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书名:《数学建模导引》 英文书名:
丛书系列: 中学数学拓展丛书 图书编号:∑23
作者:沈文选 杨清桃 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-2639-9 开本:787mm×1092mm 1/16
版次:2008年1月第1版 2008年1月第1次印刷 印张:16.5  字数:395 千字千字
定价:28.00元元 页数:

 

【作者简介】

沈文选,男,1948年生,湖南师范大学数学与计算机科学学院教授,全国初等数学研究会()理事长,湖南省高师数学教育研究会理事长,全国高师数学教育研究会常务理事,全国教育数学研究会常务理事,湖南省中学数学研究会副理事长,湖南省数学会中学数学委员会副主任,湖南师大数学奥林匹克研究所副所长,《中国初等数学研究》()主编,《数学教育学报》编委,《现代中学数学》副主编。中国数学奥林匹克高级教练。

长期从事中学数学研究、初等数学研究、奥林匹克数学研究,教育数学研究。已出版学术专著6部,主编高校教材4部,出版其他书籍近20部,发表学术论文80余篇,其他文章200余篇,多年来为全国初、高中数学联赛、数学冬令营、国家集训队提供试题20余道,是湖南省数学奥林匹克培训的主要组织者与授课者(湖南中学生已获得IMO金牌11块,银牌2),已指导硕士研究生66名。

 


  

内容简介

本书共分七章。第一章数学模型;第二章数学建模的意义;第三章数学建模的逻辑思维方法;第四章数学建模的非逻辑思维方法;第五章数学建模的机理分析方法;第六章数学建模的数据分析方法;第七章数学建模的学科知识方法。本书可作为高等师范院校教育学院、教师进修学院数学专业及国家级、省级中学数学骨干教师培训班的教材或教学参考书。

 

 


  

  

我和沈文选教授有过合作,彼此相熟。不久前,他发来一套数学普及读物的丛书目录,包括数学眼光、数学思想、数学应用、数学模型、数学方法、数学史话等,洋洋大观。从论述的数学课题来看,该丛书的视角新颖,内容充实,思想深刻,在数学科普出版物中当属上乘之作。

阅读之余,忽然觉得公众对数学的认识很不相同,有些甚至是彼此矛盾的。例如:

一方面,数学是学校的主要基础课,从小学到高中,12年都有数学;另一方面,许多名人在说“自己数学很差'的时候,似乎理直气壮,连脸也不红,好像在宣示:数学不好,照样出名。

一方面,说数学是科学的女王,“大哉数学之为用',数学无处不在,数学是人类文明的火车头;另一方面,许多学生说数学没用,一辈子也碰不到一个函数,解不了一个方程,连相声也在讽刺“一边向水池注水,一边放水'的算术题是瞎折腾。

一方面,说“数学好玩',数学具有和谐美、对称美、奇异美,歌颂数学家的“美丽的心灵”;另一方面,许多人又说,数学枯燥、抽象、难学,看见数学就头疼。

数学,我怎样才能走近你,欣赏你,拥抱你?说起来也很简单,就是不要仅仅埋头做题,要多多品味数学的奥秘,理解数学的智慧,抛却过分的功利,当你把数学当做一种文化来看待的时候,数学就在你心中了。

我把学习数学比做登山,一步步地爬,很累,很苦。但是如果你能欣赏山林的风景,那么登山就是一种乐趣了。

登山有三种意境。

首先是初识阶段。走入山林,爬得微微出汗,坐拥山色风光。体会“明月松间照,清泉石上流'的意境。当你会做算术,会记账,能够应付日常生活中的数学的时候,你会享受数学给你带来的便捷,感受到好似饮用清泉那样的愉悦。

其次是理解阶段。爬到山腰,大汗淋漓,歇足小坐。环顾四周,云雾环绕,满目苍翠,心旷神怡。正如苏轼名句:“横看成岭侧成峰,远近高低各不同;不识庐山真面目,只缘身在此山中。'数学理解到一定程度,你会感觉到数学的博大精深,数学思维的缜密周全,数学的简捷之美,使你对符号运算能够有爱不释手的感受。不过,理解了,还不能创造。“采药山中去,云深不知处。'对于数学的伟大,还莫测高深。

第三则是登顶阶段。攀岩涉水,越过艰难险阻,到达顶峰的时候,终于出现了“会当凌绝顶,一览众山小'的局面。这时,一切疲乏劳顿、危难困苦,全都抛到九霄云外。“雄关漫道真如铁',欣赏数学之美,是需要代价的。当你破解了一道数学难题,“蓦然回首,那人却在灯火阑珊处'的意境,是语言无法形容的快乐。

好了,说了这些,还是回到沈文选先生的丛书。如果你能静心阅读,它会帮助你一步步攀登数学的高山,领略数学的美景,最终登上数学的顶峰。于是劳顿着,但快乐着。

信手写来,权作为序。

 

张奠宙

20071113

于沪上苏州河边

      

(文选先生编著的丛书,是一种对数学的欣赏。因此,再次想起数学思想往往和文学意境相通,年初曾在《文汇报》发表一短文,附录于此,算是一种呼应)

数学和诗词的意境

张奠宙

数学和诗词,历来有许多可供谈助的材料。例如:

一去二三里,烟村四五家;

楼台七八座,八九十支花。

把十个数字嵌进诗里,读来琅琅上口。郑板桥也有咏雪诗:

一片二片三四片,五片六片七八片;

千片万片无数片,飞入梅花总不见。

诗句抒发了诗人对漫天雪舞的感受。不过,以上两诗中尽管嵌入了数字,却实在和数学没有什么关系。

数学和诗词的内在联系,在于意境。李白《送孟浩然之广陵》诗云:

故人西辞黄鹤楼,烟花三月下扬州。

孤帆远影碧空尽,唯见长江天际流。

数学名家徐利治先生在讲极限的时候,总要引用“孤帆远影碧空尽'这一句,让大家体会一个变量趋向于0的动态意境,煞是传神。

近日与友人谈几何,不禁联想到初唐诗人陈子昂《登幽州台歌》中的名句:

前不见古人,后不见来者;

念天地之悠悠,独怆然而涕下。

一般的语文解释说:上两句俯仰古今,写出时间绵长;第三句登楼眺望,写出空间辽阔;在广阔无垠的背景中,第四句描绘了诗人孤单寂寞悲哀苦闷的情绪,两相映照,分外动人。然而,从数学上看来,这是一首阐发时间和空间感知的佳句。前两句表示时间可以看成是一条直线(一维空间)。陈老先生以自己为原点,前不见古人指时间可以延伸到负无穷大,后不见来者则意味着未来的时间是正无穷大。后两句则描写三维的现实空间:天是平面,地是平面,悠悠地张成三维的立体几何环境。全诗将时间和空间放在一起思考,感到自然之伟大,产生了敬畏之心,以至怆然涕下。这样的意境,数学家和文学家是可以彼此相通的。进一步说,爱因斯坦的四维时空学说,也能和此诗的意境相衔接。

贵州六盘水师专的杨老师告诉我他的一则经验。他在微积分教学中讲到无界变量时,用了宋朝叶绍翁《游园不值》中的诗句:

满园春色关不住,一枝红杏出墙来。

学生每每会意而笑。实际上,无界变量是说,无论你设置怎样大的正数M,变量总要超出你的范围,即有一个变量的绝对值会超过M。于是,M可以比喻成无论怎样大的园子,变量相当于红杏,结果是总有一枝红杏越出园子的范围。诗的比喻如此恰切,其意境把枯燥的数学语言形象化了。

数学研究和学习需要解题,而解题过程需要反复思索,终于在某一时刻出现顿悟。例如,做一道几何题,百思不得其解,突然添了一条补助线,问题豁然开朗,欣喜万分。这样的意境,想起了王国维用辛弃疾的词来描述的意境:“众里寻它千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处。”一个学生,如果没有经历过这样的意境,数学大概是学不好的了。

 

 


  

  

音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科技可以改善物质生活,但数学却能提供以上的一切。

――Klein

 

数学就是对于模式的研究。

――AN・怀特海

 

甚至一个粗糙的数学模型也能帮助我们更好地理解一个实际的情况,因为我们在试图建立数学模型时被迫考虑了各种逻辑可能性,不含混地定义了所有的概念,并且区分了重要的和次要的因素。一个数学模型即使导出了与事实不符合的结果,它也还可能是有价值的,因为一个模型的失败可以帮助我们去寻找更好的模型。应用数学和战争是相似的,有时一次失败比一个胜利更有价值,因为它帮助我们认识到我们的武器或战略的不适当之处。

――A.Renyi

 

人们喜爱音乐,因为它不仅有神奇的乐谱,而且有悦耳的优美旋律!

人们喜爱画卷,因为它不仅描绘出自然界的壮丽,而且可以描绘人间美景!

人们喜爱诗歌,因为它不仅是字词的巧妙组合,而且有抒发情怀的韵律!

人们喜爱哲学,因为它不仅是自然科学与社会科学的浓缩,而且使人更加聪明!

人们喜爱科技,因为它不仅是一个伟大的使者或桥梁,而且是现代物质文明的标志!

而数学之为德,数学之为用,难以用旋律、美景、韵律、聪明、标志等词语来表达!

你看,不是吗?

数学眼光,使我们看到世间万物充满着带有数学印记的奇妙的科学规律,看到各类书籍和文章的字里行间有着数学的踪迹,使我们看到满眼绚丽多彩的数学洞天!

数学思想,使我们领悟到数学是用字母和符号谱写的美妙乐曲,充满着和谐的旋律,让人难以忘怀,难以割舍!

数学应用,给我们展示出了数学的神通广大,在各个领域与角落闪烁着人类智慧的火花!

数学建模,呈现出了人类文明亮丽的风景!特别是那呈现出的抽象彩虹――一个个精巧的数学模型,璀璨夺目,流光溢彩!

数学方法,像画卷一样描绘着各学科的异草奇葩般的景象,令人目不暇接!

数学史话,充满了诱人的前辈们的创造或再创造的心血机智,使人汲取了丰富的营养!

因此,我们可以说,你可以不信仰上帝,但不能不信仰数学。

从而,提高我国每一个人的数学文化水平及数学素养,是提高我国各个民族整体素质的重要组成部分,这也是数学基础教育中的重要目标。为此,笔者构思了这套丛书。

这套丛书是笔者学习张景中院士的教育数学思想,对一些数学素材和数学研究成果进行再创造并以此为指导思想来撰写的;是献给中学师生,企图为他们扩展数学视野、提高数学素养以响应张奠宙教授的倡议:建构符合时代需求的数学常识,享受充满数学智慧的精彩人生的书籍。

不积小流无以成江河,不积跬步无以至千里,没有积累便没有丰富的素材,没有整合创新便没有鲜明的特色,这套丛书的写作,是笔者在多年资料的收集、学习笔记的整理及笔者已发表的文章的修改并整合的基础上完成的。因此,每册书末都列出了尽可能多的参考文献,在此,衷心地感谢这些文献的作者。

这套丛书,作者试图以专题的形式,对中、小学中典型的数学问题进行广搜深掘来串联,并以此为线索来写作的。

这一册是《数学建模导引》。

数学建模(Mathematical Modelling)是近些年来随着计算机的普及而谈论得比较多的话题。

一切现代科学技术的发展也紧紧地和数学建模联系在一起了。因为一切科学研究都要和模型打交道,模型是对原型的形象化或模拟与抽象而来,是对原型的某(或某些)方面不失真的近似反映。而研究模型,少不了研究其间的空间形式与数量关系,因而这实际上就是要研究并恰当地建立各种各样的数学模型。

运用数学模型,不仅可以定性地研究事物的性质,而且可以定量地研究或描述事物的本质,使其数量化、精确化,这也正是现代科学技术发展的一个重要特征。因而,数学建模活动正在全世界形成一股热潮,这股热潮使得学校教育形成了鲜明的时代特色。例如,强调让学生通过“做数学”来学习数学是近些年来国际上进行数学教育的特色之一,因为数学建模的过程就是一种做数学的过程。

根据中学的数学教育目标,在中学阶段就开始学习并探讨研究有关数学建模的问题是非常必要的,也是十分重要的。在中学数学教学中,介绍数学模型的运用与怎样进行数学建模是学习、探讨研究数学建模的重要途径。显然,通过实例来介绍数学模型的运用,通过实例来介绍怎样进行数学建模,说明如何分清实际问题的主要因素和次要因素,恰当地抛弃次要因素,提出合理的假设,建立相应的数学模型,然后将所得解与实际问题比较,进一步修改、完善模型,使问题得到完满的解决。这样的建模学习可以使读者清楚地认识到:数学建模就是实现实际问题向数学问题的转换,这既是推动数学有意义学习与数学发展的一种强有力的内驱力,又是数学应用研究的重要方面,也是“做数学”的实际行动。宋代诗人陆游讲得好:“纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行。”学习与研究数学建模也是如此。

进行数学建模教育,不仅是各类高等院校数学教学的重要内容,也应是中学数学日常教学工作的一项内容。以建模思想指导教育改革,用建模观点进行教材分析,学习建模实例充实教学内容,可以落实日常语言变为数学语言的训练,可以落实使每个人从青少年起就受到将实际问题抽象成数学问题的训练,促使学习者学会用数学的眼光透视问题,从数学的角度去思考周围的实际问题,培养用数学的意识,学会用数学的理论、思想方法分析处理问题,培养数学建模能力,落实素质教育的目标。通过数学建模教育,学习者将从不同侧面较快地提高其想象力、洞察力等,逐渐养成一种一眼就能抓住问题本质的习惯,为今后更好地从事创造性学习与工作打下坚实的基础。

数学建模不仅是数学走向应用的必由之路,而且是启迪数学心灵的必然之路!

 

 

沈文选

200711月于岳鹿山下

 


   

【目  

第一章  数学模型

1.1   模型与数学模型  //  1

1.1.1  实物模型与理论模型  //  1

1.1.2  数学模型  //  2

1.2   数学知识与数学模型  //  4

1.2.1  概念型数学模型  //  5

1.2.2  方法型数学模型  //  5

1.2.3  结构型数学模型  //  7

1.3   数学解题与数学模型  //  9

1.3.1  模型的概括性使解题思路明快  //  9

1.3.2  模型的直观性使解题思路清晰  //  10

1.3.3  模型的相似性使解题方法简化  //  10

1.3.4  模型的抽象性使解题路子拓宽  //  11

1.4   数学发展与数学模型  //  12

1.5�各类科学与数学模型  //  13

1.5.1  物理学等自然科学与数学模型  //  13

1.5.2  工程学的研究与数学模型  //  15

1.5.3  生物科学与数学模型  //  17

1.5.4  经济学的研究与数学模型  //  17

1.5.5  语言学的研究与数学模型  //  25

1.6   数学模型的特性、功能与分类  //  27

1.6.1  数学模型的主要特性  //  27

1.6.2  数学模型的主要功能  //  27

1.6.3  数学模型的分类  //  28

1.7   中学数学教学与数学模型  //  30

1.7.1  中学数学的教与学是数学模型的教与学  //  30

1.7.2  模型教具教学与逆数学模型法  //  31

思考题  //  31

思考题参考解答  //  35

第二章  数学建模的意义

2.1  数学建模与数学模型  //  44

2.2  建立数学模型的一般要求与一般步骤  //  47

2.2.1  建立数学模型的一般要求  //  47

2.2.2  建立数学模型的一般步骤  //  47

2.3  数学建模过程的心理分析  //  52

2.4  数学建模中的数学方法  //  54

2.5  数学建模教育  //  60

2.5.1  数学建模教育的性质  //  60

2.5.2  数学建模教育的功能  //  64

思考题  //  66

思考题参考解答  //  67

第三章  数学建模的逻辑思维方法

3.1   抽象  //  72

3.1.1  哥尼斯堡七桥问题  //  72

3.1.2  超市保安的最少安排问题  //  74

3.1.3  “生物钟”调整现象  //  76

3.2   归纳  //  77

3.2.1  地心说与日心论的提出及开普勒三定律的发现  //  78

3.2.2  原子量的差异与元素周期律表  //  80

3.3   演绎  //  80

3.3.1  万有引力定律的发现  //  80

3.3.2  癌细胞的识别问题  //  82

3.4   类比  //  84

3.4.1  摸彩问题  //  84

3.4.2  电话系统呼叫问题  //  86

3.4.3  项目反应理论问题  //  87

3.5   模拟  //  89

3.5.1  中医的计算机计量诊断  //  89

3.5.2  容器置物问题  //  90

3.6   移植  //  92

3.6.1  万有引力模型  //  92

3.6.2  生物控制论的产生  //  93

思考题  //  94

思考题参考解答  //  95

第四章  数学建模的非逻辑思维方法

4.1   想象  //  100

4.1.1  虚数的引进  //  100

4.1.2  波利亚解题过程的几何图示的发现  //  101

4.2   直觉  //  106

4.2.1  麦克斯韦方程的建立  //  106

4.2.2  复平面及复数应用的发现  //  107

4.3   灵感(顿悟)  //  109

4.3.1  哈密尔顿四元数模型的发现  //  109

4.3.2  庞加莱关于富克斯函数存在发现  //  111

4.3.3  一道平面几何问题的证明  //  112

思考题  //  113

思考题参考解答  //  114

第五章  数学建模的机理分析方法

5.1   比例分析  //  115

5.1.1  包装成本问题  //  115

5.1.2  长沙马王堆一号墓的年代  //  116

5.2   位置分析  //  118

5.2.1  直线流水工作线上供应点设置问题  //  118

5.2.2  足球射门命中率问题  //  119

5.3   因素分析  //  121

5.3.1  定点投篮问题  //  121

5.3.2  推掷铅球问题  //  123

5.3.3  行车颠簸问题  //  126

5.3.4  人体运动之引体向上问题  //  127

5.4   层次(或阶段)分析  //  129

5.4.1  公园游览路线问题  //  129

5.4.2  住宅选择问题  //  132

5.4.3  合理使用企业留成问题  //  135

5.4.4  学习知识层次问题  //  136

5.4.5  语言符号的树形图层次模型  //  139

5.5   图解分析  //  140

5.5.1  生产安排问题  //  141

5.5.2  导弹核武器竞赛问题  //  142

5.5.3  市场平衡问题  //  143

5.5.4  横渡大江大河的最佳路线问题  //  145

5.6   实验分析  //  147

5.6.1  原子的有核模型的建立  //  147

5.6.2  浴霸的取暖效果问题  //  148

5.7   比较分析  //  151

5.7.1  洗衣服的问题  //  151

5.7.2  灌溉问题  //  154

5.7.3  合适的能源问题  //  157

5.7.4  设备选购决策问题  //  159

5.7.5  选择题的分值设定问题  //  161

5.8   公理化分析  //  164

5.8.1  公平选举程序的可能性问题  //  164

5.8.2  公平整分方法的存在性问题  //  166

思考题  //  168

思考题参考解答  //  172

第六章  数学建模的数据分析方法

6.1   数字分析  //  186

6.1.1  我国人口增长趋势问题  //  186

6.1.2  砝码问题  //  188

6.1.3  货郎担问题  //  189

6.1.4  背包问题  //  190

6.2   数式分析  //  192

6.2.1  蔬菜批发中心调配蔬菜问题  //  192

6.2.2  开会问题  //  194

6.2.3  产销周期中的最优化设计问题  //  195

6.2.4  控制中心室内观察者座位布局问题  //  197

6.3   数表分析  //  199

6.3.1  耕地减少的限额问题  //  199

6.3.2  电梯问题  //  201

6.4   回归分析  //  203

6.4.1  农药菊乐合酯对青虫的半致死量  //  203

6.4.2  X射线的杀菌问题  //  206

6.5   矩阵分析  //  206

6.5.1  玩具的生产成本核算问题  //  206

6.5.2  最佳分工方案问题  //  208

6.5.3  服装综合评判的问题  //  209

6.6   时序分析  //  210

6.6.1  伏尔特拉的鱼群生态模型  //  210

6.6.2  阶梯式累进水价问题  //  212

6.6.3  砝码的称量及称量方案模型问题  //  213

思考题  //  216

思考题参考解答  //  217

第七章  数学建模的学科知识方法

7.1   数学学科各分支的知识  //  225

7.1.1  求解一类排列组合问题的线段染色模型  //  225

7.1.2  应聘的概率知识法决策  //  226

7.1.3  足球联赛的理论保级分数问题  //  228

7.2   物理、化学等其他学科的知识  //  231

7.2.1  广告效应问题  //  231

7.2.2  缉私追击问题  //  233

思考题  //  236

思考题参考解答  //  236

参考文献   //  240

作者出版的相关书籍与发表的相关文章目录   //  242

编后语   //  243

 


   

编 后 语

沈文选先生是我多年的挚友,我又是这套书的策划编辑,所以有必要在这套书即将出版之际,说上两句。 

有人说:“现在,书籍越来越多,过于垃圾,过于商业,过于功利,过于弱智,无书可读。”

还有人说:“从前,出书难,总量少,好书就像沙滩上的鹅卵石一样显而易见,而现在书籍的总量在无限扩张,而佳作却无法迅速膨化,好书便如埋在沙砾里的金粉一样细屑不可寻,一读便上当,看书的机会成本越来越大。”(无书可读――中国图书业的另类观察,侯虹斌《新周刊》,2003,总166)

但凡事总有例外,摆在我面前的沈文选先生的大作便是一个小概率事件的结果。文如其人,作品即是人品,现在认认真真做学问,老老实实写著作的学者已不多见。沈先生算是其中一位,用书法大师教育家启功给北京师范大学所题的校训“学为人师,行为世范”来写照,恰如其分。沈先生“从一而终”,从教近四十年,除偶有涉及n维空间上的单形研究外将全部精力都投入到初等数学的研究中。不可不谓执著,成果也是显著的,称其著作等身并不为过。

目前,国内高校也开始流传美国学界历来的说法“不发表则自毙(Publish or Perish)”。于是大量应景之作迭出,但沈先生已近退休,并无此压力,只是想将多年研究做个总结,可算封山之作。所以说这套从书是无书可读时代的可读之书,选读此书可将读书的机会成本降至无穷小。

这套书非考试之用,所以切不可抱功利之心去读。中国最可怕的事不是大众不读书,而是教师不读书,沈先生的书既是给学生读的,又是给教师读的。2001年陈丹青在上海《艺术世界》杂志开办专栏时,他采取读者提问他回答的互动方式。有一位读者直截了当地问:“你认为在艺术中能够得到什么?”陈丹青答道:“得到所谓‘艺术':有时自以为得到了,有时发现并没得到。”(陈丹青.与陈丹青交谈.上海文艺出版社,2007,第12)。读艺术如此读数学也如此,如果非要给自己一个读的理由,可以用一首诗来说服自己,曾有人将古代五言《神童诗》扩展成七言。

 

古今天子重英豪,学内文章教尔曹。

世上万般皆下品,人间唯有读书高。

 

沈先生的书涉猎极广,可以说只要对数学感兴趣的人都会开卷有益,可自学,可竞赛,可教学,可欣赏,可把玩,只是不宜远离。米兰・昆德拉在《小说的艺术》中说:“缺乏艺术细胞并不可怕,一个人完全可以不读普鲁斯特,不听舒伯特,而生活得很平和。但一个蔑视艺术的人不可能平和地生活。”(米兰・昆德拉.小说的艺术.董强,译.上海译文出版社,2004,第169)将艺术换以数学结论也成立。

本套丛书是旨在提高公众数学素养的书,打个比方说它不是药但是营养素与维生素。缺少它短期似无大碍,长期缺乏必有大害。20079月初,法国中小学开学之际,法国总统尼古拉・萨科奇发表了长达32页的《致教育者的一封信》,其中他严肃指出:当前法国教育中的普通文化日渐衰退,而专业化学习经常过细、过早。他认为:“学者、工程师、技术员不能没有文学、艺术、哲学素养;作家、艺术家、哲学家不能没有科学、技术、数学素养。”最后我们祝沈老师退休生活愉快,为数学工作了一辈子,教了那么多学生,写了那么多论文和书,你太累了,也该歇歇了。

策划编辑  刘培杰

200811

 

 

   
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