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书名:《数学奥林匹克与数学文化(第二辑)(文化卷)》 英文书名:
丛书系列: 奥林匹克精典系列 图书编号:∑36
作者:刘培杰 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-2691-7 开本:787mm×1092mm 1/16
版次:2008年7月第1版 2008年7月第1次印刷 印张:32.25  字数:700 千字千字
定价:58.00 元元 页数:

 

【卷 语】

从本辑开始,《数学奥林匹克与数学文化》开始分设竞赛卷与文化卷,这是对文化价值重估的结果,所以在卷首要多说几句.

提起数学,人们都觉得很重要,中国的数学神童通常是考试考出来的,于是很多人认为数学是应试的工具,只有在考试中才有价值,把它狭隘地理解为一种选拔手段,竞争科目.不单是中国,美国也是如此,美国国家研究委员会在一篇题为《振兴美国数学》的报告中指出:“在中学和高等学校中,数学起着过滤器而不是抽水机的作用;学生被挡住了,而数学人才却没能选拔出来并得到鼓励.(美国国家研究委员会.振兴美国数学―90年代的计划.叶其孝,刘燕,章学诚,蒋定华,译,冷生明,校.世界图书出版公司,1993年,第61).

的确在以前作为一个社会成员,甚至是社会精英,不懂数学并无大碍,或以为数学好最多是将才,而文科好才能管人、用人,方为帅才.但时代毕竟变了,观念也应该改变.

美国数学专门委员会在1984年的报告中指出:“在现今这个技术发达的社会里,扫除数学盲的任务已经替代了昔日扫除文盲的任务,而成为当今教育的主要目标。”(美国数学的现在和未来.上海:复旦大学出版社,1986)

我国著名数学家曾任武汉大学校长的齐民友教授认为:数学作为一种文化,在过去和现在都大大地促进了人类的思想解放,人类无论是在物质生活上,还是在精神生活上得益于数学实在太多,今后数学还会大大地促进人的思想解放,使人成为更完全、更丰富、更有力量的人.他指出:“历史上已经证明,而且将继续证明,一种没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的,一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的.”他进而说:“没有现代的数学就不会有现代的文化.没有现代数学的文化是注定要衰落的.

1988年夏在布达佩斯举行的国际数学教育大会上,美国著名数学教育家L.A.Steen作了“面向新世纪的数学”的报告,他强调要“振兴中学后数学教育”.他说:“对于中学后数学教育,最重要的任务是使数学成为一门对于怀着各种各样不同兴趣的学生都有吸引力的学科,要使大学数学对众多不同的前程都是一种必不可少的预备.”同年在天津南开数学研究所召开了“21世纪中国数学展望学术讨论会”,程民德教授作了长篇主题报告,他说:“环顾世界,所有的经济大国和科技大国,必然也是数学强国.”�

也许有人会说,当前中国可能是世界上最重视数学的国度了,我们的练习册堆积如山,我们的模拟题汇集似海,我们总结的解题技巧多如牛毛,我们的知识点梳理密不容针.但是这并不是数学.

M・克莱因指出:“数学学科并不是一系列的技巧,这些技巧只不过是它微不足道的方面。它们远不能代表数学,就如同调配颜色远不能当做绘画一样.技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物.如果我们对数学的本质有一定的了解,就会认识到数学在形成现代生活和思想中起重要作用这一断言并不是天方夜谭.”�

法国近代重要哲学家马勒伯朗士(Nicolas Malebranche)在总结他所认识的真理观时指出:�

“有两种真理,一种是必然的真理,另一种是偶然的真理.所谓必然的真理,就是其本性持久不变的真理,按着上帝的意志捕获的真理――所有其他的真理都是偶然的真理:数学、大部分物理学和伦理学都含有必然的真理;历史学、语法学、特殊的权利和习俗,以及其他依赖人类意志变化的学问,都只能包含偶然的真理.(马勒伯朗士.论寻找真理.第一卷.巴黎:哲学图书出版社,第16-17.)

数学作为人类思维的有效形式与手段,渗透至其他一切领域是有其必然性的.

斯宾诺莎曾代表了近代启蒙思想家的共同立场,从他的著作中我们不难看出,他们所谓的“理性”并不是狭隘的认识论概念,而是含有各种各样的“公”之义,它是认识论,也是方法论、伦理学、政治学、文学、科学、历史、经济学等.每个人出让给社会的自然权利构成了某种类似于乌托邦的东西,或者说,它是人类想象力的最大成就,由于近代数学成为科学王国的国王,这样的乌托邦也被称为“公理”(斯宾诺莎的伦理学就是由许多这样的公理组成的).

李文林先生曾举了两个例子说明数学对观念与制度形成的重要影响:法国大革命形成两部基础文献《人权宣言》和《法国宪法》,是资产阶级民主革命思想的结晶.《人权宣言》开明宗义指出:�

“组成国民议会的法国人民的代表们……决定把自然的,不可剥夺的和神圣的人权阐明于庄严的宣言之中,以便――公民们今后以简单而无可争辩的原则为根据的那些要求能经常针对着宪法与全体幸福之维护.”�

而后来(1791)公布的《法国宪法》又将《人权宣言》置于篇首作为整部宪法的出发点.

无独有偶,美国独立战争所产生的《独立宣言》开头也说:�

“我们认为下述真理乃是不言而喻的:人人生而平等,造物主赋予他们若干固有而不可让与的权利,其中包括生存权、自由权以及谋求幸福之权.”�

把大家认为“简单而无可争辩的原则”和“不言而喻的真理”作为出发点,按照数学的语言这就是从公理出发.显然,领导法国大革命和美国独立战争的思想家、政治家们都接受了欧几里得数学思维的影响.另外,有记载说美国南北战争时期的总统林肯相信思维能力像肌肉一样也可以通过严格的锻炼而得到加强……为此他想方设法搞到了一本欧几里得的《几何原本》并下决心亲自证明其中的一些定理,1860年他还自豪地报告说他已基本掌握了《几何原本》的前六卷.(李兆华.汉字文化圈数学传统与数学教育.北京:科学出版社,2004,第184)

苏黎世数学家斯派泽(Speiser)曾对数学与埃及美术之间做出了值得注目的评论:�

“如果你真想准确地判断埃及的数学水准,你无需去看他们算术书中的计算或他们测量系统中的初等几何.你只要分析一下那些覆盖在他们庙宇或雕塑上的令人惊异的纹样,你就能领略到活在这些民众心中的高度的数学精神.

我们时常抱怨我们的城市建筑风格单一,美术界缺乏国际大师,索斯比拍卖行艺术品价格不高,甚至音乐水准不高等.要大力发展美育教育,其实这些可能都是一些表象,深层的原因中肯定有数学的成分在内.

我们习惯于孤立地看待数学、文学与艺术,有时加以贬损,有时以科学主义的名义将其无限抬高,其实它们是相通的.

孙小礼教授指出:“过去,在我国学术界,常常强调数学与艺术的区别,以为在数学中运用的是逻辑思维,而在艺术中则运用形象思维.事实上,形象思维对于数学同样是非常重要的,而且是必不可少的,而逻辑思维规律对于艺术也是必要的,是必须遵守的.数学和艺术确实有许多相通之处和共同之处,例如数学和艺术,特别是音乐中的五线谱,绘画中的线条结构等,都是用抽象的符号语音来表达内容.有人说,数学是理性的音乐,音乐是感性的数学.

    美国当代数学家哈尔莫斯(P.R.Halmos)说:“数学是创造性的艺术,因为数学家创造了美好的新概念;数学是创造性的艺术,因为数学家像艺术家一样的生活,一样的工作,一样的思索;数学是创造性的艺术,因为数学家这样对待它.”�

数学家与文学家、艺术家在思维方法上有共同之处,都需要抽象,也都需要想象、幻想,例如数论中有一个重要方法叫筛法.为什么起这样一个名字,这其中要有一点想象力,因为最初从自然数中寻找素数是将全部自然数都写到纸草上(注意不是草纸,这是一种由尼罗河岸边生长的一种植物制成的早期的纸),然后逐次将合数烧去,由于最初纸草被紧固在木框上,再烧一些小洞,很像筛子,故而起名为筛法,后期是将蜡平涂在木板上,再将1及合数用香点一个小黑点,也很像筛子,所以延用至今.至于幻想马克思和列宁早已注意到了.马克思在讨论微分学,特别是切线问题时曾写道:“所有的妙处只是通过两个三角形相似性才显示出来,并且辅助三角形的两个边是由dxdy构成的,因此它们比点还小,所以在这种情况下要敢于把弦等同于弧,或者反过来把弧等同于弦.此外,在第一种方法中,也只把两条直角边相互比较,并且也可对斜边的性质赋予幻想.”列宁则说:“有人以为,只有诗人才需要幻想,这是没有理由的,这是愚蠢的偏见!甚至在数学上也是需要幻想的,甚至没有它就不可能发明微积分.”�

数学理论虽以逻辑的严密性为特征,但是新概念的提出,新理论的创立则需要借助于直觉、想象和幻想.数学史上的众多成就都证实了这种规律性.著名数学家庞加莱说:“没有直觉,数学家便会像这样一个作家:他只是按语法写诗,但是却毫无思想.”�

庞加莱还说过这样一段名言:“科学家研究自然,是因为他爱自然,他之所以爱自然,是因自然是美好的.如果自然不美,就不值得理解;如果自然不值得理解,生活就毫无意义.当然,这里所说的美,不是那种激动感官的美,也不是质地美和表现美;不是我低估那种美,完全不是,但那种美与科学不相干.我说的是各部分之间有和谐秩序的深刻的美,是人的纯洁心智所能掌握的美.(北京大学学报.哲学社会科学版.1993年第1)

美学当然是现代人多少应该感兴趣的学科,而数学之美又是其中较高层次之美,它虽然不具有表面的功利性,但对人深层的影响还是很大的,它的作用有些像宗教的说教.有人说多做善事会福虽未至但祸已远离,总做坏事则会祸虽未至但福已远离;同样可说:学了数学雅虽未至但俗已远离,不学数学则俗虽未至但雅已远离.1998年美国《数学情报》(Mathematical Intelligencer) 曾刊出数学上24个著名的定理。让读者给每一个定理打分,评出最美的定理,统计结果,第一名为18世纪瑞士大数学家欧拉(I. Euler17071783)给出的公式�

eiπ+1=0

这个公式让数学上最重要的五个常数10、π、ei团聚了。�

海德格尔说人应该诗意地栖居,我们说人特别是现代人应同时过两种生活,那就是物质生活和精神生活,物质生活层面讲求舒适,精神生活则讲求理性、秩序与美感,对实现这一目的学习数学有益。

“为什么我需要学这个?”这是中学数学教师最害怕学生问的问题.传统的回答是:“因为在你工作的时候需要掌握这种技能。”但这种回答其实是不诚实的,因为即使班上有些学生将来会成为工程师,他们也并不是提这种问题的学生.更诚实的回答似乎应该是:“因为你需要这种知识去参加大学入学考试。”但是明显带有嘲笑挖苦的意味.托马斯・杰斐逊有一句关于数学的名言――“思考的能力就像身体的组织,可以通过练习不断地加强和改进.(帕特里夏・克莱因・科恩(patricia Cline Cohen).善于计算的人民:美国早期数学能力的传播(A Calculating people: The spread of Numeracy in Early America).纽约:劳特里奇出版社,1999,第132)和我们关于为什么学习数学有着如此重要性的观念更为接近,但是我们承认,这种观点很难激励那些对数学缺乏兴趣的十几岁的青少年.([美]德里克・尼德曼,戴维・博伊姆.数学密码.庄莉,译.上海:上海世纪出版集团,2006,第3)

对于一个心智健全的少年他有着成为各类天才的可能,而人才成长的规律告诉我们成才的第一步是立志,他首先要有这种志向,而为发达而数学显然是得不偿失的.所以靠外在吸引是行不通的,俗话说攻心为上.为了吸引更多的潜在数学天才学习数学.必须要晓之以数学真之理,动之以数学美之情.上海交通大学科学史系纪志刚教授在《让我们播种数学》一文中指出:“一个把数学仅仅看成是工具的教师,他只会给出大量的公式和呆板的例题;一个把数学仅仅看成是逻辑体系的教师,他只会依循一种有条不紊却异常枯燥乏味的定义―公理―定理的方式去讲授;一个把数学看成仅仅是智力游戏的教师,他会偏爱刁钻的难题而忽视基本功夫;一个认为数学除了包含以上各方面之外还有更丰富内涵的教师,他的教学才会别具一格。”�

本卷的目的之一就是通过文化的传播,使更多的数学教师别具一格。�

庞加莱说:“数学有三个目的.它必定提供了一种研究自然的工具,但这并非一切:它具有哲学的目的,我敢坚持,它还有美学的目的.它必定能帮助哲学家揣摩数、空间、时间的概念.尤其是,数学行家能由此获得类似于绘画和音乐所给予的乐趣.他们赞美数和形的微妙和谐;当新发现向他们打开了意想不到的视野时,他们惊叹不已;他们感到美的特征,尽管感官没有参与,他们难道不乐在其中吗?只有少数有特权的人才能充分享受其中的乐趣,这是真的,对所有最杰出的艺术家来说,情况难道不也是这样吗?�

“这就是为什么我毫不犹豫地说,为数学而数学是值得的,为不能应用于物理学以及其他科学而研究数学是值得的.即使物理学的目的和美学的目的不统一,我们也不应该牺牲两者中的任何一个.

“可是另外还有:这两个目的是不可分割的,得到其一的最好办法是对准另一个或者至少从来也不丧失对于它的洞察,这就是我在陈述纯粹科学及其应用之间的关系的本性时正准备试用证明的东西.(庞加莱.科学的价值)

过去,国人之间最大的不敬就是一句:“真没文化.”在今天我们的老师的老师读过了《范氏大代数》,我们的老师读过了那汤松的《实变函数》,我们自己可能早已读过了韦伊的《代数几何基础》,而我们的子女也开始参加各种奥林匹克数学竞赛,但小心这一切并不能保证我们就有文化!我们不能没文化.����

 

刘培杰

2008.7

 

 


  

【目  录】

数学奥林匹克与数学文化

Mathematical Olympiads and Mathematical Culture

第二辑(文化卷)

    CONTENTS

  稿  Special Features

高斯――数学王者  科学巨人

数学与哲学  Mathematics and Philosophy

几何学的起源

从原逻辑思维与计数的关系看原逻辑思维

域外高手  Master Extraterritorial

数学赞

一道美国奥赛题的探讨

一道IMO预选题的探讨

一道联赛题与Garfunkel-Bankoff不等式

科学随笔  Science Column

“随机时代”的精英处境与信仰危机

孤独虞美人――数学・诗歌・艺术断想

科普名篇  Popular Science Renowned

现代通信、密码与代数组合论

斯蒂夫・库克和利奥尼德・莱文:好办法难找

素因子分解与计算机

素性判断的一个重大进展 

中国古代数学史  History of Mathematics in Ancient China

世界最古的几何学

开立方程序是如何由几何分割产生的

十三世纪的中国多项方程

从勾股比率论到重差术

刘徽的方程理论

数学游戏  Mathematics Game

从华罗庚教授研究过的一个数学魔术谈起

游戏在数学教育中的作用

数学前沿  Mathematics Forefront

Hilbert的第十六问题:多少个环?

股票市场中的非线性动力学模型

课外活动  Extracurricular Activities

S先生和P先生的新谜题(摘要)

数学新闻  Mathematics News

汉密尔顿致丘成桐代理律师的信

业界信息  Internal Information

首届数学文化节

科普天地  Popular Science World

“道同志合”荐好书――一封田廷彦的来信

科普作品概览

民科天地  Amate Urcareer

一封读者来信

胡桢与哥德巴赫猜想

蒋春暄黎鸣现象和中国民间数学

数海钩沉  Research on the Figures

函数的定义

由拣石子得到的定理

 

   
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