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书名:《数学方法溯源》 英文书名:
丛书系列: 中学数学拓展丛书 图书编号:∑27
作者:沈文选 杨清桃 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-560-23640-5 开本:787mm×1092mm 1/16
版次:2008年1月第1版 2008年1月第1次印刷 印张:24.75  字数:612 千字千字
定价:38.00 元元 页数:

   

【作者简介】

沈文选  男,1948年生,湖南师范大学数学与计算机科学学院教授,全国初等数学研究会()理事长,湖南省高师数学教育研究会理事长,全国高师数学教育研究会常务理事,全国教育数学研究会常务理事,湖南省中学数学研究会副理事长,湖南省数学会中学数学委员会副主任,湖南师大数学奥林匹克研究所副所长,《中国初等数学研究》()主编,《数学教育学报》编委,《现代中学数学》副主编。中国数学奥林匹克高级教练。

长期从事中学数学研究、初等数学研究、奥林匹克数学研究,教育数学研究。已出版学术专著6部,主编高校教材4部,出版其他书籍近20部,发表学术论文80余篇,其他文章200余篇,多年来为全国初、高中数学联赛、数学冬令营、国家集训队提供试题20余道,是湖南省数学奥林匹克培训的主要组织者与授课者(湖南中学生已获得IMO金牌11块,银牌2),已指导硕士研究生66名。

 

 


  

内容简介

本书共分22章:包括切分原理,程序原理,数学归纳法原理,局部调整原理,排序原理,配对原理,关系、映射、反演原理,重叠原理,重现原理,开关原理,最小数原理,最短长度原理,极端原理,对称原理,相似原理,守恒原理,出入相补原理,祖�原理,不动点原理.

本书可作为高等师范院校教育学院、教师进修学院数学专业及国家级、省级中学数学骨干教师培训班的教材或教学参考书.

 


  

  

我和沈文选教授有过合作,彼此相熟。不久前,他发来一套数学普及读物的丛书目录,包括数学眼光、数学思想、数学应用、数学模型、数学方法、数学史话等,洋洋大观。从论述的数学课题来看,该丛书的视角新颖,内容充实,思想深刻,在数学科普出版物中当属上乘之作。

阅读之余,忽然觉得公众对数学的认识很不相同,有些甚至是彼此矛盾的。例如:

一方面,数学是学校的主要基础课,从小学到高中,12年都有数学;另一方面,许多名人在说“自己数学很差'的时候,似乎理直气壮,连脸也不红,好像在宣示:数学不好,照样出名。

一方面,说数学是科学的女王,“大哉数学之为用”,数学无处不在,数学是人类文明的火车头;另一方面,许多学生说数学没用,一辈子也碰不到一个函数,解不了一个方程,连相声也在讽刺“一边向水池注水,一边放水”的算术题是瞎折腾。

一方面,说“数学好玩”,数学具有和谐美、对称美、奇异美,歌颂数学家的“美丽的心灵”;另一方面,许多人又说,数学枯燥、抽象、难学,看见数学就头疼。

数学,我怎样才能走近你,欣赏你,拥抱你?说起来也很简单,就是不要仅仅埋头做题,要多多品味数学的奥秘,理解数学的智慧,抛却过分的功利,当你把数学当做一种文化来看待的时候,数学就在你心中了。

我把学习数学比做登山,一步步地爬,很累,很苦。但是如果你能欣赏山林的风景,那么登山就是一种乐趣了。

登山有三种意境。

首先是初识阶段。走入山林,爬得微微出汗,坐拥山色风光。体会“明月松间照,清泉石上流'的意境。当你会做算术,会记账,能够应付日常生活中的数学的时候,你会享受数学给你带来的便捷,感受到好似饮用清泉那样的愉悦。

其次是理解阶段。爬到山腰,大汗淋漓,歇足小坐。环顾四周,云雾环绕,满目苍翠,心旷神怡。正如苏轼名句:“横看成岭侧成峰,远近高低各不同;不识庐山真面目,只缘身在此山中。”数学理解到一定程度,你会感觉到数学的博大精深,数学思维的缜密周全,数学的简捷之美,使你对符号运算能够有爱不释手的感受。不过,理解了,还不能创造。“采药山中去,云深不知处。”对于数学的伟大,还莫测高深。

第三则是登顶阶段。攀岩涉水,越过艰难险阻,到达顶峰的时候,终于出现了“会当凌绝顶,一览众山小'的局面。这时,一切疲乏劳顿、危难困苦,全都抛到九霄云外。“雄关漫道真如铁”,欣赏数学之美,是需要代价的。当你破解了一道数学难题,“蓦然回首,那人却在灯火阑珊处'的意境,是语言无法形容的快乐。

好了,说了这些,还是回到沈文选先生的丛书。如果你能静心阅读,它会帮助你一步步攀登数学的高山,领略数学的美景,最终登上数学的顶峰。于是劳顿着,但快乐着。

信手写来,权作为序。

 

张奠宙

20071113

于沪上苏州河边

 

(文选先生编著的丛书,是一种对数学的欣赏。因此,再次想起数学思想往往和文学意境相通,年初曾在《文汇报》发表一短文,附录于此,算是一种呼应)

数学和诗词的意境

张奠宙

数学和诗词,历来有许多可供谈助的材料。例如:

一去二三里,烟村四五家;

楼台七八座,八九十支花。

把十个数字嵌进诗里,读来琅琅上口。郑板桥也有咏雪诗:

一片二片三四片,五片六片七八片;

千片万片无数片,飞入梅花总不见。

诗句抒发了诗人对漫天雪舞的感受。不过,以上两诗中尽管嵌入了数字,却实在和数学没有什么关系。

  数学和诗词的内在联系,在于意境。李白《送孟浩然之广陵》诗云:

故人西辞黄鹤楼,烟花三月下扬州。

孤帆远影碧空尽,唯见长江天际流。

数学名家徐利治先生在讲极限的时候,总要引用“孤帆远影碧空尽'这一句,让大家体会一个变量趋向于0的动态意境,煞是传神。

近日与友人谈几何,不禁联想到初唐诗人陈子昂《登幽州台歌》中的名句:

前不见古人,后不见来者;�

念天地之悠悠,独怆然而涕下。

一般的语文解释说:上两句俯仰古今,写出时间绵长;第三句登楼眺望,写出空间辽阔;在广阔无垠的背景中,第四句描绘了诗人孤单寂寞悲哀苦闷的情绪,两相映照,分外动人。然而,从数学上看来,这是一首阐发时间和空间感知的佳句。前两句表示时间可以看成是一条直线(一维空间)。陈老先生以自己为原点,前不见古人指时间可以延伸到负无穷大,后不见来者则意味着未来的时间是正无穷大。后两句则描写三维的现实空间:天是平面,地是平面,悠悠地张成三维的立体几何环境。全诗将时间和空间放在一起思考,感到自然之伟大,产生了敬畏之心,以至怆然涕下。这样的意境,数学家和文学家是可以彼此相通的。进一步说,爱因斯坦的四维时空学说,也能和此诗的意境相衔接。

贵州六盘水师专的杨老师告诉我他的一则经验。他在微积分教学中讲到无界变量时,用了宋朝叶绍翁《游园不值》中的诗句:

满园春色关不住,一枝红杏出墙来。

学生每每会意而笑。实际上,无界变量是说,无论你设置怎样大的正数M,变量总要超出你的范围,即有一个变量的绝对值会超过M。于是,M可以比喻成无论怎样大的园子,变量相当于红杏,结果是总有一枝红杏越出园子的范围。诗的比喻如此恰切,其意境把枯燥的数学语言形象化了。

数学研究和学习需要解题,而解题过程需要反复思索,终于在某一时刻出现顿悟。例如,做一道几何题,百思不得其解,突然添了一条补助线,问题豁然开朗,欣喜万分。这样的意境,想起了王国维用辛弃疾的词来描述的意境:“众里寻它千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处。'一个学生,如果没有经历过这样的意境,数学大概是学不好的了。

 

 


  

  

音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科技可以改善物质生活,但数学却能提供以上的一切。

――Klein

 

必须认识到,对于数学中所有的部分都存在着许多不同的方法。掌握所有的方法是重要的,因为许多问题扩展后,需要不同的方法来解。

――R.Bellman

 

方法就是把我们应注意的事物进行适当的整理和排列。

――Descartes

 

人们喜爱音乐,因为它不仅有神奇的乐谱,而且有悦耳的优美旋律!

人们喜爱画卷,因为它不仅描绘出自然界的壮丽,而且可以描绘人间美景!

人们喜爱诗歌,因为它不仅是字词的巧妙组合,而且抒发情怀的韵律!

人们喜爱哲学,因为它不仅是自然科学与社会科学的浓缩,而且使人更加聪明!

人们喜爱科技,因为它不仅是一个伟大的使者或桥梁,而且是现代物质文明的标志!

而数学之为德,数学之为用,难以用旋律、美景、韵律、聪明、标志等词语来表达!

你看,不是吗?

数学眼光,使我们看到世间万物充满着带有数学印记的奇妙的科学规律,看到各类书籍和文章的字里行间有着数学的踪迹,使我们看到满眼绚丽多彩的数学洞天!

数学思想,使我们领悟到数学是用字母和符号谱写的美妙乐曲,似协奏曲一样充满着和谐的旋律,让人难以忘怀,难以割舍!

数学应用,给我们展示出了数学的神通广大,在各个领域与角落闪烁着人类智慧的火花!

数学建模,呈现出了人类文明亮丽的风景!特别是哪呈现出的抽象彩虹――一个个精巧的数学模型,璀璨夺目,流光溢彩!

数学方法,像画卷一样描绘着各学科的异草奇葩般的景色,令人目不暇接!

数学史话,充满了诱人的前辈们的创造或再创造的心血机智,使人汲取了丰富的营养!

因此,我们可以说,你可以不信仰上帝,但不能不信仰数学。

从而,提高我国每一个人的数学文化水平及数学素养,是提高我国各个民族整体素质的重要组成部分,这也是数学基础教育中的重要目标。为此,笔者构思了这套丛书。

这套丛书是笔者学习张景中院士的教育数学思想,对一些数学素材和数学研究成果进行再创造并以此为指导思想来撰写的;是献给中学师生,企图为他们扩展数学视野、提高数学素养以响应张奠宙教授的倡议:建构符合时代需求的数学常识,享受充满数学智慧的精彩人生的书籍。

不积小流无以成江河,不积跬步无以至千里,没有积累便没有丰富的素材,没有整合创新便没有鲜明的特色。这套丛书的写作,是笔者在多年资料的收集、学习笔记的整理及笔者已发表的文章的修改并整合的基础上完成的。因此,每册书末都列出了尽可能多的参考文献,在此,衷心地感谢这些文献的作者。

这套丛书,作者试图以专题的形式,对中、小学中典型的数学问题进行广搜深掘来串联,并以此为线索来写作的。

这一册是《数学方法溯源》。

数学本身就是一种教人聪明的方法,就是一种科学方法与技术。在中学数学中谈数学方法,主要是谈数学解题方法。

所谓方法,是指人们为了某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式,或者说解决一类问题可采用的共同手段或计策。解决问题所需要的特殊手段或计策常称为技巧(或招术),其实技巧常能在某些问题中发挥特殊的作用,并且技巧累积到规律化的程度就出现了方法。

“法”的可仿效性带有较为“普适”的意义,而“技巧”的“普适”要差一些,但是它们也是相互依存的:只有注意技巧,才能揭示方法的产生,共性寓于个性之中,方法正是从门路、技巧之处变通发展而来;实施技巧要以能实施管着它的方法为前提。例如,待定系数法是一种特别有用的“法”。求二次函数的解析式时,用待定系数法根据图象上三个点的坐标求出解析式可看做第一“技巧”;根据顶点和另一点的坐标求出解析式可看做第二“技巧”;根据与x轴的交点和另一点的坐标求出解析式可看做第三“技巧”。这三个技巧各有奇妙之处。哪一技巧更好使用,要看条件和管着它们的“法”而定。教师授予学生“用待定系数法求二次函数的解析式”,最根本、最要紧的“法旨”就在于让学生明确二次函数的解析式中自变量、函数值和图象上点的横、纵坐标的对应关系;至于一般的点和特殊的点(例如顶点及与x轴的交点),解析式可以有不同的反映。因此,我国古代传说中经常提到的某些师傅对待弟子“给‘招'(技巧)不给‘法'”的现象,在现代的数学教育、教学中应该尽量避免。

人们通过长期的实践,发现了许多运用数学思想的手段、门路、技巧和程序。同一手段、门路、技巧、程序被重复运用了多次,并且都达到了预期的目的,便成为数学方法。数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法,即用数学语言表达事物的状态、关系和过程,经过推理、运算和分析,以形成解释、判断和预言的方法。

数学方法具有以下三个基本特征:一是高度的抽象性和概括性;二是精确性,即逻辑的严密性及结论的确定性;三是应用的普遍性和可操作性。

数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用:一是提供简洁精确的形式化语言;二是提供数量分析及计算的方法;三是提供逻辑推理的工具。

现代科学技术特别是电脑的发展,与数学方法的地位和作用的强化正好是相辅相成。

数学方法是人类在数学研究与学习中积累起来的宝贵精神财富,有着广阔的领域和丰富的内容。中学数学中的解题方法更是如此。

探寻数学解题方法的根源,探讨数学解题方法的灵活应用,这是中学数学教学中的一个重要话题,也是一些师生常考虑的问题,本书希望在这方面作一些揭示与介绍。

在日常生活中,有许多至为明显的事实,由于它们实在太简单了,人们反而觉得平淡无奇,而将它们轻易地放过去了。一旦我们注意到它们,则能使之成为我们解答数学问题的极为有用的方法原理。诸如水总是由高处流向低处;全班学生中必有一个年纪最小的;四本书放到三个抽屉里,必有一个抽屉放两本或两本以上的书,等等,均蕴含着深刻的数学解题方法原理。揭示与发掘这样的解题方法原理,是研究数学方法的重要内容。

数学之为用,除了工具价值、文化价值,还有更为重要的育人价值。而数学的育人,主要是通过培养思维能力来实现的。数学解题方法原理在数学思维中起着十分重要的作用。如果把数学知识比做一池清水,则数学解题方法原理就是渠道,水有渠道才能流出来。人们掌握了解题方法原理就有了思维方向;通晓了解题方法原理,就保证了思维畅通无阻,并向纵深发展。这时,迂回曲折的解题思维过程就会展现出来,就会使我们举一反三而受到启发,从而理出头绪。可以说,离开了数学解题方法原理的数学思维,只能是杂乱无章的胡思乱想。

数学能力是以数学知识为基础,以数学解题方法原理为支柱,以技能、技巧和规律为结晶的逻辑思维能力、直觉判断能力等诸能力的综合。而技能、技巧是深入理解数学知识,灵活运用解题方法原理进行合情推理判断、严密逻辑思维的结果。因此,掌握、通晓数学解题方法原理,是提高数学能力必不可少的条件。

数学解题作为数学教育教学论的一个科研专题,受到越来越多的国内外数学工作者和数学教育专家的关注,大有使这一课题科学化、理论化的趋势。他们提出了“问题就是数学的心脏”,“掌握数学就意味着解题'(G. Polya),“数学家存在的主要理由是解问题”(P. R.Halmos)的新观念;指出了“发展解决问题的能力应当成为数学教育工作者的努力方向”,吹响了把数学解题研究提高到新的理论高度来认识的号角。各高师院校数学系(科)也开设了“数学解题研究”、“数学解题方法研究”等必修课(或选修课)。而研究解题方法原理,是数学解题研究的一个重要方面;讲授解题方法原理,是讲授解题研究的一个重要内容。

数学竞赛是国际公认的智力活动,从古到今,从小学到中学、到大学,参赛人数之多,竞赛范围之广,竞赛难度之高决不比亚运会、奥运会逊色。它成了亿万青少年喜爱的活动之一,它也是数学工作者日常工作的重要组成部分。在数学竞赛中,那些灵巧而有趣的命题,以构思优美和精巧而吸引着广大数学爱好者;以丰富的知识、技巧、思想给我们的研究留下了思考和开掘的广阔余地。追本溯源,是命题者调动和活化了初等数学中很多潜在的知识、数学解题方法原理,并以此作为深刻的背景,用日常生活的语言把它陈述得饶有趣味,富有新意。因此,研究数学解题方法原理、运用数学解题方法原理解题,也是我们开展数学课外活动,进行数学竞赛培训的重要内容。���

 

沈文选

200711月于岳鹿山下

 


   

【目  

第一章  切分原理

1.1  切分原理Ⅰ及应用  //  1

1.1.1  分域法  //  1

1.1.2  分类法  //  3

1.1.3  迭加法  //  11

1.2  切分原理Ⅱ及其应用  //  19

1.2.1  考虑元素的特殊性分类分划  //  19

1.2.2  考虑位置的特殊性分类分划  //  20

1.2.3  考虑参量的取值范围分类分划  //  23

思考题  //  24

思考题参考解答  //  26

第二章  程序原理

2.1  程序原理Ⅰ及其应用  //  32

2.1.1  中途点法  //  32

2.1.2  消数法  //  37

2.1.3  消点法  //  41

2.2  程序原理Ⅱ及其应用  //  42

2.2.1  证明排列组合公式  //  43

2.2.2  求解计数问题  //  45

思考题  //  47

思考题参考解答  //  49

第三章  数学归纳法原理�

3.1  运用数学归纳法证题时应注意的事项与技巧  //  55

3.1.1  三个步骤缺一不可  //  55

3.1.2  第一步中的注意事项与技巧  //  56

3.1.3  第二步中的注意事项与技巧  //  58

3.2  数学归纳法的几种其他形式  //  70

3.2.1  第二数学归纳法  //  70

3.2.2  跳跃数学归纳法  //  71

3.2.3  倒推数学归纳法(反向归纳法)  //  72

3.2.4  分段数学归纳法  //  73

3.2.5  二元有限数学归纳法  //  74

3.2.6  双向数学归纳法  //  74

3.2.7  翘翘板数学归纳法  //  75

3.2.8  同步数学归纳法  //  75

3.3  数学归纳法的适度运用  //  76

思考题  //  76

思考题参考解答  //  78

第四章  容斥原理�

4.1  容斥原理Ⅰ与Ⅱ的应用  //  87

4.2  容斥原理Ⅱ的推广及应用  //  92

思考题  //  95

思考题参考解答  //  96

第五章  缩小原理�

5.1  逐步排除,去伪存真  //  99

5.2  灵活推导,逐步逼近  //  100

5.3  提炼特征,寻求规律  //  102

5.4  放缩夹逼,限定范围  //  103

5.5  降维减元,简化处理  //  105

5.6  毛估猜测,检验论证  //  106

5.7  设立主元,缩围击破  //  108

思考题  //  110

思考题参考解答  //  110

第六章  局部调整原理�

6.1  求最()  //  113

6.2  证明不等式  //  115

6.3  论证平衡状态问题  //  119

6.4  等周问题的证明  //  120

6.5  磨光变换  //  123

思考题  //  123

思考题参考解答  //  124

第七章  排序原理�

7.1  积和(方幂)式排序不等式  //  127

7.2  应用排序不等式Ⅰ证不等式  //  128

7.2.1  注意揭示两组数是同序的  //  128

7.2.2  注意多次应用排序不等式Ⅰ  //  129

7.2.3  注意所证不等式的变换  //  131

7.2.4  注意构造新的序列  //  131

7.2.5  运用排序不等式Ⅰ证著名不等式  //  132

7.3  运用排序不等式Ⅰ设计最佳方案  //  134

7.4  排序不等式Ⅰ的拓广形式  //  134

7.5  商式排序不等式  //  140

7.6  排序原理Ⅱ  //  141

思考题  //  142

思考题参考解答  //  143

第八章  配对原理�

8.1  运用配对原理求解数学问题  //  149

8.1.1  利用图形  //  149

8.1.2  利用符号  //  150

8.1.3  利用规律  //  151

8.1.4  抓住特殊元素  //  152

8.1.5  抓住特殊式子  //  153

8.2  运用配对原理,证明两组东西一样多  //  155

思考题  //  156

思考题参考解答  //  157

第九章  关系、映射、反演原理�

9.1  运用换元法解题  //  161

9.1.1  整体代换  //  161

9.1.2  常值代换  //  161

9.1.3  比值代换  //  162

9.1.4  标准量代换(包括平均量代换)  //  162

9.1.5  关于三角形边长命题的“切线长代换”  //  163

9.2  运用反函数法解题  //  163

9.3  运用对数法解题  //  163

9.4  运用坐标法解题  //  164

9.5  运用参数法解题  //  165

9.5.1  量度参数  //  165

9.5.2  增量参数  //  165

9.5.3  参数方程法  //  166

9.6  运用复数法解题  //  168

9.7  运用向量法解题  //  169

9.8  运用母函数法解题  //  171

9.9  运用微分、积分、概率知识法解题  //  172

9.10  运用数字化方法解题  //  172

9.11  运用数学模型法解题  //  174

思考题  //  174

思考题参考解答  //  174

第十章  逆反转换原理

10.1  逆推法  //  176

10.2  分析法  //  178

10.3  补集法  //  179

10.4  反客为主法  //  180

10.5  取倒数法  //  182

10.6  反证法  //  184

10.7  举反例  //  189

思考题  //  191

思考题参考解答  //  192

第十一章  重叠原理�

11.1  离散型重叠原理及应用  //  196

11.1.1  要善于设计集合  //  197

11.1.2  设计集合的几种常用方法  //  197

11.1.3  通过转化应用重叠原理Ⅱ  //  201

11.1.4  分成几种情形应用重叠原理Ⅱ  //  202

11.1.5  多次连续应用重叠原理Ⅱ  //  202

11.1.6  同一题可划分不同的集合来运用重叠原理Ⅱ解题  //  203

11.1.7  重叠原理Ⅲ、重叠原理Ⅳ的应用例子  //  203

11.1.8  重叠原理Ⅰ的另一种表现形式  //  204

11.2  连续型重叠原理及应用  //  204

11.2.1  平均量重叠原理  //  204

11.2.2  不等式重叠原理  //  207

11.2.3  面积重叠原理  //  208

11.2.4  连续型重叠原理的推广  //  209

思考题  //  210

思考题参考解答  //  210

第十二章  重现原理�

12.1  余数重现原理  //  212

12.1.1  同余在算术中的应用  //  213

12.1.2  利用同余求解末尾几位数码问题  //  215

12.1.3  利用同余处理整数问题  //  216

12.1.4  利用同余的性质证明某些著名定理  //  217

12.2  个位数重现原理  //  218

12.3  映射象重现原理  //  221

12.3.1  分圆多项式  //  221

12.3.2  周期函数  //  224

12.3.3  周期数列  //  229

12.3.4  其他周期现象  //  233

思考题  //  234

思考题参考解答  //  234

第十三章  开关原理�

13.1  奇偶分析法  //  237

13.1.1  末位数问题  //  237

13.1.2  整除性问题  //  239

13.1.3  方程问题  //  239

13.1.4  存在性问题  //  240

13.1.5  探讨性问题  //  242

13.1.6  对弈问题  //  243

13.2  二进位制分析法  //  244

13.3  两个原理的综合应用  //  247

思考题  //  248

思考题参考解答  //  249

第十四章  最小数原理�

14.1  最小数原理Ⅰ及应用  //  251

14.2  最小数原理Ⅱ及应用  //  252

14.2.1  论证存在性问题  //  252

14.2.2  论证唯一性问题  //  252

14.2.3  论证不存在性问题  //  253

14.2.4  论证“除法定理”  //  254

14.2.5  论证数学归纳法原理  //  254

14.2.6  推出归纳公理  //  254

14.3  最小空间角原理及应用  //  255

14.4  最大数原理及应用  //  256

附录  数学归纳法原理另外几种形式的证明  //  258

思考题  //  259

思考题参考解答  //  260

第十五章  最短长度原理�

15.1  最短长度原理Ⅰ及应用  //  262

15.1.1  最佳选点、最佳路径问题  //  262

15.1.2  不等式、最值问题  //  264

15.1.3  覆盖问题  //  265

15.1.4  阿基米德第二公理  //  266

15.2  最短长度原理Ⅱ及应用  //  268

思考题  //  270

思考题参考解答  //  270

第十六章  极端原理�

16.1  解答问题,运用极端原理奠基  //  272

16.2  求解问题,运用极端原理探路  //  274

16.3  定值问题,先用极端原理探求  //  276

16.4  穷举问题,运用极端原理筛选  //  277

16.5  某些规律,运用极端原理发现  //  278

16.6  获得结论对否,运用极端原理检验  //  280

16.7  讨论题解,运用极端原理完善  //  281

思考题  //  282

思考题参考解答  //  283

第十七章  对称原理�

17.1  研究对称获结论  //  285

17.1.1  对称原理Ⅱ及应用  //  285

17.1.2  对称原理Ⅲ及其他  //  288

17.1.3  对称原理Ⅳ  //  290

17.2  看清对称明思路  //  291

17.2.1  看清对称图形  //  291

17.2.2  看清对称式子  //  292

17.2.3  看清对称地位  //  294

17.2.4  看清对称作用  //  295

17.3  联想对称得辅图  //  297

17.4  想到对称得方法  //  298

思考题  //  299

思考题参考解答  //  300

第十八章  相似原理�

18.1  重视相似性推理  //  303

18.1.1  利用相似性,简化解答过程  //  303

18.1.2  注意相似性,应用图形性质  //  304

18.1.3  根据相似性,作出判断、推广  //  305

18.1.4  发现相似性,提高认识水平  //  305

18.1.5  运用相似性,创立新的学说  //  306

18.2  掌握相似性方法  //  306

18.2.1  借助相似性,运用比较法  //  306

18.2.2  捕捉相似性,纵横来类比  //  307

18.2.3  发掘相似性,巧用模式法  //  309

18.2.4  猎取相似性,采用模拟法  //  311

18.2.5  揭示相似性,善用移植法  //  311

18.2.6  把握相似性,优化探索法  //  312

思考题  //  314

思考题参考解答  //  315

第十九章  守恒原理�

19.1  配凑型方法  //  318

19.1.1  配方法  //  318

19.1.2  拆开法  //  320

19.1.3  1  //  326

19.2  代换型方法  //  331

19.2.1  待定系数法  //  331

19.2.2  参量分离法  //  337

19.2.3  化“1”代换法  //  337

19.2.4  等和代换法  //  338

思考题  //  339

思考题参考解答  //  339

第二十章  出入相补原理�

20.1  等形出入相补  //  344

20.2  等积形出入相补  //  346

20.3  数、式出入相补  //  348

思考题  //  350

思考题参考解答  //  351

第二十一章  祖�原理�

思考题  //  355

思考题参考解答  //  355

第二十二章  不动点原理�

22.1  函数不动点  //  357

22.1.1  利用f(x)的不动点,求f(x)n次迭代函数的解析式  //  357

22.1.2  利用f(x)的不动点解方程  //  358

22.1.3  利用f(x)的不动点求递推数列的通项  //  359

22.1.4  利用f(x)的不动点求递推数列的极限�  //  362

22.1.5  对有无限多个不动点的函数问题的讨论  //  364

22.2  组合不动点  //  365

22.3  几何不动点  //  366

22.4  拓扑不动点  //  367

思考题  //  368

思考题参考解答  //  368

参考文献  //  370

作者出版的相关书籍与发表的相关文章目录  //  371

编后语  //  373

 

 


  

编 后 语

沈文选先生是我多年的挚友,我又是这套书的策划编辑,所以有必要在这套书即将出版之际,说上两句。 

有人说:“现在,书籍越来越多,过于垃圾,过于商业,过于功利,过于弱智,无书可读。”

还有人说:“从前,出书难,总量少,好书就像沙滩上的鹅卵石一样显而易见,而现在书籍的总量在无限扩张,而佳作却无法迅速膨化,好书便如埋在沙砾里的金粉一样细屑不可寻,一读便上当,看书的机会成本越来越大。”(无书可读――中国图书业的另类观察,侯虹斌《新周刊》,2003,总166)

但凡事总有例外,摆在我面前的沈文选先生的大作便是一个小概率事件的结果。文如其人,作品即是人品,现在认认真真做学问,老老实实写著作的学者已不多见。沈先生算是其中一位,用书法大师教育家启功给北京师范大学所题的校训“学为人师,行为世范”来写照,恰如其分。沈先生“从一而终”,从教近四十年,除偶有涉及�n�维空间上的单形研究外将全部精力都投入到初等数学的研究中。不可不谓执著,成果也是显著的,称其著作等身并不为过。

目前,国内高校也开始流传美国学界历来的说法“不发表则自毙(Publish or Perish)”。于是大量应景之作迭出,但沈先生已近退休,并无此压力,只是想将多年研究做个总结,可算封山之作。所以说这套从书是无书可读时代的可读之书,选读此书可将读书的机会成本降至无穷小。

这套书非考试之用,所以切不可抱功利之心去读。中国最可怕的事不是大众不读书,而是教师不读书,沈先生的书既是给学生读的,又是给教师读的。2001年陈丹青在上海《艺术世界》杂志开办专栏时,他采取读者提问他回答的互动方式。有一位读者直截了当地问:“你认为在艺术中能够得到什么?”陈丹青答道:“得到所谓‘艺术':有时自以为得到了,有时发现并没得到。”(陈丹青.与陈丹青交谈.上海文艺出版社,2007,第12)。读艺术如此读数学也如此,如果非要给自己一个读的理由,可以用一首诗来说服自己,曾有人将古代五言《神童诗》扩展成七言。�

 

古今天子重英豪,学内文章教尔曹。

世上万般皆下品,人间唯有读书高。

 

沈先生的书涉猎极广,可以说只要对数学感兴趣的人都会开卷有益,可自学,可竞赛,可教学,可欣赏,可把玩,只是不宜远离。米兰・昆德拉在《小说的艺术》中说:“缺乏艺术细胞并不可怕,一个人完全可以不读普鲁斯特,不听舒伯特,而生活得很平和。但一个蔑视艺术的人不可能平和地生活。”(米兰・昆德拉.小说的艺术.董强,译.上海译文出版社,2004,第169)将艺术换以数学结论也成立。

本套丛书是旨在提高公众数学素养的书,打个比方说它不是药但是营养素与维生素。缺少它短期似无大碍,长期缺乏必有大害。20079月初,法国中小学开学之际,法国总统尼古拉・萨科奇发表了长达32页的《致教育者的一封信》,其中他严肃指出:当前法国教育中的普通文化日渐衰退,而专业化学习经常过细、过早。他认为:“学者、工程师、技术员不能没有文学、艺术、哲学素养;作家、艺术家、哲学家不能没有科学、技术、数学素养。”最后我们祝沈老师退休生活愉快,为数学工作了一辈子,教了那么多学生,写了那么多论文和书,你太累了,也该歇歇了。�

 

策划编辑  刘培杰

200811

 

   
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