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书名:《从毕达哥拉斯到怀尔斯》 英文书名:
丛书系列: 科学家传记系列 图书编号:∑9
作者:刘培杰 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-2384-7 开本:787mm×1092mm 1/16
版次:2006年11月第1版 2006年11月第1次印刷 印张:35.5  字数:655 千字千字
定价:48.00 元元 页数:

  

【前  言】

这是一个源于法国的故事.提到法国,人们自然会想到埃菲尔铁塔、凯旋门、香榭丽舍大街和拿破仑.其实喜欢人文的我国读者对法兰西文化也是并不陌生的,在文学领域中巴尔扎克、斯汤达、大仲马、雨果、乔治・桑的小说曾使我们手不释卷,艺术领域中德拉克洛瓦、科罗、库尔贝、莫奈和米勒的绘画也曾令我们如痴如醉.

如果说到哲学,法国那些灿若繁星的哲学大师则更为我国读者所熟悉,正如黑格尔所断言:关涉到文化有两种最重要的形态,那就是法国哲学和启蒙思想,这里既有深邃理论的探索,也有诚挚感情的抒发,既有《百科全书》主编狄德罗,也有一代宗师,启蒙运动的先驱伏尔泰,以及让・梅利叶、孟德斯鸠、卢梭、孔钬亚克、霍尔马赫、马布利等等.

然而就在我们津津乐道于科罗作品的梦幻境界为绘画增添了诗意,拿破仑三世曾一度撰写《凯撒传》,福楼拜因创作小说《包法利夫人》而遭控告,波德莱尔的诗集《恶之花》被删砍等文坛掌故时;在人们为拉美特利的“人是机器”,爱尔维修“自爱是人的本性”,摩莱里“私有制是万恶之源”的宏论拍案称奇时,人们可曾想到对法兰西的科学,我们又了解多少呢?作为科学的皇后――数学,法国有什么贡献?法国有哪些数学大师?对这些我们又知道多少呢?

法国是一个科学大国,法国的世界大国地位与其说是由其经济实力所决定,倒不如是说由其科技实力所奠定.蔡元培先生早在192826日欢迎法国大使马德尔演说词中就指出:

“不久以前,我国某处有一个小学教员,命学生把他们最看得起的一个外国举出来.结果,列强及瑞士、比利时等,都得到一部分学生的崇拜.有的国家,因为它的殖民地是世界上最多;有的国家,因为它的财富是世界上第一;有的国家,因为它的维新modernisatio是世界上最快.法国也得到许多小学生的崇拜,不过小学生崇拜它,不是因为它的殖民地多,不是因为它富庶,也不是因为它能学人家,能维新,却是因为它的文化发达的成就最高.法兰西的文化,在中国小学生的眼光中,已经有这么正确的判断,那在成人的眼光中,更不必说了.

所以我们今天欢迎马德尔公使,不是因为他是强大盛富的国家的代表,法国尽管是强大盛富,却是因为他是文化极高的国家的代表.

法国是世界上最盛产数学思想的国度,曾经是世界数学的中心.法兰西民族是世界上数学家辈出的民族,翻开任何一本数学著作映入眼帘的总少不了法国数学家的名字,从近代的韦达、笛沙格、笛卡尔、费马、达朗贝尔、拉格朗日、蒙日、傅里叶、柯西、伽罗瓦到现代的彭加勒、勒贝格、托姆及布尔巴基学派.

在这本书中,我们将选取在近代数学中最具传奇色彩的一位法国数学家来讲叙他和他的猜想的故事.要找到这样一位传主是很困难的.美国第一家现代报纸,1833730日在纽约创办的《太阳报》的一位编辑约翰・博加特曾说过:“狗咬人不是新闻,人咬狗才是新闻.”同样,写职业数学家如何证明或提出数学猜想,除了专家以外,很少有人会感兴趣的,因为这是意料之中的事,是他在做自己该做的事,不具传奇色彩.说到传奇,那么他应该完全是一位并不专门从事数学的业余数学家,如果他再是世界业余数学家之王就更好了.这个唯一的人选就是法国律师费马.首先,是因为怀尔斯那轰动全球的讲演,怀尔斯的证明气势宏大,可谓黄钟大吕,史无前例.它宣告了费马大定理这桩长达350年之久的历史悬案在上世纪末彻底结案,数学将翻开新的一页.而且在费马大定理长达350年的历史中,它一直充当了人类智力极限的计量表.法国一位悲观的物理学家曾断言,人类的智力已达到了极限,例证之一就是费马大定理.传说犹太王大卫的戒指上刻有一句铭文“一切都会过去”.但在契诃夫小说中却有一个人反其意,在自己的戒指上也刻了一句铭文“一切都不会过去”.

如果说怀尔斯宣布了费马猜想已经成为过去,那么本书将告诉你:它不会过去,费马永远在我们心中!费马大定理曾引“无数英雄竞折腰”,而人类又以特有的坚韧一步步向目标逼近,可谓筚路蓝缕,艰苦卓绝,在征服费马大定理的征途中留下了一系列里程碑般的著名的定理.这些定理如同英国索尔兹勃里平原上的巨石群那样,永远巍然矗立.可以将其视为数学史上的一大景观和人类对未知领域不懈探索的顽强精神的见证.作为一个现代人没有到此一游的经历,应该是很遗憾的.

更令人感到遗憾的是,最初新闻出版界对此事的冷漠和迟钝,就在全球新闻媒介为怀尔斯而疯狂,世界各大报刊铺天盖地、连篇累牍的时候,我们却出奇地冷静,只有《中国科学报》和《上海经济导报》报导了此消息,是什么原因呢?这似乎与世界名著受冷遇原因相同,在一篇分析名著被搁置的原因的文章中道出了其中的原因:

“我们所处的这个信息、媒介异样发达的时代,有谁想过,恰恰是最容易淹埋真实事物和事物本质的时代呢?因为发达,所有浮泛的、虚假的、劣质的、琐碎的东西得以传播和泛滥、流行和传染,它们实际上正联合起来,谋杀那些最有价值的东西!

这样的谋杀和误导,正时时刻刻发生在我们身边,混乱着我们的生活.而名著的搁置,只是其中的一部分.一切发展和进步都藏着它的悖论和反效果,就像人们都摆脱不掉自己的影子一样,近两年才有了一些转机.

对于为什么要读名著这个问题,有人的回答是:只有读名著你才可能知道别人的深度.同样只有读这些著名猜想的解决历史你才可能了解人类思维的深度.客观地说:这本小册子也可以算做一本中级科普读物.科普传统由来已久,科学需要普及,数学尤甚之,因为它面临着双重的需要,大众与数学家.大众需要了解,数学家需要解释.

中国人一直把学习数学当做一件很神圣的事,视为一生中的一件大事.中国有首古诗夸张地表达了这种对数学的崇敬之情.

人生世不能学算,

如空中日月无光;

即学书不学其算,

俾精神减其一半.

 

十几年前书市曾有一本十分走俏的书叫《曾国藩家书》,多次再版,颇受欢迎.曾国藩在中国历代封疆大吏中可算是博学者(他本人曾是道光进士),并治家有方,《曾文正公全集》颇受现代人欣赏,他本人曾因为不通晓数学而自责,并瞩其子孙认真习之,因此后代多为科技界精英.例如,他的第五代子孙曾宪衡为湖南医科大学教授,曾宪衡之子曾群曾在中国科技大学少年班学习,后入哈佛大学攻读博士学位.

曾国藩本人也大力擢用数学家,清代著名数学家华衡芳曾在曾国藩府中作嘉宾,并多次被保举,一生与曾国藩洋务运动结下不解之缘.而华氏则是极力推崇数学重要性的数学家.他在其长达12卷之巨的《学算笔谈》中认为:“故深于算法者可以析至纷之数,穷至赜之理,选至精至奇之器,奇造化之极舆,池天人之秘奥.国家因此而富强,天下俱得其便利,其功岂浅鲜哉!”由于这种心理价值取向的引导,我国一直有着良好的数学科普传统,而且非常成功.比如早在1953年老一辈数学家孙泽瀛曾编写过一本《数学方法趣引》(中国科学图书仪器公司出版)的小书,此书在当时引起强烈反响,其中介绍的“柯克曼女生问题”和“斯坦纳系列问题”吸引了一个当时哈尔滨电机厂生产科叫陆家羲的统计员,从那时起,他经过30多年的拼搏,终于攻克了这一世界难题,成为中国数学界的骄傲.这就是科普书籍该起的作用,它虽然不能告诉你登月球的方法,但它却极力向你讲述那里是琼楼玉宇、玉兔折桂的仙境,让你想往,让你着迷.眼下科普似乎有更重要的功效.因为现实的境况在不断地逼迫人收紧视野,先去关注眼前的物质需要,这使人缺乏理性,粘滞于世俗功利.但有了钱并不能就天圆地方,自足自在,精神生活也是人类所必须的.正如爱德华・杨(E.Young1728年所写的一首诗“Love and Fame”中所说

“哲人虽然贫穷,

却是精神富翁;

生性俭朴寡欲,

小获便有大兴.

愚者贪得无厌,

炫耀、虚幻、拚命;

追求物质享受,

每每万事皆空.

贪婪的恶水,

一旦淹没欢乐的土地,

人生的快乐,

就会变成梦幻泡影;

就好似耗子,

钻进了狭窄的风箱,

拚命地挣扎,

也解救不了垂危的生灵.

 

精神的滋养是长期的,正如王国维在其《人间词话》中所说“夫物质的文明,取诸他国,不数十年而具矣.独至精神上之趣味,非千百年之培养与一二天才之出不及此”.

当然有人说讲实际、重功利是以西方为榜样,实际上东西方情况完全不同,西方虽然在俗世生活中重功利、重物质,可是在俗世生活外还有宗教生活,可以使人在这个领域内汲取精神的资源,以济俗世生活的偏枯.而在中国,没有超越的领域.一旦受到功利观念的侵袭,则整个人生都陷于不能超拨的境地.

而从某种意义上说,科学特别是自然科学可以暂时充当这种超越的领域.学习科学、热爱科学也可看成是“逃避日常生活的折磨人的粗鲁和绝望的空虚,是由纯个人的存在走向认识客观世界的和谐的形式之一”.爱因斯坦曾说过:“这种动因,可以同满腹忧愁相比较,这种忧愁不可遏止地促使市民从一般喧嚣和混乱的环境中走入平和的高山区域,在这里,山峰上新鲜而怡静的空气渗入肺腑,那仿佛为世世代代建立的永恒的宁静使他心旷神怡.

这就是爱因斯坦醉心于科学的自我解释,当然这也可以当做老百姓的一种活法的选择.

如果本着这样的目的,选择数论来作科普是再合适不过的了.因为在数论这门最古老,但又是永葆青春的数学分支中,不时会提出精彩的、独特的问题:就其内容而言,它们是如此初等,每个中学生都能理解,它们通常是关于数字世界遵从的某一个很简单的法则,这些法则对于所有已经验证过的特殊情况都是正确的,但是,要求查明它们实际上是否总是正确的.这样,尽管问题看起来简单,但是,为解决它们,往往要用上好几年的时间,有时,甚至困惑历代最著名的学者达几百年.您应会承认,它们使人心向神往.

其次,数学的普及对数学家来说也是至关重要的,往低了说,因为他们花着纳税人的钱在搞研究,他们有义务让纳税人知道他们在干什么.往高了说,社会给了数学家在社会声望排序中很高的地位,数学家也需要向公众解释或说明一下他配占据这一地位.而现在的数学家似乎无不陷入一种矛盾的心理中,一方面是由于庆幸掌握了某种深奥理论和高深技巧所带来的强烈的自豪感,而另一方面却是惧怕自己的理论不被外界理解而产生的懊恼与孤独感.这有点像白居易《卖炭翁》中卖炭翁“可怜身上衣正单,心忧炭贱愿天寒”的两难境地.

无疑,数学是艰深的,现代数学语言是人类现存的最难掌握的、外行人根本无法破译的语言.

1992226日在挪威特隆赫姆举行了纪念挪威著名数学家李(S.Phus Lie)诞辰150周年的挪威皇家文学理科学院大会上巴思(Nils ABass)说:

“用普通语言来叙述一位数学家的工作是一个困难的任务,让我们引用一段西洛(L.Sylow)所做的关于李的纪念演讲:‘数学家比任何其他科学家要更加不幸,因为他的工作不能向受过良好教育的一般公众,甚至科学界的一般听众表述和解释,要是能够感受一个数学定理特殊的美或者欣赏这门科学已经完成部分的推理思路,他就必须是位数学家.'”

数学的极端形式化(从布尔巴基开始的),不仅阻碍了一般公众了解和欣赏数学的可能,而且有时甚至连职业数学家都大叫其苦.特别是有许多人病态地将这种形式化倾向发展到了不可理喻的地步.阿诺德(Arnol'd.VLadimir Igorevic)是前苏联著名数学家,他曾成功地证明了希尔伯特第十三问题(不可能用只有两个变数的函数解一般的7次方程),是一位世界级大师.当有一次记者采访他,问他“关于数学,你念些什么?”他回答说:对于我来说,要想读当代数学家们的著述,几乎是不可能的.因为他们不说“彼嘉洗了手”,而只是写道:

“存在一个t1<0,使得这t1自然的映射t1→彼嘉(t1)之下的像属于脏手组成的集合,并且还存在一个t2, t1t20,使得t2在上面得到的映射之下的像属于前一句中定义的集合的补集.

这种令人费解的现象用经济学家“庸俗”的观点解释就是:在市场经济环境下,只有稀缺的才能才可能是高价的.所以社会各行业都有保持从业人员稀少的倾向,于是修高门槛,提高进入成本便是最佳方法,这其中当然包括引入过繁过难的符号(西医用拉丁文写药名,中医用只有行内才认识的天书写药方均同此理).这种形式化倾向在中学数学中也有反映,许多人在评价法国中学数学改革方案时激烈地抨击说:人们往往错误地认为严密的论证就是形式主义.因此,花了很多时间去给出十分抽象的、复杂的定义,使用了过多的符号,以至数学课成了语法修辞课,要学生完成的许多练习往往是毫无趣味的,例如,要教给14岁的学生仿射直线的正式定义是:“一条仿射直线就是一个集合D,带有双射σDR,这个双射要满足以下一些性质……”这显得相当可笑,以至一个讽刺杂志特地刊登了这个定义,把它作为一个笑料.躲在象牙塔中闭门苦修的数学家与成千上万渴望了解数学的人之间的关系,颇像一个国外幽默所描述的那样.

记者问体育场工作人员彼得,足球对体育有什么贡献.“什么贡献?一点儿也没有!”“一点儿也没有?”记者吃惊地问.“你能说得详细一点儿吗?”“当然.”彼得说:“你想想看,足球使22个需要休息的人在场上拚命地跑,而4万个需要运动的人却坐在那里傻看.

所以说,好的数学科普著作是在大众与数学家这两极之间架起一座互相沟通理解的桥梁,数学科普著作会将读者领入一个陌生的领域,告诉人们什么是现代数学,数学家整天在忙些什么.沃尔夫岗・克鲁尔在其《数学的审美观》(见李砚祖主编.艺术与科学(卷一).清华大学出版社,2005.P175)中指出:与其他大多数学科的代表人物相比,数学家在交流过程中受到极其不利条件的影响,法学家、语言学家、生物学家、化学家和物理学家――所有这些人都可以与未入门的门外汉谈论他们的专业.或许他们不能完全解释那些令他们深思的问题,但他们很容易对那些表层的问题给予一个综合的描述,使他们的听众感兴趣并表示感激.

而在数学中完全不是这样!看来要理解数学真需要一种特殊的第六感官.具有这种感官的少数人会热情地投入这门科学,而其余人就会尽可能远离它,或认为它毫无价值.当然这种隔绝也给数学家们一种好处:他们不必像其他专业人员那样,他们很少在社会集合中试图与外行人作专业对话.但是数学家们并不总是甘于这种隔绝状态.

我今天对此感到特别苦恼.因为我如此热切地想给你们说明那种使我迷恋数学的极富魅力的观念.

另外,科普书与所谓的入门书又有一定区别,有些入门书是为准专家写的(如冯克勤先生的《代数数论入门》,千万别以为可以轻易入门).以费马大定理为例,目前有许多关于费马大定理的入门书,但一般人想读懂它们也是非常之难.1977年美国数学史专家纽约大学数学教授哈罗德・爱德华斯(Harol d M.Edwards)曾写了一本著名的入门书《费马的最后定理》(《Fermat's Last Theorem》),长达410页,他本人曾为此获得美国数学会1980年的一项大奖――Steele.此书详细介绍了直到20世纪70年代费马大定理的进程,然而近代从法尔廷斯开始的有关费马大定理的工作又都是跟椭圆曲线相联系的,而要想了解什么是椭圆曲线及它与费马大定理的关系,那又得读西尔弗曼(JosephH.Silverman)的《椭圆曲线的算术理论》,真可谓“路漫漫其修远兮”.加拿大数学会最新编辑的一本关于费马大定理近期进展的巨著《SEMINAR ON FERMAT'S LAST THEOREM》正在我国数论界流传,它对普通读者来说绝不亚于天书.所以说,对那些有一点数论知识(初等数论、代数数论),不想作研究,仅想了解一下费马大定理的历史的人来说,甚至仅了解一点整数知识而对费马本人感兴趣的读者来说,读本书是合适的.

数学是需要普及的.同时,数学真正意义下的普及又是极其困难的.首先是因为这项工作不具功利性,甚至比纯数学研究还缺乏功利倾向,而基础数学正是由此受到许多国家政府的冷遇.以美国为例,美国Exxon研究与工程公司总经理戴维(Edward E.David)博士曾在《科学美国人》中撰文呼吁美国联邦政府加强对数学基础研究的财政支持,尽管到1989年美国用于基础数学的经费已达1 800万美元,虽然对我国来说已近乎天文数字,但和美国其他基础科学相比仍十分不足.所以,在美国,研究数学的人自称为“敢死队”,因为相比较而言,那里的数学教授年薪最低,而这些人因热爱数学而不悔,因为有了他们才有了独执世界数学发展之牛耳的美国数学界,而不是单靠投资.现在再来看看数学普及工作,如果说政府不重视基础数学研究是因为数学对整个社会的功利需求无法快速满足,那么数学普及面临的另一个难题是由于它自身的性质所决定的不具独创性,所以这同时又满足不了那些欲在学术圈中“争名逐利”的数学家的“名利欲”,其实这是推动数学研究的健康动力之一,是深植于人性之中,无可非议的,所以尽管美国政府已开始重视数学的普及,美国数学会也在大力提倡人们写说明性和解释性的文章,借以普及现代数学,但这项工作一般说来,由于以上原因,在美国数学家眼中的价值不高,所以真正的精品并不多见.中国的情况也是如此:十几年前由中国科学院学部联合办公室、中国工程院学院工作部和《科学时报》共同策划,组织两院院士撰写,由清华大学出版社暨南京大学出版社联合出版的跨世纪科普工程――《院士科普书录》的作者中我们只发现了少数几位数学家:吴文俊、刘应明、林群、张景中4位与总数176位之比,仅为2%,这与数学在自然科学中的地位极不相称.

中国科协主席周光召在“高士其星”命名仪式上强调指出:科普工作是整个科学、社会体系中不可缺少的一部分,科普工作的对象不仅包括青少年、领导干部,也包括科学家,科学的发展要求许多跨学科的交流和互相促进.例如,数学界最新的发展除了少数科学家以外鲜有人知,这就需要数学家进行一定的科学普及工作,使他们的研究成果为全社会所享有.

此外,还有一种观点使得数学科普流于文艺化,从而丧失了它的精髓――科学化.有位著名数学家曾对是否是一个好的数学问题提出了一个判别标准是:“它能讲给你的外祖母听.”此话固然不错,数学中许多著名猜想,特别是数论中许多猜想真就能讲给老人家听,但千万不要将听懂和真正的理解搞混,虽然表面上结果是一样的,但过程迥然不同,而科普往往追求的是过程.这就像老奶奶不只一次给外孙讲嫦娥奔月的故事,但它和阿波罗登月计划却是完全两回事.以往一提到科普著作很多人会联想到类似凡尔纳科幻小说的笔法,其实随着时代的发展,这种有媚俗之嫌的笔法早已不需要了.前苏联作家和科学家N.叶费列莫夫说:“优秀的科普书籍和文章吸引着比今天的文艺作品多得多的读者.在这样一些条件下,为了深刻地和独特地影响读者,文艺作品在科学知识普及中的那些老的手法已经不够用了……为了宣传科学知识必须赋以旅游、历险或侦探色彩的时代已一去不复返了.现在,科学在其积累的知识和效用的总和中本身就是有趣的.

数学科普也是要用数学本身的魅力去吸引读者,而绝不是仅靠几条名人轶事.对此中国科技大学的冯克勤教授(他是国内费马问题的权威)有精辟的论述,他曾风趣地讲了一个源于法国数学家托姆(Thom)的一个民间传说.有一次,托姆和两位古人类学家讨论这样一个问题:我们的祖先第一位想保留火种的动机是什么?一位古人类学家说:是由于想吃熟食.另一位则说:是想取暖.而托姆则有不同的看法.他认为:第一个想保留火种的人,首先是由于在黑暗中被美丽的火焰弄得神魂颠倒.我想,对于一位数学教师来说,如果他使班上学生都取得很好的成绩,他是一个努力的教员;只有他能使学生(即使是一部分学生)对数学着了迷,被数学火焰的美妙弄得神魂颠倒,他才是一位真正好的数学教员!

在今天,一本好的科普著作标准,应该是王元教授在其为单先生《趣味数论》中所作的序中提出的四个标准,即准、新、浅、趣.然而要想做到这点是很不易的.作者努力以这四个标准为尺度,尽全力悉心写作,虽然作者是学数学出身的,但对数论的学习和研究纯属业余爱好,决非专攻.另外,在费马猜想长达350年的历史中产生了浩如烟海的研究文献,法尔廷斯、怀尔斯等大师的非凡思想又是现代数学博大精深之典范,决非作者编写的几十万字的概括性介绍和评说所能充分表现出来的.

当然,数学科普著作只对那些对数学有兴趣的人才有用,而有些人命里注定要与数学无缘.法国数学家和哲学家朱尔・昂利・彭加勒(Jules Henri Poincaté,18541912)在其名著《科学与方法》一书中,提出了一个难解而又具有重大教育意义的问题――数学为什么难以理解?他指出:“有人不理解数学,这是怎么发生的呢?既然数学有助于所有正常思想都能接受的逻辑规则,既然数学的论据建立在对一切人都是共同的原理的基础上,既然没有一个不发疯的人会否认这一点.那么在这里为何出现如此之多不开化的人呢?并非每一个人都能够发明,这绝不是难以理解的;并非每一个人都能够记住一次学到的证明,这也可以略而不提.但是,当把数学推理加以解释之后,并非每一个人都能够理解它.我们考虑这件事,似乎是十分奇怪的.”对这个问题彭加勒本人的回答是:(1)记忆力和注意力较差;(2)缺乏数学直觉;(3)过于依赖形象思维、直观思维;(4)缺乏正确的技艺.这四条中似乎只有第四条是可以后天培养的,而其余几条都是天生的,绝非读几本书就可以改变的.

编写这本书的原因有三.

第一,是费马猜想太著名、太令人想往了.如果把现代数学比作夏夜的星空的话,那么众多的数学猜想就是点缀于其间的星座.其中最为耀眼的当首推费马大定理,以至于著名数学家ED.克莱姆在《现代数学的现状及其成长》中作了如下的比喻:“可以说,这个论断在数学中正如法兰西革命在现代史一样著名.”英国数学家阿蒂雅说:

“我们无法先验地看清楚费马的这个问题的重要性.事实上,它对数学的发展一直有着深远的影响.费马宣称得到了一个证明,但他没有地方把它记下来!在过去300年里,许多世界上最好的数学家被这一貌似简单的问题的难度所吸引,致力于证明这个费马的“定理”,但只获得了部分成功.在他们奋力解决这个问题的过程中,引进了许多新的技巧与概念,它们已渗透到大部分数学之中.

“于是费马问题扮演了类似珠穆朗玛峰对登山者(在成功登上之前)所起的作用.它是一个挑战者,试图登上顶峰的企图刺激了新的技巧和技术的发展与完善.

一个问题可能自身具有基本的重要性,它是进一步发展的道路上不可化解的障碍.在这种情形下,任何有关它的解答都代表了进步,都会被人们愉快地接受.然而,在很多情况下,并不能事先预测一个特殊的问题究竟有多重要.如果它很快就被标准的方法所解决,那它就没有多大意思.如果在长时间内用已知的方法对它都无能为力,并被列入经典问题的名单,那它就具备了作为挑战所需的潜在魅力.但是,正如四色问题所提示的,即使达到这种地位也不能保证它不落入虎头蛇尾的境地.判断一个“好的”问题的真正准则在于:在寻求它的解的过程中能产生新的有着广泛应用的强有力的技巧.费马大定理是这种意义下的好问题的典型例子.

在任何给定的时期内,数学都不乏各种类型的众多问题.通往解答的各个台阶,特别是那些包含了本质上的全新的思想的步骤,乃是数学进步的一种主要标志.这种观念已得到公认,因为所有的数学家,不管专业如何,他们本质上都是技巧熟练的艺人,器重用于解决长期未解决问题时的技巧.就是一点不懂数论的人都忍不住要赞美它,我国曾有一部中篇小说就叫《再见吧,费马》,描写了一位证明费马猜想的业余爱好者.

第二,许多事情都是从不知深浅干起的,一个小学生如果知道将来等待着他的将是微分拓扑、积分方程、多复变函数论……非吓得逃离学堂不可.19世纪30年代,法国的一些青年数学家,创立了一个以法国将军命名的布尔巴基学派,他们的著作《数学原理》已出了多卷,被冠以世界数学著作之最,并被几乎所有的青年数学家奉为圭臬.但这一学派的主力,著名数学家让・迪厄多内(J.Dieudonne)回忆说:“当时我的代数知识不超过预科数学、行列式以及一点方程的可解性和单行曲线,我那时已经从高等师范学校毕业,却不知道什么是理想,而且才刚刚知道什么是群.”可以说当时距离写《数学原理》相差甚远,可贵的是,在这种条件下,他开始了并且成功了.

正如迪厄多内所说:“从我个人的经验来看,我相信,假如我没有被迫起草那些我一点都不懂的问题,并且设法使它通过,那我就不可能完成我已经完成的工作的四分之一甚至十分之一.

第三,对于费马大定理这样一个超级题材,世界各国均有大量通俗读物及综述文章来介绍,据台湾高雄大学应用数学系黄文璋教授介绍在台湾可见到的就有康明昌、姚玉强、余文卿、李文卿、于靖、CookCox等人发表的文章.Stewart是一篇较通俗的文章,假借一位教授与乘坐时空隧道机回来的费马的对话,介绍过去300多年来费马最后定理探讨的演变,有趣且易读.Cipra在《Science》发表关于费马大定理的通俗介绍,并罗列出近年来在该刊物发表的关于费马大定理的文章.SinghRibet写的文章也很有趣,将问题的来龙去脉交待得很清楚,Aczel写了非常好的回顾性专著.

这本小书中所引用的均是国外一些著名数学家有关费马大定理的通俗文章,由于时间关系在编译时参考了国内一些优秀数学家的译文与著作,如胡作玄先生、袁向东先生、冯克勤先生、冯绪宁先生、戴宗铎先生、史树中先生,等等.在此向他们表示最诚挚的谢意,正是由于他们的引介,才使得国人得以了解当今数学主流――代数数论的发展.

另外需指出的是时间的紧迫,使得写作时间很短,错误与不足显然会很多.按说数学著作的写作周期,应该是很长的,这是严谨的治学态度的必然结果.例如前面提到的那套《数学原理》的第一部分整整用了30多年才出版完毕,为了完成一卷著作,布尔巴基的成员可以8次、10次地推翻手稿一年修改一次或重写一次,要经过10多个年头才最后去付印.虽然这本小书无法和皇皇《数学原本》相比,但严谨的写作态度应该是可以学习的.正如美国经济学家保罗・A・萨缪尔森、威廉・D・诺德豪斯在其名著《经济学》(第12版)的结束语中写到:“有的时候,我们在学习经济学中所寻求的是哲人之石,得到的却是沙滩卵石.

对于费马大定理来说,我们又何尝不是如此呢?

 

刘培杰

2006.10

 


  

【目  录】

上篇  攻克费马大定理的历程

第一章  毕达哥拉斯――费马大定理的原始雏形提出者    3

1.指环王之子――毕达哥拉斯    3

2.神秘组织――毕达哥拉斯盟会    6

3.谁能告诉我    9

4.高徒之名师    10

5.毕达哥拉斯之梦    12

6.充满激情的沉思    13

7.抽象不敌具体    14

8.天国中独立的永恒存在    15

9.亲和数的历史    17

10.数学史上的第一个定理    18

11.“万物皆数”    25

第二章  费马――孤独的法官    27

1.出身贵族的费马    27

2.官运亨通的费马    28

3.淡泊致远的费马    29

4.复兴古典的费马    30

5.议而不作的数学家    32

第三章  欧拉――多产的数学家    35

1.n=3时,费马定理的初等证明    35

2.被印在钞票上的数学家    36

第四章 库默尔――“理想”的创造者    38

1.老古董――库默尔    38

2.哲学的终生爱好者――库默尔    40

3.“理想数”的引入者――库默尔    41

4.承上启下的库默尔    44

5.悠闲与幽默的库默尔    46

第五章  高斯――数学王子    47

1.最后一个使人肃然起敬的峰巅    48

2.高斯的《算术研究》及高斯数问题    49

3.离散与连续的“不解之缘”    50

4.高斯的《关于一般曲面的研究》    50

5.高斯与正17边形    51

6.奇妙的高斯数列    52

7.多才多艺的数学家    53

8.追求完美的人    54

9.不受引诱的原因    55

第六章  闯入理性王国的女性    57

1.首先闯入理性王国的女性――吉尔曼的故事    57

2.糊在墙上的微积分――俄国女数学家柯娃列夫斯卡娅的故事    63

3.美神没有光顾她的摇篮――近世代数之母诺特    70

第七章  法尔廷斯――年轻的菲尔兹奖得主    84

1.曲线上的有理点――莫德尔猜想    84

2.最年轻的菲尔兹奖得主――法尔廷斯    90

3.厚积薄发――法尔廷斯的证明    94

4.激发数学――莫德尔猜想与阿贝尔簇理论    100

5.众星捧月――灿若群星的代数几何大师    107

第八章  布朗――用真心换无穷    112

第九章  谷山和志村――天桥飞架    127

1.双星巧遇――谷山与志村戏剧性的相识    127

2.战时的日本科学    128

3.过时的研究内容――模形式    129

4.以自己的方式行事    131

5.怀尔斯证明的方向――谷山-志村猜想    132

第十章  宫冈洋一――百科全书式的学者    135

1.费马狂骚曲――因特网传遍世界,UPI电讯冲击日本    135

2.从衰微走向辉煌――日本数学的历史与现状    138

3.废止和算、专用洋算――中日数学比较    141

4.“克罗内克青春之梦”的终结者――数论大师高木贞治    144

5.日本代数几何三巨头――小平邦彦、广中平佑、森重文    147

6.好事成双    158

7.对日本数学教育的反思――几位大师对数学教育的评论    160

第十一章  怀尔斯――毕其功于一役    168

1.世纪末的大结局――怀尔斯的剑桥演讲    168

2.风云乍起――怀尔斯剑桥语出惊人    169

3.天堑通途――弗雷曲线架桥梁    172

4.集之大成――十八般武艺样样精通    177

5.好事多磨――证明有漏洞沸沸扬扬    192

6.避重就轻――巧妙绕过欧拉系    195

中篇  费马对数学的贡献及其影响

第十二章  不幸之至的猜测    213

1.不幸之至的猜测     213

2.一块红手帕――费马数的挑战    219

3.超过全世界图书馆藏书总和的费马数F73的十进制表示    220

4.费马跨时代的知音――欧拉    223

5.难啃的硬果――朱加猜测与费马数    226

6.欧拉成功的秘诀――进军西点军校的敲门砖    233

第十三章  计算数论的产生    238

1.年青与古老的结合――计算数论    238

2.支持与反证――计算机对数论猜想的贡献    239

3.寻找基本粒子――费马的办法    242

4.爱模仿的日本人――推广的费马数    245

5.计算实力的竞赛――梅森素数的发现    255

第十四章  正多边形的作图    260

1.牛棚中的探索――欧阳维诚的作图法    260

2.等分圆的理论    261

第十五章  微积分的先驱者    296

1.微积分的先驱者――费马    296

2.微分学前史上的重要经典文献――《求极大值与极小值的方法》    298

3.枯树新枝――费马极值定理的新发展    299

4.费马定理的推广与神经网络的稳定性与优化计算问题    308

5.费马与积分思想的发展    311

下篇  费马大定理获证带来的联想

第十六章  法兰西骄子    321

1.法兰西骄子――近年来获菲尔兹奖和沃尔夫奖的法国数论及代数几何大师 321

2.法兰西的特性――法兰西社会的分析    330

3.法兰西的科学传统    334

第十七章  骑自行车上月球的旅人    343

1.业余数学爱好者的证明    343

2.      353

第十八章  大哉数学为之用    366

1.在数论中我们变得最聪明――数论的应用三则    370

2.“抽象密码编制学等同于抽象数学”――97式欧文印字机密码的破译  376

3.中国人的骄傲――两位华裔工程师发明的密码    381

4.道高一尺,魔高一丈――数学家大战RSA体制    387

5.椭圆曲线公钥密码――拉马努然巧记出租车号码的秘密    392

6.什么是好的通信网络   397

7.数学对人类的关怀――拉东变换与CT圆周自映射    401

8.拓扑学与生物钟    402

9.范・梅格伦伪造名画案    406

10.战争不让数学走开    411

11.政治与数学――L.F.理查森军备竞赛理论    416

12.弱肉强食,适者生存――群体生物学中的竞争排斥原理    421

13.掠俘问题:为什么第一次世界大战期间在地中海捕获的鲨鱼的百分比会戏剧   性地增加 424

第十九章  重振数学大国的雄风    429

1.中国近代数学为什么落后了    429

2.不先利其器――落后的符号对中国数学发展的影响    440

3.光辉的一页――清末的重要数论专著《数根丛草》    443

附录    449

附录一  几个数论及组合论经典问题简介    449

1.华林问题    449

2.相继素数差猜想    452

3.狄利克雷除数问题    453

4.π(x)的问题    454

5.圆内格点问题    458

6.范・德・瓦尔登猜想    460

附录二  守望灵魂――毕达哥拉斯的新生活之路    462

1.毕达哥拉斯其人及其学派    463

2.对毕达哥拉斯的一般评价    466

3.探索新生活之路的起点是关爱灵魂    471

4.新生活之路的重要内容是寻找净化灵魂的方式    480

附录三      490

1.毕达哥拉斯与音节    490

2.言必称希腊之误    501

附录四      508

参考文献    536

      543

 

 


  

【后  记】

一篇合格的新闻作品一定要具有以下5个要素,简记为5W,即when(何时)where(何地)who()what(什么)why(为什么).

我们不妨也问自己几个为什么,第一个为什么是:这是一本很难懂的科普书.一本难懂的科普著作为什么会有读者呢?这可称为“沃什问题”.

这个问题在全球最畅销的科普著作《时间简史》大卖后也引起了人们同样的的疑问,《波士顿环球报》专栏作家戴维・沃什曾写道:“《时间简史》是一本真正难懂的书”――难懂得似乎连沃什都不能理解这本书的程度.“简直没办法看下去,至少在相当多人的水平上是这样.但是很难相信,大部分买了这本书的人会读过它,更不用说读懂它了……究竟是怎么回事呢?”角谷美智子在《纽约时报》上曾这样评论:“对于外行读者来说,要掌握霍金先生关于其新的宇宙观念的全部论述实在是太难了.”角谷还给那些浓缩章节如“涉及‘虚时间'、‘弦论'和宇宙‘暴胀'模型的,列出了参考书目,读者发现那是不可能跟得上的.”虚时间的概念尤其使马丁・加德纳感到灰心丧气.他在《纽约时报书评》上这样评论霍金的书:“要仔细一点解释这个新模型是没有希望的,因为它用到了……‘虚时间'……除了模糊的类比之外,霍金并不打算说明他的模型.

美国随笔作家查理・克劳撒默把《时间简史》的成功归功于它与《圣经》的相似性.他认为,即使人们不能完全理解这两本书,但只要拥有它们就“可以表达某种有心拜读的尊敬”(虽不能之,心向往之).当问到他对许多拥有《时间简史》的读者很可能都没有读完它的事实有什么看法时,克劳撒默说:“许多人也没有读过他们的《圣经》.但是他们喜欢把它放在身边.”确实,《时间简史》中的难懂的章节只可能增添霍金的神秘色彩.难道还有什么宗教经文里没有含混、难懂或是无解的片段吗?(霍华德・里奇著.《时间简史导读》.郑志丰,译.长沙:湖南科学技术出版社,2006年,P9194)

霍金将这种对“沃什问题”的回答尽情发挥又编出了一本洋洋百万字的科普经典――《站在巨人的肩上――物理学和天文学的伟大著作集》(中译本由辽宁教育出版社出版),在中译本序中北京大学吴国盛教授写道:

“霍金编得起劲,读者有什么理由也跟着读呢?有一种回答是,因为它是霍金编的,不是说,读《时间简史》,懂与不懂都是收获吗?不是说,《时间简史》是如今买得最多,读得最少的一本书吗?作为一种读书时尚,读霍金的书不需要理由.

第二个问题是虽然一定会有读者,但读者会多么?能不能出现叫好不叫座的情况,也就是为什么一本几乎没人读懂的书会一再重印?20066(霍金的另一部早期著作《时空的大尺度结构》([英]S.W.霍金,[南非]G.F.R.埃利斯著.王文浩,译.李泳,审校.湖南科学技术出版社)在我国被翻译出版.这部书被专业物理学家认为读不到第10(迈克尔・怀特・约翰・格里宾著.《斯蒂芬・霍金传》,上海译文出版社,2002年第1版,118),这是一本以物理学家所不擅长的微分几何(有几本物理学巨著书名就叫《物理学家用的微分几何》.这就说明并不是所有物理学家都精通此道.不然为什么没有《物理学家用的初等代数》呢?)为基本工具来研究数学家所不熟悉的宇宙学问题,所以这种判断是准确的,按常理这种书因其高、精、专、尖、深其发行量应该是非常小的,但正是这么一本初版后再也未作修订的著作却几乎年年重印,从原版的版权页上可以发现,至20世纪末它已重印达15次之多,成为一部名副其实的经典之作.有许多学生是慕名购置,但专家说:“他们的阅读不会超过第二页.

恋爱的法则是“追求不到的永远是最好的”,类似的,阅读的法则则是“读不懂的可能是最应该读的”.

在菲尔兹奖得主丘成桐教授给中国科学院研究生所做的报告中就谈到了这个问题,他说:

“从前我到伯克利去念研究生时,我花了很大功夫去听很多不同的科目,有些人觉得很奇怪,为什么我会去听那些课?我觉得这些课对我有好处,过了几十年后我还是觉得有好处.有些课在我去听的当时可能不懂,可是听了还是觉得有好处,因为一个人的脑袋的想法并不是那么简单的,有时候某些东西当时可能不懂,可是慢慢地就能领悟很多东西.我举例来讲,我做博士论文的时候,我刚好要用到群论的东西,当时我问过许多专家,但是都不懂,我突然想到从前在某一课上听过一个有关这方面的论文,我忘了当时讲什么课,但我记得大概在那里可以找这方面的文章,所以我花了两天的时间在图书馆,结果给我找到差不多是我所要的文章.假如当初不去听这门课的话,我完全没有这个机会,所以有时候听一门不懂的课,有很多不同的帮助,所以很多研究生我跟他们讲,你们去听课不一定要懂,你坐在那边总比不坐在那边好,你不坐在那边的话,你完全不可能知道有其他的方法.(余翔林,邓勇主编.《科学的力量》(第六辑).北京:科学出版社,2005P30)

仿此是不是也可以这样告诉那些潜在的读者,你看这本书不一定要看懂,你翻翻它总比不翻它要好.这是一个必要条件,爱读书的人不一定成功,但不爱读书就一定不成功,即有之未必行,无之必不行.

第三个为什么是:为什么要逆出版潮流而动?科普书可以说是目前出版市场的另类,绝非主流,目前的图书出版热点是“管理类”教人如何做小豆腐店的CEO,水果摊的CFO,如何将刚开张一年的小杂货铺打造成百年老店,进入世界500强,故意渲染成功者发家历程中几个戏剧性的情节而刻意漠视人家长时期默默无闻的艰苦努力,进而激发起引车卖浆之流迅速致富的欲望.除此还有所谓“励志类”图书,通过成功人士痛说革命家史(无外乎年幼家贫,母丧父病,辍学务农,饱尝人间冷暖之类),然后发奋努力,终成人上人,随后便到处指点江山,著书立说为涉世不深的青少年规划人生.此类说教的一个典型案例是一个苹果的故事:一个饥寒交迫的年轻人只拥有一只苹果,是吃掉维持生命还是卖掉赚钱对他来说是一个艰难的选择,最后他决定卖掉,经过用力在衣服上擦拭,苹果鲜红欲滴,很快便卖出,赚了一美金,之后马上又买了两只苹果卖掉后赚了两美金,……故事的结局是年轻人终成亿万富翁(但故事的真正情节是第三天年轻人突然得到了三千万美元的遗产).这样的图书害人之深不可小看,它掩饰了由草根到富豪,由凡人到大腕之间那关键的“一跳”.在学术领域则大肆宣扬只要掌握技巧,便可快速成功.

还有对所谓天才的宣传也是对青年人的误导,丘成桐先生说:“我在国外多年,遇到许多很出名的数学家,甚至许多有名的物理学家我也见过,但我认为并没有一个是真正的像报纸上所讲的是天才,我所认识的大科学家,都是经过很大的努力,才能够达到他所达到的成就,我的学生问我:“为什么你做得比我好?”我说很简单,我比你用功.我在办公室或是在家里边,我天天想问题,你们在外面玩,而我花了功夫在解决想了很久的问题,我总比你不想、不花时间成就大一点……我想很多出名的科学家在表现有所不同的时候,你会觉得他是天才,事实上他用在后面的功夫是很多的.(《科学的力量》)

在伪书、假书大行其道的今天,严肃的科学普及图书似乎是不受欢迎的.可以说本书的出版时机可说是既“不合时宜”又“恰逢其时”,匈牙利马克思主义哲学家卢卡奇有一个洞见,说商品形式会“渗透到社会生活的所有方面,并按照自己的形象来改造这些方面”.目前图书的出版也越来越受控于资本方的意志,大众阅读趣味与社会思潮影响着图书的销售,销售方左右着图书的印数,而印数决定着书稿的命运,所以是主动迎合投怀送抱还是被动跟随无可奈何,亦或孤独坚守矢志不移都在极大地困扰着作者及编辑(但似乎也存在良好互动的可能).

诸如此类问题已经越来越多地引起人们的关注,数学家大多清高,超拔于世俗之外,以入世过深为耻,所以不屑于参加此类空谈,有个别有感而发,也因或疏于表述技巧或语不惊人遂淹没于噪声之中,所以借鉴其他方面专家的思考会有助于认清问题的实质.艺术批评家朱其指出:

“今天的中国粗放,充满活力和给人以未来的希望,在物质和身体上给人感官享受和刺激,但在人性和自我养护上又极其残酷和粗暴,中国当代艺术也类似于美国六七十年代的波普艺术时期,资本主义的鼎盛让那一代艺术家感到绝望,在一个只有资本才能对抗资本的时代,前卫艺术家所能做的就是将自己的艺术资源变成钱,或者将自己手里的作品变成可以换取资本的商品,唯其如此似乎才能对资本主义进行最后的反戈一击,以获得尊严.

“在走向鼎盛资本主义的兼顾不得自我平衡发展的时期,商人变得渴望向艺术家靠拢,艺术家变得越来越崇拜商人.这是一个资本和精神不允许同时积累的时期,所以积累起资本的人和在精神对抗中的人自然发生一种彼此需求.(卢杰,等.《潮流反潮流》.长江文艺出版社,2006年,P259)

从广义上看数学与资本的关系也大体与艺术与资本的关系相同.从表层看互相排斥但深层次上又相互需要,就是那种类似“近则不敬,远之则怨”的微妙关系.

关于出版理由,我想有两点,一是牵涉经典,二是意义深远.

作家海岩曾说:“过去,10年前说的话,10年后还能说,现在是去年说的话,今年就过时了,再说就老土.去年大家还关心的事情,今年已经不关心了;去年认为正确的事情,今年不正确了.小说变成速朽的东西,很难说什么东西是经典的,永恒的.(夏榆编著.《物质时代的文化真相》.北京:文化艺术出版社,P116)人们心目中的少数偶像,也快速历经从政治明星到腐败分子,从经济人物到鲸吞国资的贪污犯,从道德楷模到无耻之徒,从学领袖到抄袭能手之间快速切换,使人蒙生“不是我不明白,是世界变化快”的慨叹,追求永恒寻求秩序是人类获得安全感的深层需要.一切都变了,什么没变,那些东西是我们世代熟悉的,也就是问:什么是经典内容,不随时间流逝而淡出人们视野的就是经典,所以要素在于时间要久,而且要经久不衰.

英国数学家哈代去世后,他的墓志铭来自他生前的一本著作《一位数学家的辩白》:“当我感觉沮丧,和被迫听一些浮夸而无聊的人说话的时候,我仍然会对自己说:‘是的,我做了一件你们永远都做不到的事情,那就是我在一些诸如整数的分拆问题上与李特伍德和拉玛努金进行了合作.'”(彼特・哈曼,西蒙・米顿著.《剑桥科学伟人》.李佐文,刘博宇,姜雪,叶慧君,译.保定:河北大学出版社,2005年,P159160)

同样,我们也可以说:“当我们在喧嚣的商品大潮中感受到声音微弱时,当我们在权势的社会中感觉到力量单薄时,我们仍然会对自己说:‘是的,我们做了一件你们永远都不会去想的事,为数学文化的繁荣鼓与呼.'这是一个可以没意义,不能没意思的时代,但我们坚信意义的存在,我们的意义就在其中.

为了这个意义,我们在努力,在积累,锲而不舍(从这个意义上说愚公移山、精卫填海仍有其现实意义).

在丘宏义先生所著的《中国物理学之父吴大猷》的序言中,丘先生讲道:“我要用一个实例来阐明如何可以“以无生有”.我们知道,原始人行猎大多用石矛、石斧、弓箭等等,集体去行猎;可是美国西南的霍彼(Hopi)族印第安人,可以赤手空拳,“单枪匹马”去猎鹿,诸位知道鹿很敏捷,很机警,用弓箭去射甚至于用猎枪去打都不容易,那么霍彼猎人是如何猎到鹿的?说穿了,大家会觉得简单可笑,这族人精于追踪,鹿一走过,会在草原上留下行迹,一段被鹿撞断的树枝,甚至于一枚掉下的叶子,都能告诉猎人鹿的去向,这位猎者继续追踪下去,每次接近了,鹿一跃而起,这位猎者从容不迫地追过来,可以一追踪就追好几天.最后鹿筋疲力尽,倒地不起,这位猎人从容地走过来,把鹿绑了,扛在肩上带回去,这就是锲而不舍的精神.(丘宏义著.《中国物理学之父吴大猷》.乌鲁木齐:新疆人民出版社,2004年,P23).

上一代最重要的数学家之一,克朗耐克(kronecker)(在将集合论创始�人――康托迫害成精神病这件事上他有不可推卸的责任)曾用拉丁文对仗句写下了这样的话:我们是数学中真理的诗人,但我们的创造还得经验证.

(Nos mathematici sumus isti veri poetae

Sed quod fingimus nos et probare decet)

仿此,我们还可以说:

我们想成为数学文化的传播者,

但我们的效果还须读者的认可.

本书的责任编辑李广鑫女士、王勇钢先生为了本书的出版付出了极大的艰苦的努力,卞美编对本书做了整体设计,使其有“金玉其外”的视觉效果,一并表示感谢,另外向给我们提供资料的各位专家教授表示诚挚的谢意,特别是欧阳维诚先生、杜丽燕女士及康大臣夫妇.

刘培杰

2006.10

   
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