和的下界估计(见附录三).文[L6]中的结果亦是可以不依赖于Siegel定理的.

出版本书的目的是想向国内外数学界介绍我在文[L3]和文[L6]中所获得的处于世界前沿水平的研究成果,并在此同时向广大数论爱好者展示解析数论中一些常用的技巧和方法.第一章和第二章是本书的基础,其中分别用细腻的笔法讲解了L函数(包括zeta函数)的基础理论、大筛法的基本理论及其如何用于L函数零点密度估计的推导.本书的特点之一是弃用了“Siegel定理”这个不实效的结果,因为我已发现在推导该定理时存在严重逻辑错误.由著名数学家潘承洞和潘承彪所著的《解析数论基础》一书(PP),无论从深度和广度上都已超过了Davenport的书,近20年来的确使国内大量年轻学者受益匪浅,但其中也有的地方处理含糊不清,为此我在处理相关内容时进行了若干更正.其一,涉及L函数的估计,我在定理1.3.6(i)(b)步骤中所构造的那个函数f(s)确为解析函数(这是应用最大模原理所必需的),而且我在那里接下去所做的技术讨论也是[PP]中所没有的.其二,涉及L函数在“σ=1”附近的“无对数因子型”零点密度估计,我在定理2.5.1中只能获得带有“log log”型因子的零点密度估计,这还是将[PP]中相关错误的处理加以更正并加细讨论后才得到的,因为我发现在Jutila1977年发表的那篇论文中,它仅仅是认为用其方法可获得“无对数因子型”零点密度估计而并未详细写出(PP]中正是用了Jutila所建议的方法).是不是其他获得L函数“无对数因子型”零点密度估计的方法也经不起推敲?我经研究发现果真如此,于是MontgomeryVaughan(还有潘承洞、陈景润、刘健民、李红泽)等人关于Goldbach例外集的重要工作就都达不到了.值得指出的是,涉及第三章中的结果,实际上只需要L函数的带有“log”较小幂次型因子的零点密度估计就足够了.本书第三章则系统地阐述了我关于BDH均值和的两项成果,其中的论证在本书范围内是“自给自足”的,追求新颖性(例如,我在§3.2中设计了一种初等的处理方法,以此避免使用要用实分析L2理论中的Plancherel定理才能证明的“Gallagher引理”),且对论文中的结果略有改进(例如,定理3.2.1已将文[L3]中的系数由“1/4改进为1/2”,而与文[L6]的主要结果相比,在定理3.3.1的表述中,则添加了因不使用“Siegel定理”所产生出来的一个额外非负求和).本书中没有对任何推广形式的“BDH型均值和”加以论述,有兴趣的读者可参阅我已发表的二篇论文(见[L2],[L4).本书§3.4中提到的那个均值和,亦是很值得研究的,对此有兴趣的年轻学者无妨深入地探讨一下.

解析数论是我国数学的强项,自华罗庚、闵嗣鹤、王元、陈景润、潘承洞等大家以来已有几代学者在从事相关一些方向的研究,目前可以说是方兴未艾,年轻一代人才辈出,都活跃在国际研究前沿.因此,我希望本书的出版能对同行学者具有一定的启迪意义.追求数学推理的严密性实在是数学家最重要的素质,这不仅应体现在若干带刺激性的计算或证明中,更应体现在理解一些数学中最基本但却较为乏味的东西上,对此恐怕只有那些仔细品味本书中细致推理的读者才能体会到我的良苦用心.阅读本书读者须具备初等数论、数学分析以及复变函数的大量知识.

哈工大数学系吴从、李容录、唐余勇三位教授,以及哈工大出版社黄菊英总编、刘培杰先生,皆对本书的出版给予支持与鼓励,我在此对他们表示衷心的感谢.

 

刘弘泉

200810月于哈工大

 

 


  

  

第一章  L函数  //  1

§1.1  Γ函数  //  1

§1.2  特征与特征和  //  16

§1.3  L函数的函数方程  //  29

§1.4  整函数ξ(s,χ)的无穷乘积展开  //  58

§1.5  L函数的零点分布  //  86

§1.6  算术级数中的素数  //  116

第二章  大筛法与L函数的零点密度估计  //  132

§2.1  大筛法  //  132

§2.2  Mellin变换及其应用  //  143

§2.3  若干数论函数的求和  //  157

§2.4  L函数的零点密度估计  //  188

§2.5  ζ函数的零点密度估计  //  204

第三章  BDH均值和  //  210

§3.1  引言  //  210

§3.2  BDH均值和的下界  //  211

§3.3  BDH均值和的一个显含L函数例外零点的渐近展开式  //  243

§3.4  一个与BDH均值和密切相关的均值和  //  279

附录一  复分析中的若干基本概念与原理  //  281

附录二  解析数论中的求和与交换求和  //  288

附录三  Hooley 2000年一文的注记  //  292

参考文献  //  294

 

 

   
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