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书名:《多项式和无理数》 英文书名:
丛书系列: 数学研究著作系列 图书编号:∑22
作者:冯贝叶 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-2385-5 开本:787mm×1092mm 1/16
版次:2008年1月第1版 2008年1月第1次印刷 印张:40.25  字数:742 千字千字
定价:68.00 元元 页数:

 

作者简介

冯贝叶Few Beiye〕 男,1946527日生于江苏省淮安县,汉族,浙江省慈溪市人。1983年北京大学数学系研究生毕业。获理学硕士学位。现任中国科学院应用数学研究所研究员。

冯贝叶从1985年开始研究同宿、异宿轨线的稳定性及其分丈课题,至今已在临界情况下同宿、异宿环的稳定性从同宿、异宿环分支出极限环或同宿、异宿环的条件,空间同宿、异宿环的稳定性,无穷远分界线的稳定性及分支出极限环的条件,二次系统极限环的分布,双参数系统从中心分支出极限环的条件等一系列问题上获得了国际国内领先的成果。他所首创的用通积分来计算鞍点邻域中的后继函数和将后继函数加以拼接以获得全局性结果的方法和公式也被国内一些数学家用以解决这方面的问题,因此起了带头作用,并为目前不少工作奠定了基础。此外,他在应用数学方面如带扩散效应的布鲁塞尔振子的周期行波解,视觉感知中的非线性振动,多种群竞争生态模型行为的研究等方面也取得了不少成果。

他在《中国科学》、《数学学报》、《应用数学学报》、《数学研究与评论》等刊物上发表过多篇论文,与他人合著有《稳定性、分支与混沌》,《常微分方程几何理论与分支问题》等专著。  

1990年起被收入World Directory of Mathematicians(《世界数学家名录》)1991年被世界著名数学评论刊物American Mathmatic Reviews(《美国数学评论》)聘为评论员,1997年被收入世界著名名人录美国《Maqius Who's Who》(《马修斯名人录》)1994年曾去英国威尔士Aberystwyth大学,威尔士Swansea大学及Cambridge大学访问讲学。

 

 


  

内容简介

本书从数的起源讲起,逐步介绍数的发展和新的各种性质及其应用,其中也包括了数学分析、实变函数和高等代数的一些入门知识,最后介绍了几个尚未解决的具有挑战性的问题。本书写法简明易懂,叙述尽量详细,适合于高中以上文化程度的学生,教师,数学爱好者以及数论、常微分方程、分支、混沌问题和3x+1问题的研究者和有关方面的专家参考使用。

 


  

 

  

作者从年轻时就对整数的奇妙性质和有关整数的各种有趣问题十分感兴趣,后来随着数学知识的增加,才知道整数又可发展成为有理数、实数和复数,而各种数之间既存在着相互的联系,又有很大差别。而有关整数的问题,有时其解法不由得不令人拍案称奇。如此积累一多,发现如果不加整理和保存,很多精彩的想法就会擦肩而过。遂决定遇到有关的问题和材料就随时做一点笔记,到退休之时,竟积累了不少。这些笔记在多年的教学和辅导中,曾反复起了不少作用,因此觉得如把它们整理出来,对那些像我当年那样也对整数问题感兴趣的年轻人和初学者多少会有些帮助,于是就产生了这本书。

目前和本书内容及题材、体裁类似的书已有不少,其中也不乏广为人知的精彩作品。作者之所以还愿意写一本这样的书,是因为一方面,这些书有一些已难于买到和借到,另一方面是感到和已有的书相比,本书在以下几方面还是有一些新意和特色的,所以才敢不揣冒昧,班门弄斧。

(1) 一次不定方程是我国古代已研究的比较成熟和成就较多的一个课题,其中如孙子问题和孙子定理(又称中国剩余定理)已是世界数学界公认的成果。

以往介绍这方面内容的书不在少数,但是往往有的书把古代的算法讲得很清楚,其中的数学原理则让人不太明了;有的书把现代的理论讲得很清楚,如何解释古代的算法则一笔带过。当我看到这些书时,对此总感到遗憾。本书将古代的算法和现代的理论一一加以对照,使读者可以很清楚地看出古代的算法其每一步的意义和依据是什么,尤其是秦九韶、黄宗宪等人创立的算法的最后一步,本书给予了严格的证明。

(2) 在复数得到了广泛的应用后,古代的数学家如哈密尔顿以及现代的初学者都曾思考过是否可以把复数推广为三元数。关于创立三元数的问题,许多科普读物都明确无误地告诉读者,这是不可能的,但是为什么不可能就语焉不详了。本书以比较浅显的方法对此作了论证。

(3) 费马大定理一直是几百年来数学家们和科普读物中的热门话题,虽然这一问题现在已经获得解决,但是人们对一些初等的证明还是十分感兴趣,其中比较难的一个是�n=3时的费马大定理的证明。一般的数论书籍通常只介绍n=4时的费马大定理的证明,即使介绍n=3时费马大定理的证明,也大都把它放在n=4时的费马大定理的证明之后。这就足以说明n=3时费马大定理的初等证明是有一定难度的。对这一比较难的问题,为使读者看懂,本应证明得更加详细,然而一些书在谈到这一问题时往往一开始就让读者看不下去了,其中最明显的一个地方是一开始就设z是偶数,很多人问过作者这个问题,后来经过作者反复钻研才发现在通常的x>0,y>0,z>0的条件下是不能做这一假设的,只有在允许x,y,z可以是任意整数(即允许他们为负数)的条件下,才可以做这一假设。这一点在潘承洞、潘承彪先生的《初等数论》一书中交代得最清楚。本书对这一问题的证明力求详尽易懂,因此虽然篇幅长了一些,但是相信读者看起来会感到思路顺畅。

(4) 无理数小数部分的分布性质是无理数和有理数的一大本质差别,本书对此介绍得比较详细,并介绍了华东师范大学王金龙先生近年来获得的最新成果。

(5) 混沌理论是近年来的热门话题,本书用初等的方法证明了逻辑斯梯映射周期三窗口的出现参数和稳定的周期三轨道的消失参数。

(6) 关于多项式理论的应用,本书收集并重新证明了关于多项式系统的胡尔维茨判据和Hopf(霍普夫)分支的代数判据。这些材料在一般的书中已不多见。

(7) 本书还给出了作者关于四次函数的根的完全判据和正定性条件,这些结果是有一定实用意义的可操作的判据,需要时应用这些结果还是比较方便的。

(8) 在整数的函数这一部分中,介绍了欧拉求和公式、贝努利数和戴德金和等概念,并证明了它们的相关性质。这些材料一般都分散在各种文献中,本书将它们收集在一起,对读者阅读本书和今后查找都是比较方便的。在这一部分,还给出了一个数论中经常使用的不等式dn3n的初等证明,其中dn表示前n个自然数的最小公倍数。

(9) 在本书第十二章中给出了几个著名的数的无理性和超越性的证明,其中包括法国数学家阿皮瑞1978年的最新结果――ζ(3)无理性的证明。相信会有读者对这些材料感兴趣。

(10) 本书最后介绍了几个尚未解决的问题,其中包括著名的3x+1问题,并给出了作者所获得的一些结果。还有一些结果在习题中给出,这些材料目前在其他书中还不多见。

本书在写法上尽量追求易懂性,为此,甚至不惜多费篇幅。这是因为当年作者在看某些书时,曾经因为有些地方被“卡住”而深感苦恼,所以作者特别能理解那种因各种原因而找不到人问以至心中的疑问长期不能获得解答的苦恼。为了避免本书再给读者造成这种苦恼,本书在讲解和证明时特别注意了这个问题,宁可显得嗦,也不愿语焉不详。从这个意义上来说,本书比较适合自学。由于在讲解上不惜笔墨和追求材料的封闭性,所以目前本书的篇幅已不小。为了不再增加篇幅,有些材料就坚决舍去。例如,本书完全不包含有关素数以及素数分布方面的结果。关于特征和把一个整数表为平方和的方法的数目也都舍去了。在作者看来,这些材料太过专业,并不适合初学者阅读。当然有些作者认为从本书的体系看应该包含的材料也因为篇幅的原因不得不割爱了。例如,本书专有一章说明有理数性质和无理数性质之间的差别,而这种差别也可以从遍历论的观点得到反映,而不变测度等内容由于和连分数有关,因此适当介绍一些遍历论方面的基础知识似乎也是顺理成章的;然而,最终出于篇幅方面的考虑,作者还是不得不舍去了这方面的材料。这样一来,可以说,本书只包含了有关学科的最初等的材料,就数论方面来说,可以说是真正的初等数论了。

虽然本书舍去了不少材料,但是只要讲到的问题都争取讲透,因此,每一个问题几乎都会讲到最后完全解决,而不会使读者有虎头蛇尾的感觉。如果由于内容所限实在不能再讲下去,文中会特别声明。

本书包含了大量的习题,作者选取习题的用意是认为这些结果都是有一定趣味的和值得注意的,因此即使不知道答案也至少应该知道这些结果。

本书没有给出习题解答。这一方面是为了使读者永远有一种未知感以保持积极的思考,另一方面也在于本书的很多习题都取自书末的参考资料,特别是潘承洞、潘承彪先生的《初等数论》,杜德利的《基础数论》和北京大学数学力学系几何与代数教研室代数小组编写的《高等代数讲义》等书,而这些书中都有答案。当然有些习题是取自近期的《美国数学月刊》和作者的笔记,因而在其他参考文献中并没有现成的答案。

大部分习题的解答方法和所需的数学知识都与它所在的章节有关。然而,请读者不要受这一点说明的约束。这只是作者当初安排习题的动机之一,但是等全书写完之后,作者发现,有一些题目完全可以用另外的方法解出。所以,如果读者发现,他解题的方法似乎与这一题目所在的章节无关,请不要奇怪。这反而说明这位读者的思维是很灵活的。

至于最终是否会出一本本书的习题解答,还要看读者的反映。

最后,作者特别借此机会对教导过我的已过世的颜同照先生、闵嗣鹤教授、方企勤教授表示怀念,对孙增彪先生、叶予同先生、周民强教授、钱敏教授和朱照宣教授表示感谢,因为他们各位在做人、做事和做学问等方面给予我的教诲,都使我终身受益。

作者也对同事朱尧辰教授和同学王国义先生在讨论各种数学问题时给予的帮助表示感谢。

最后作者对妻张清真在生活方面的照顾,女冯南南在写作及计算机方面的帮助,弟冯方回在计算机方面的帮助以及他们对作者写作的理解和支持表示感谢。没有这些帮助,作者的写作将增加许多额外的困难,也不会有愉快的写作心境。

作者不是数论方面的专家,只是一个感兴趣者,因此殷切期望读者将本书的缺陷和不足之处反映给作者。有任何意见和建议请发电子邮件至fby@amss.ac.cn.

冯贝叶

2007年底于燕园6公寓

 


  

【目  录】

第一章  数是什么以及它是如何产生的?  1

第二章  集合和对应  12

2.1  集合及其运算  12

2.2  有限集合的势  16

2.3  无限集合的势  26

2.4  不可数的集合  33

2.5  无限集的势的比较  35

第三章  整数的性质  44

3.1  整数的顺序  44

3.2  整数的整除性  46

3.3  最大公因数和最小公倍数  50

3.4  素数和算数基本定理  60

3.5  方程式的整数解  64

3.6  同余式  81

3.7  欧拉定理和费马小定理  97

3.8  整数的函数  105

3.9  同余式的方程  139

3.10  二次同余式  167

3.11  原根和指数  182

第四章  有理数的性质  206

4.1  用小数表示有理数  206

4.2  有理数的10进小数表示的特性  213

4.3  循环小数的一个应用  219

4.4  整系数多项式方程的有理根  222

4.5  实数和极限  228

4.6  开集和闭集  236

4.7  隔离性和稠密性  252

第五章  无理数  262

5.1  无理数引起的震动和挑战  262

5.2  一些初等函数值的无理性  265

5.3  对称多项式  269

5.4  代数数和超越数  277

第六章  连分数  283

6.1  什么是连分数  283

6.2  用连分数表示数  288

6.3  二次无理数和循环连分数  294

6.4  连分数的应用I:集合论中的一个定理  306

6.5  连分数的应用II:不定方程ax±byc的特解  307

6.6  连分数的应用IIIPell方程  308

6.7  连分数的应用IV:把整数表为平方和  319

第七章  用有理数逼近实数  329

第八章  实数的光谱:小数部分的性质  352

8.1  小数部分的分布  353

8.2  殊途同归――有理数和无理数小数部分的一个共同性质  367

第九章  复数  381

9.1  复数及其几何意义  381

9.2  复数的方根  393

9.3  群、环和域  398

9.4  整数的推广:各种复整数  414

9.5  n3时的费马问题  431

9.6  复数的推广  445

第十章  多项式  455

10.1  多项式及其基本性质  455

10.2  代数基本定理和多项式的唯一分解式  459

10.3  重根和公根  478

第十一章  多项式的应用  488

11.1  动力系统奇点的线性稳定性的代数判据  488

11.2  Hopf分支有关的代数判据  499

11.3  插值多项式和最小二乘法  505

11.4  Logistic映射周期3窗口的参数  522

11.5  三次方程的解法和判据  535

11.6  四次多项式零点的完全判据和正定性条件  544

第十二章  几个著名的数的无理性和超越性  561

12.1  勒让德多项式和它的性质  561

12.2  e的无理性  567

12.3  π的无理性  568

12.4  ln 2的无理性  572

12.5  ζ(2)的无理性  573

12.6  最新的记录:ζ(3)的无理性  581

12.7  e的超越性  586

12.8  π的超越性  589

第十三章  数的挑战仍在继续:几个公开问题  593

13.1  ζ(5)ζ(7)�,…是有理数还是无理数  593

13.2  欧拉常数γ是有理数还是无理数  595

13.3  3x+1问题�  602

参考文献  622

冯贝叶发表论文专著一览  627

编辑手记  631

 


  

编辑手记

一、关于书稿

如果说淘书是一种乐趣,著书是一种态度,藏书是一种品味,读书是一种生活,那么出版书就是一种眼光。�

冯贝叶先生的这部巨著不是我策划的,但是我发现的,窃以为编辑的核心能力是鉴赏力,即独到的眼光,久浸书海,这方面我有相当的自信。�

发行经理张荣一天告诉我说有人在网上征求书稿出版,遂要来资料一看是冯先生之女冯南南所为。�

对冯先生久闻大名,上世纪90年代初非线性科学在中国开始流行,哈尔滨虽地处边陲,但也组织了一个民间的非线性沙龙,吸引了数学、哲学、计算机、经济学等学科的诸多青年学子。本人也“混迹”其中(只是资质平庸,没能修成正果),在小组当时收集的文献中便有冯先生和张锦炎先生的大作《常微分方程几何理论与分支问题》,所以有仰慕之情。待书稿传来,通读后才知冯先生居然还是初等数论爱好者。偶翻刚刚寄到的《数学通报》2007年第11期上有一篇我国著名数理逻辑学家王世强先生的文章《本刊读者对于“一组有趣的数学”的回应》,其中特别提到了两位热心读者就是冯先生及其女冯南南.给人感觉冯先生即居“庙堂”之高在《中国科学》上发表大文章也涉“江湖”之远,与业余人士共探初数之趣(许多数学大家视初等数论为雕虫小技)。初等数论乃我至爱,故又生同好之喜。二者相加遂决定冒效益不佳之风险,高调推出,并为此仿德国Springer出版社的一套丛书,将其定为HIT数学・统计学系列丛书之第一本。�

二、关于书名

为了应付变幻莫测的图书市场,我开始想将书名定为《从希帕索斯到胡尔维茨》,因为之前我们的一本《从毕达哥拉斯到怀尔斯》已获市场认可。但冯先生表示反对,说有哗众取宠之嫌,还应老老实实叫《多项式和无理数》,尽管我已经征求多位数学同行意见,均表示这个书名过于平淡,但恭敬不如从命(在与数学大家或老年人有异议时,妥协的往往是编辑),我希望最后由市场来说服冯先生而不是由我,职业数学家做逻辑推理多年,总是稍显执著有余,妥协不足,不过从理论上说冯先生书名起得是有典可据的。1956年高等教育出版社就出版了NB・勃罗斯库列亚柯夫著的《数与多项式》(译者是我国著名数学家吴品三,印数是令现在每个策划编辑向往的14 000册,而定价则是每个现在读者所怀念的1.10),勃罗斯库列亚柯夫在19481025日所写的序中说:“数和多项式,初看来,彼此是不同的,但是有很多共同点。它们都定义有同样性质的加减乘除的运算,并且都是近世代数基本概念之一环的特殊情形。因此,有可能在一种共同理论的范围内来研究数和多项式。”及至近年高等教育出版社与斯普林格出版社又联合出版了冯克勤与余红兵两位教授合写的《整数与多项式》。在序言中也强调了相同的观点,所以此书名倒是中规中矩。

三、关于内容�

冯先生的大作中除少量“原创”内容外,其余均为用自己的理解详细表述已有结果,此书特别适合自学看,但我担心现在诺大中国还有自学数学之人了吗?(想当年《数理化自学丛书》举国瞩目,一书难求),所以此书优点是细(对自学者),但缺点是太细(对购买者,因为篇幅长,定价自然高)

法国著名数学家埃利・嘉当(Elie Cartan)1940227日在前南斯拉夫贝尔格莱德的法国研究院所作的演讲中指出:“数学和其他科学一样,存在着两类科学家:第一类通过提出新想法开辟康庄大道,这些想法通常简单但未被他人发现;第二类则在第一类为了到达他们自己的花园而清除过的辽阔土地上劳作,经常可以拣到可口的果实,而且有时还能获得巨大的收获。”数学图书的作者同样也有两类:一类是风景园艺建筑师式的人物,他们只写属于自己的创作,另外一类是导游式的人物,他带领游人欣赏第一类人建筑的美景,按嘉当的话说,虽然“前者更应该被人们记住和授予荣誉,但后者不仅仅是重要的那么简单,应该是不可或缺的”。冯先生二者兼而有之,其份量相信读者读完之后自有评价。

另外在稿件加工过程中冯先生的认真与严谨给我们留下深刻印象,向冯先生学习。���

策划编辑  刘培杰

20071215

 

 

   
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