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书名:《数学史话览胜》 英文书名:
丛书系列: 中学数学拓展丛书 图书编号:∑28
作者:沈文选 杨清桃 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-2410-4 开本:787mm×1092mm 1/16
版次:2008年1月第1版 2008年1月第1次印刷 印张:15.5  字数:371 千字千字
定价:28.00 元元 页数:

【作者简介】

沈文选  男,1948年生,湖南师范大学数学与计算机科学学院教授,全国初等数学研究会()理事长,湖南省高师数学教育研究会理事长,全国高师数学教育研究会常务理事,全国教育数学研究会常务理事,湖南省中学数学研究会副理事长,湖南省数学会中学数学委员会副主任,湖南师大数学奥林匹克研究所副所长,《中国初等数学研究》()主编,《数学教育学报》编委,《现代中学数学》副主编。中国数学奥林匹克高级教练。

长期从事中学数学研究、初等数学研究、奥林匹克数学研究,教育数学研究。已出版学术专著6部,主编高校教材4部,出版其他书籍近20部,发表学术论文80余篇,其他文章200余篇,多年来为全国初、高中数学联赛、数学冬令营、国家集训队提供试题20余道,是湖南省数学奥林匹克培训的主要组织者与授课者(湖南中学生已获得IMO金牌11块,银牌2),已指导硕士研究生66名。

 

 


  

内容简介

本书共分十一章:第一章学习数学史的意义,第二章数学的起源,第三章数学史的分期及各时期的著名数学家,第四章算术史话,第五章代数史话,第六章函数概念的形成与发展,第七章几何学史话,第八章解析几何史话,第九章微积分史话,第十章射影几何史话,第十一章概率论史话.

本书可作为高等师范院校教育学院、教师进修学院数学专业及国家级、省级中学数学骨干教师培训班的教材或数学参考书.

 

 


  

  

我和沈文选教授有过合作,彼此相熟。不久前,他发来一套数学普及读物的丛书目录,包括数学眼光、数学思想、数学应用、数学模型、数学方法、数学史话等,洋洋大观。从论述的数学课题来看,该丛书的视角新颖,内容充实,思想深刻,在数学科普出版物中当属上乘之作。

阅读之余,忽然觉得公众对数学的认识很不相同,有些甚至是彼此矛盾的。例如:

一方面,数学是学校的主要基础课,从小学到高中,12年都有数学;另一方面,许多名人在说“自己数学很差”的时候,似乎理直气壮,连脸也不红,好像在宣示:数学不好,照样出名。

一方面,说数学是科学的女王,“大哉数学之为用”,数学无处不在,数学是人类文明的火车头;另一方面,许多学生说数学没用,一辈子也碰不到一个函数,解不了一个方程,连相声也在讽刺“一边向水池注水,一边放水”的算术题是瞎折腾。

一方面,说“数学好玩”,数学具有和谐美、对称美、奇异美,歌颂数学家的“美丽的心灵”;另一方面,许多人又说,数学枯燥、抽象、难学,看见数学就头疼。

数学,我怎样才能走近你,欣赏你,拥抱你?说起来也很简单,就是不要仅仅埋头做题,要多多品味数学的奥秘,理解数学的智慧,抛却过分的功利,当你把数学当做一种文化来看待的时候,数学就在你心中了。

我把学习数学比做登山,一步步地爬,很累,很苦。但是如果你能欣赏山林的风景,那么登山就是一种乐趣了。

登山有三种意境。

首先是初识阶段。走入山林,爬得微微出汗,坐拥山色风光。体会“明月松间照,清泉石上流”的意境。当你会做算术,会记账,能够应付日常生活中的数学的时候,你会享受数学给你带来的便捷,感受到好似饮用清泉那样的愉悦。

其次是理解阶段。爬到山腰,大汗淋漓,歇足小坐。环顾四周,云雾环绕,满目苍翠,心旷神怡。正如苏轼名句:“横看成岭侧成峰,远近高低各不同;不识庐山真面目,只缘身在此山中。”数学理解到一定程度,你会感觉到数学的博大精深,数学思维的缜密周全,数学的简捷之美,使你对符号运算能够有爱不释手的感受。不过,理解了,还不能创造。“采药山中去,云深不知处。”对于数学的伟大,还莫测高深。

第三则是登顶阶段。攀岩涉水,越过艰难险阻,到达顶峰的时候,终于出现了“会当凌绝顶,一览众山小”的局面。这时,一切疲乏劳顿、危难困苦,全都抛到九霄云外。“雄关漫道真如铁',欣赏数学之美,是需要代价的。当你破解了一道数学难题,“蓦然回首,那人却在灯火阑珊处”的意境,是语言无法形容的快乐。

好了,说了这些,还是回到沈文选先生的丛书。如果你能静心阅读,它会帮助你一步步攀登数学的高山,领略数学的美景,最终登上数学的顶峰。于是劳顿着,但快乐着。

信手写来,权作为序。

 

张奠宙

20071113

于沪上苏州河边

   

(文选先生编著的丛书,是一种对数学的欣赏。因此,再次想起数学思想往往和文学意境相通,年初曾在《文汇报》发表一短文,附录于此,算是一种呼应)

数学和诗词的意境

张奠宙

数学和诗词,历来有许多可供谈助的材料。例如:

一去二三里,烟村四五家;

楼台七八座,八九十支花。

把十个数字嵌进诗里,读来琅琅上口。郑板桥也有咏雪诗:

一片二片三四片,五片六片七八片;

千片万片无数片,飞入梅花总不见。

诗句抒发了诗人对漫天雪舞的感受。不过,以上两诗中尽管嵌入了数字,却实在和数学没有什么关系。

  数学和诗词的内在联系,在于意境。李白《送孟浩然之广陵》诗云:

故人西辞黄鹤楼,烟花三月下扬州。

孤帆远影碧空尽,唯见长江天际流。

数学名家徐利治先生在讲极限的时候,总要引用“孤帆远影碧空尽'这一句,让大家体会一个变量趋向于0的动态意境,煞是传神。

近日与友人谈几何,不禁联想到初唐诗人陈子昂《登幽州台歌》中的名句:

前不见古人,后不见来者;

念天地之悠悠,独怆然而涕下。

一般的语文解释说:上两句俯仰古今,写出时间绵长;第三句登楼眺望,写出空间辽阔;在广阔无垠的背景中,第四句描绘了诗人孤单寂寞悲哀苦闷的情绪,两相映照,分外动人。然而,从数学上看来,这是一首阐发时间和空间感知的佳句。前两句表示时间可以看成是一条直线(一维空间)。陈老先生以自己为原点,前不见古人指时间可以延伸到负无穷大,后不见来者则意味着未来的时间是正无穷大。后两句则描写三维的现实空间:天是平面,地是平面,悠悠地张成三维的立体几何环境。全诗将时间和空间放在一起思考,感到自然之伟大,产生了敬畏之心,以至怆然涕下。这样的意境,数学家和文学家是可以彼此相通的。进一步说,爱因斯坦的四维时空学说,也能和此诗的意境相衔接。

贵州六盘水师专的杨老师告诉我他的一则经验。他在微积分教学中讲到无界变量时,用了宋朝叶绍翁《游园不值》中的诗句:

满园春色关不住,一枝红杏出墙来。

学生每每会意而笑。实际上,无界变量是说,无论你设置怎样大的正数M,变量总要超出你的范围,即有一个变量的绝对值会超过M。于是,M可以比喻成无论怎样大的园子,变量相当于红杏,结果是总有一枝红杏越出园子的范围。诗的比喻如此恰切,其意境把枯燥的数学语言形象化了。

数学研究和学习需要解题,而解题过程需要反复思索,终于在某一时刻出现顿悟。例如,做一道几何题,百思不得其解,突然添了一条补助线,问题豁然开朗,欣喜万分。这样的意境,想起了王国维用辛弃疾的词来描述的意境:“众里寻它千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处。”一个学生,如果没有经历过这样的意境,数学大概是学不好的了。

 

 


  

  

音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科技可以改善物质生活,但数学却能提供以上的一切。

――Klein

 

任何一门数学分支,不管它如何抽象,总有一天会在现实的现象中找到应用。

――Lobachevshy

 

数学是有用的,如果谁想理解自然并利用它的能量,那他甚至不能离开数学。

――ARenyi

 

数学甚至在其最纯的与最抽象的状态下,也不与生活相分离。它恰恰是掌握生活问题的理想方式,这正如同雕刻把人的体形理想化,或者如同诗和画,分别把形象与景物理想化一样。

――C. J. Keyser

 

人们喜爱音乐,因为它不仅有神奇的乐谱,而且有悦耳的优美旋律!

人们喜爱画卷,因为它不仅描绘出出自然界的壮丽,而且可以描绘人间美景!

人们喜爱诗歌,因为它不仅是字词的巧妙组合,而且有抒发情怀的韵律!

人们喜爱哲学,因为它不仅是自然科学与社会科学的浓缩,而且使人更加聪明!

人们喜爱科技,因为它不仅是一个伟大的使者与桥梁,而且是现代物质文明的标志!

而数学之为德,数学之为用,难以用旋律、美景、韵律、聪明、标志等词语来表达!

你看,不是吗?

数学眼光,使我们看到世间万物充满着带有数学印记的奇妙的科学规律,看到各类书籍和文章的字里行间有着数学的踪迹,使我们看到的是满眼绚丽多彩的数学景象!

数学思想,使我们领悟到数学是用字母和符号谱写的高亢歌曲,似协奏曲一样充满着和谐的旋律,让人难以忘怀,难以割舍!

数学应用,给我们展示出了数学的神通广大,在各个领域与角落闪烁着人类智慧的火花!

数学建模,呈现出了人类文明亮丽的风景!特别是那呈现出的抽象彩虹―― 一个个精巧的数学模型,璀璨夺目,流光溢彩!

数学方法,像画卷一样描绘着各学科的异草奇葩般的景色,令人目不暇接!

数学史话,充满了诱人的前辈们的创造或再创造的心血机智,使人获得明智的丰富营养!

因此,我们可以说,你可以不信仰上帝,但不能不信仰数学。

从而,提高我国每一个公民的数学文化水平及数学素养,是提高我国各个民族整体素质的重要组成部分,这也是数学基础教育中的重要目标。为此,笔者构思了这套丛书。

这套丛书是笔者学习张景中院士的教育数学思想:对一些数学素材和数学研究成果进行再创造并以此为指导思想来撰写的;是献给中学师生,企图为他们扩展数学视野、提高数学素养以响应张奠宙教授的倡议:建构符合时代需求的数学常识,享受充满数学智慧的精彩人生的书籍。

不积小流无以成江河,不积跬步无以致千里,没有积累便没有丰富的素材,没有整合创新便没有鲜明的特色。这套丛书的写作,是笔者在多年资料的收集、学习笔记的整理及笔者已发表的文章的修改并整合的基础上完成的。因此,每册书末都列出了尽可能多的参考文献,在此,忠心地感谢这些文献的作者。

这套丛书,作者试图以专题的形式,对中、小学中典型的数学问题进行广搜深掘来串联,并以此为线索来写作的。因而,形成了这六册书。

这一册是《数学应用展观》。

数学无处不在,无处不用。人类生存的每时每刻都要和数学打交道,在生活中,在生产中,在社会生活的各个领域里,都在运用着数学的概念、法则和结论。

衣食住行、三万六千行,几乎没有一行不和数学有关。量体裁衣需要数学帮助计算用料、度量尺寸、划线落料、绘制图样;淘米下锅、量米计水和菜肴烹饪、调味辅料、营养成分、装盘图式等也离不开数学。

在科学技术各个领域,数学的应用自不待言。

精确科学,如力学、热学、电磁学、天文学、化学等,都需要数学的表述,用数学的符号、公式法则来表述这些学科的定律和规律。特别是宇宙航行的时代,人造地球卫星的上天,航天飞机的回返等高技术领域中,从宇宙速度的计算、火箭推力的计算、卫星形状的设计、卫星轨道的确定,无一不与高深的数学发生关系。时至今日的生物科学已是数学大显身手的重要领域,生物工程、遗传变异、生物优选、遗体基因、生物统计、生物医学、CT扫描的医疗设备等各个领域都广泛地应用着数学的丰硕成果。

数学在经济学研究中,在促进经济发展中发挥着极为重要的作用。每一个经济问题,都要涉及大量的数据。企业的管理、规划和质量分析以及生产过程控制等各方面要运用到数学中的规划论、控制论、泛函分析、微分方程等各方面的知识。因而有人说:“经济学如果没有数学将不是真正的经济学。”

数学在工程学研究中的作用也是不言而喻的。材料的选择与定量地预测其状态和性能,仪器的安装与测试,工程的设计与实施等各方面都离不开数学技术,甚至组织大规模战争的运筹方案也离不开数学技术。

数学在社会科学,如语言学、心理学、考古学中都有着广泛的应用,这也是有目共睹的。

综上可知,如果没有数学,全部现代科学、现代技术将成为不可能。因而,可以说,一切高技术都可归结为数学技术,现代化就是数学化。正因为如此,我国著名的数学家、数学教育家华罗庚教授早于19595月在《人民日报》上发表了《大哉数学之为用》,精彩地描述了数学的各种应用:宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁等各个方面无处不有数学的重要贡献。

注重数学的实际应用,也是中国数学中的优良传统。例如,我国最著名的数学典籍《九章算术》就是246个实际应用题的汇集。

加强数学应用教育,是数学教育的一个重要方面。这不仅是促进教育现代化的重要途径之一,也是激发学生学习数学的兴趣的根本措施。在我们的课堂内外增加一些有生活、生产、学习背景的应用问题,并通过学习这些实际应用范例逐步使学生领悟到怎样运用数学知识去分析、处理、解决一些实际问题,让学生在学数学中做数学,在做数学中学数学,这也将极大地提高学生的数学素养。

让我们展观数学应用!让我们在数学应用展观中有所收获吧!

 

沈文选

200711月于岳鹿山下

 


   

【目  

第一章  学习数学史的意义�

1.1  数学史研究的对象  //  1

1.2  学习数学史的意义  //  1

第二章  数学的起源�

2.1  数的概念的形成  //  6 

2.1.1  数的概念产生的物质基础  //  6 

2.1.2  数觉与等数性  //  6

2.2  数的语言、符号与记数方法的产生和演变  //  7 

2.2.1  数的语言  //  7 

2.2.2  数的符号――数字  //  8 

2.2.3  古代的进位制  //  12

2.3  几何的起源  //  13 

2.3.1  形的起源  //  13 

2.3.2  几何图形  //  14 

2.3.3  实验几何  //  15

第三章  数学史的分期及各时期的著名数学家�

3.1  中国数学史部分及中国古代著名数学家  //  16 

3.1.1  古代数学的初期  //  16 

3.1.2  古代数学体系形成时期  //  17 

3.1.3  古代数学稳步发展时期  //  19 

3.1.4  古代数学的兴盛时期  //  22 

3.1.5  古代数学衰落时期  //  24 

3.1.6  西方数学传入时期  //  25 

3.1.7  走向蓬勃发展的新时期  //  27

3.2  外国数学史部分及外国古代著名数学家  //  30

   3.2.1  萌芽时期  //  30 

3.2.2  初等数学时期  //  30 

3.2.3  高等数学时期  //  36

3.2.4  近代数学时期  //  44 

3.2.5  现代数学时期  //  48

第四章  算术史话�

4.1  对自然数认识的几个阶段  //  52

4.2  自然数的早期研究  //  54

4.3  常用最繁的数码  //  55

4.4  0”的符号溯源  //  56

4.5  数的运算  //  58

4.6  小数的产生与表示  //  61

4.7  最早的二进位制  //  62

4.8  “算术”一词的内涵  //  63

4.9  珠算与算盘史略  //  64

第五章  代数学史话�

5.1  从算术到代数  //  66

5.2  数系的扩张  //  68 

5.2.1  负数的产生与确定――数系的第二次扩张  //  68 

5.2.2  无理数的发现――数系的第三次扩张  //  70 

5.2.3  虚数、复数的发现――数系的第四次扩张  //  72

5.3  方程与方程组的简史  //  76 

5.3.1  方程的研究简史  //  76 

5.3.2  方程组的研究简史  //  89 

5.3.3  高次方程根式解及“群”概念的产生  //  94

5.4  等差、等比数列小史  //  95 

5.4.1  等差数列  //  95 

5.4.2  等比数列  //  98 

5.4.3  高阶等差数列的和与“招差术”  //  100

5.5  对数的产生与发展  //  102 

5.5.1  对数的产生  //  102 

5.5.2  对数表的发展和完善  //  104

5.6  数学符号的产生与演进  //  105 

5.6.1  加法符号“+  //  105 

5.6.2  减法符号“-  //  106 

5.6.3  乘法符号“×”  //  106 

5.6.4  除法符号“÷”  //  106 

5.6.5  等号“=”、大于号“>”、小于号“<”  //  107 

5.6.6  小括号“(  )”、中括号“[  ]”、大括号“{  }” //  107 

5.6.7  根号“   //  107 

5.6.8  指数符号“an  //  107 

5.6.9  对数符号“log”,“ln  //  108

5.6.10  虚数单位i、π、e以及a+bi  //  108 

5.6.11  函数符号  //  108 

5.6.12  求和符号“∑”、和号“S”、极限符号及微积分符号  // 109 

5.6.13  三角函数的符号与反三角函数的符号  //  109 

5.6.14  其他符号  //  110

5.7  集合概念的形成与发展  //  110

5.8  代数学在中国的发展  //  112 

5.8.1  《九章算术》中的代数内容  //  113 

5.8.2  《九章算术》中的盈不足算法  //  114 

5.8.3  刘徽在代数方面的贡献  //  117 

5.8.4  《孙子算经》与剩余定理  //  119 

5.8.5  《张丘建算经》与不定方程问题  //  120 

5.8.6  《缉古算经》与三次方程  //  121 

5.8.7  贾宪的“增乘开方法”与“贾宪三角”  //  121 

5.8.8  沈括的“隙积术”  //  124 

5.8.9  秦九韶的《数书九章》  //  124 

5.8.10  李冶的“天元术”  //  126 

5.8.11  朱世杰与“四元术”  //  126

第六章  函数概念的形成与发展�

6.1  函数概念的产生  //  129

6.2  对数函数与指数函数  //  129 

6.2.1  对数、幂、指数  //  129 

6.2.2  指数函数与对数函数  //  131

6.3  三角学的确定与三角函数  //  132 

6.3.1  三角学的确定  //  132 

6.3.2  三角函数  //  135 

6.3.3  三角学在我国的发展  //  138

6.4  函数概念的演变  //  139 

6.4.1  作为曲线的函数  //  139 

6.4.2  变量依赖说  //  139 

6.4.3  变量对应说  //  140 

6.4.4  集合对应说  //  140 

6.4.5  集合关系说  //  140

第七章  几何学史话�

7.1  “几何”一词的意义与几何学发展的分期  //  142

7.2  图形概念与早期几何学史  //  143

7.3  欧几里得的《几何原本》  //  145 

7.3.1  《几何原本》的诞生  //  145 

7.3.2  《几何原本》的理论体系  //  146

7.3.3  《几何原本》内容简介  //  147 

7.3.4  《几何原本》的缺陷  //  149

7.4  尺规作图与几何学三大问题  //  149

7.5  圆周率简史  //  152

7.6  正多形的作图史略  //  155

7.7  黄金分割小史  //  157

7.8  对平行公设的探讨  //  159

7.9  非欧几何简史  //  162

7.10  几何学在中国的发展  //  164 

7.10.1  《墨经》中的几何概念  //  164 

7.10.2  《周髀算经》与勾股定理  //  165 

7.10.3  《九章算术》中的面积、体积计算  //  166 

7.10.4  刘徽在几何方面的成就  //  169 

7.10.5  祖冲之的圆周率与祖�NFDC3�原理  //  172 

7.10.6  《数书九章》中的几何问题  //  174 

7.10.7  沈括的“会圆术”  //  176 

7.10.8  李冶的勾股容圆  //  177 

7.10.9  梅文鼎的多面体  //  178

7.11  几何学发展年表  //  179

第八章  解析几何史话�

8.1  对圆锥曲线的认识  //  181

8.2  费马的解析几何  //  183

8.3  笛卡尔的解析几何  //  183

8.4  解析几何的发展  //  186 

8.4.1  解析几何思想的进一步阐发  //  186 

8.4.2  坐标法的进一步完善  //  186 

8.4.3  新坐标系的引进  //  187 

8.4.4  解析几何的推广  //  187 

8.4.5  解析几何的系统叙述  //  187

第九章  微积分史话�

9.1  微积分思想的萌芽  //  188

9.2  微积分产生的潜伏期  //  191

9.3  微积分产生的预备期  //  192

9.4  微积分的建立  //  194

第十章  射影几何史话�

10.1  射影几何的创始人――笛沙格  //  197

10.2  蒙日的画法几何为射影几何奠定了基础  //  198

10.3  彭赛列与射影几何  //  199

第十一章  概率论史话�

11.1  概率论的发展线索  //  200

11.2  概率论的创立  //  200

11.3  概率论的发展  //  201

附录1  //  203

附录2  //  205

参考文献  //  225

作者出版的相关书籍与发表的相关的文章目录  //  227

编后语  //  229

 

 


  

编 后 语

沈文选先生是我多年的挚友,我又是这套书的策划编辑,所以有必要在这套书即将出版之际,说上两句。 

有人说:“现在,书籍越来越多,过于垃圾,过于商业,过于功利,过于弱智,无书可读。”

还有人说:“从前,出书难,总量少,好书就像沙滩上的鹅卵石一样显而易见,而现在书籍的总量在无限扩张,而佳作却无法迅速膨化,好书便如埋在沙砾里的金粉一样细屑不可寻,一读便上当,看书的机会成本越来越大。”(无书可读――中国图书业的另类观察,侯虹斌《新周刊》,2003,总166)

但凡事总有例外,摆在我面前的沈文选先生的大作便是一个小概率事件的结果。文如其人,作品即是人品,现在认认真真做学问,老老实实写著作的学者已不多见。沈先生算是其中一位,用书法大师教育家启功给北京师范大学所题的校训“学为人师,行为世范”来写照,恰如其分。沈先生“从一而终”,从教近四十年,除偶有涉及n维空间上的单形研究外将全部精力都投入到初等数学的研究中。不可不谓执著,成果也是显著的,称其著作等身并不为过。

目前,国内高校也开始流传美国学界历来的说法“不发表则自毙(Publish or Perish)”。于是大量应景之作迭出,但沈先生已近退休,并无此压力,只是想将多年研究做个总结,可算封山之作。所以说这套从书是无书可读时代的可读之书,选读此书可将读书的机会成本降至无穷小。

这套书非考试之用,所以切不可抱功利之心去读。中国最可怕的事不是大众不读书,而是教师不读书,沈先生的书既是给学生读的,又是给教师读的。2001年陈丹青在上海《艺术世界》杂志开办专栏时,他采取读者提问他回答的互动方式。有一位读者直截了当地问:“你认为在艺术中能够得到什么?”陈丹青答道:“得到所谓‘艺术':有时自以为得到了,有时发现并没得到。”(陈丹青.与陈丹青交谈.上海文艺出版社,2007,第12)。读艺术如此读数学也如此,如果非要给自己一个读的理由,可以用一首诗来说服自己,曾有人将古代五言《神童诗》扩展成七言。�

 

古今天子重英豪,学内文章教尔曹。

世上万般皆下品,人间唯有读书高。

 

沈先生的书涉猎极广,可以说只要对数学感兴趣的人都会开卷有益,可自学,可竞赛,可教学,可欣赏,可把玩,只是不宜远离。米兰・昆德拉在《小说的艺术》中说:“缺乏艺术细胞并不可怕,一个人完全可以不读普鲁斯特,不听舒伯特,而生活得很平和。但一个蔑视艺术的人不可能平和地生活。”(米兰・昆德拉.小说的艺术.董强,译.上海译文出版社,2004,第169)将艺术换以数学结论也成立。

本套丛书是旨在提高公众数学素养的书,打个比方说它不是药但是营养素与维生素。缺少它短期似无大碍,长期缺乏必有大害。20079月初,法国中小学开学之际,法国总统尼古拉・萨科奇发表了长达32页的《致教育者的一封信》,其中他严肃指出:当前法国教育中的普通文化日渐衰退,而专业化学习经常过细、过早。他认为:“学者、工程师、技术员不能没有文学、艺术、哲学素养;作家、艺术家、哲学家不能没有科学、技术、数学素养。”最后我们祝沈老师退休生活愉快,为数学工作了一辈子,教了那么多学生,写了那么多论文和书,你太累了,也该歇歇了。�

 

策划编辑  刘培杰

200811

 

   
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