检索条件

检索内容


查看大图
书名:《射影几何趣谈》 英文书名:
丛书系列: 数学趣题系列 图书编号:∑175
作者:冯克勤 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-3559-9 开本:787mm×960mm 1/16
版次:2012年4月第1版 2012年4月第1次印刷 印张:12.25  字数:170千字千字
定价:28.00元元 页数:190

 

【内容提要】

本书深入地探讨和介绍了射影几何这一几何分支的基本内容,并讲述了平面射影几何当中一些有趣的定理和概念.同时通过大量的例子来说明,如何利用射影几何的知识和方法解决平面几何学中的问题.

本书适合初、高中师生,以及高等师范类院校数学教育专业的大学生和数学爱好者参考阅读.

 


  

 

【引  言】

射影几何具有悠久的发展历史.远在公元前4世纪,古希腊人已经发现了圆锥曲线.公元前3世纪,希腊数学家欧几里得(Euclid)和阿波罗尼(Apollonius)都发表了关于圆锥曲线的专门著作.他们发现了关于圆锥曲线许多有趣的性质,这些性质属于现在射影几何的内容.15世纪和16世纪,欧洲的学者由于绘画、雕塑和建筑的需要,发现了透视原理.到了17世纪,法国数学家笛卡儿(R.Descartes,15961650)引入了直角坐标系,使几何学代数化,许多几何问题归结于代数上的解联立方程组,从而把几何图形的性质归结为一些代数运算,这就是解析几何.解析几何的出现,对于力学、物理学和数学本身的发展,起了很大的推动作用.但是,在另一方面,几何本身仍有它自身的直观性和优美性.与笛卡儿同时代的法国数学家德沙格(G.Desargues,15911661)和帕斯卡(B.Pascal,16231662)3创立了射影几何.1639年,德沙格通过对透视的研究,建立了无穷远点和射影空间的概念.1649年,2帕斯卡发现了关于圆锥曲线的著名定理.由此,一个优美的数学学科――射影几何产生了.

18世纪是解析几何得到广泛应用的时代,而19世纪则是射影几何大发展的时代.射影几何的发展,首先应归功于法国另一个数学家彭色列(J.V.Poncelet,17881867).他于1822年出版了有名的著作《论图形的射影性质》,系统地研究了图形在中心射影之下不变的性质.在这之前,射影几何是在欧氏几何的框架里进行研究的.但是欧氏几何中的最基本概念――距离,以及角度、面积等性质,在中心射影之下是变化的.既然是这样,为什么射影几何一定要依附于以距离为基石的欧氏几何?于是,在1847年,德国数学家冯・施道特(K.G.C.von Staudt,17981867)等人建立了射影几何自己的公理系统.至此,射影几何作为一个独立的几何学科,基本上完整地建立了起来.射影几何有别于欧氏几何,最显著的差别是射影几何中没有“直线平行”这个概念,在射影平面中的任意两条不同的射影直线均恰好交于一点.在这期间,法国数学家庞加莱(H.J.Poincaré,18541912),匈牙利数学家波约依(J.Bolyai,18021860)和俄国数学家罗巴切夫斯基(Н.И.Лобачевский,17921856)各自独立地建立了另一些非欧几何的模型.在这些不同的几何学的基础上,1872年德国数学家克莱因(F.Ch.Klein,18491925)在著名的爱尔兰根纲领中给几何学下了一个经典的定义:几何学是研究空间在某个变换群下不变性的一门学问.

以上我们扼要地叙述了射影几何的产生和发展,以及射影几何在整个几何学发展中所处的地位.19世纪是射影几何的光辉时代, 以至于当时英国数学家凯莱(A.Cayley,18211895)说过这样一句名言:一切几何都是射影几何!

在这本书里,我们打算通俗地介绍平面射影几何当中一些有趣的定理和概念.我们也以大量的例子来说明,如何利用射影几何的知识和方法来解决平面几何学中的问题.从上面关于几何学的发展历程中看出,解析几何和射影几何是以不同的风格平行地前进;与此同时,它们也是相互渗透和相互促进的.在射影几何中采用了解析几何的手段和工具,如射影坐标等.但是,我们在本书中更多的是采用几何方法,以体现射影几何本身的内在美.我们也说过,射影几何已是一门独立的几何学科,它有着自己的公理系统.但是,作为一本通俗性读物,我们不打算从公理出发严格地板着面孔地讲述,而宁愿先从射影几何中一个精彩的定理――帕斯卡定理出发.我们在第1章中,先给出这个优美定理的一个初等几何的证明;然后,再给出另外两个证明,后一个证明中体现出射影几何的思想,特别是引出了中心射影的概念和添加无穷远点的自然想法.随后,在第2章中,我们逐节介绍平面射影几何中的主要概念(射影平面、射影坐标、复比、对偶性、配极理论等)和主要定理,尤其是要着重讲述关于圆锥曲线的一些优美性质,以及如何用这些概念和性质解决平面几何中的问题.最后,在第3章中,我们讲述射影几何在整个几何学中的地位,告诉大家什么是射影几何,介绍它的“子几何”――仿射几何,再说明欧氏几何又是仿射几何的“子几何”.

我们用射影几何构做出非欧几何的模型,使大家理解克莱因的几何定义,并且懂得在现实世界中存在着许多不同的几何.

我们希望本书能使读者增强几何直观形象思维的能力和对几何学明快典雅风格的喜爱.另一方面,我们(特别是在书的后一半)也使用了一些代数工具(解线性方程组的行列式理论、坐标方法等),希望读者对于这些中学数学知识能够灵活运用和融会贯通.因为整个数学是一个有机的整体,而许多新思想往往在不同学科的交汇处滋生和发展起来,射影几何充分体现了这一点.

 

 


   

【目  录】

1  从帕斯卡定理谈起  1

1.1  帕斯卡定理和它的初等证明  1

1.2  反演――帕斯卡定理的第二个证明  4

1.3  中心射影――为什么要引入无穷远点?  12

1.4  用射影几何解题――帕斯卡定理的第三个证明  25

2  平面射影几何  35

2.1  “此时无穷胜有穷”――再谈射影平面 36

2.2  复比和它的应用  47

2.3  美的构图――调和点列  58

2.4  射影坐标――代数工具的引入  69

2.5  对偶原理――射影几何的内在美  82

2.6  再谈奇妙的圆锥曲线  91

3  什么是几何学?  102

3.1  仿射几何――射影几何的“子几何”  102

3.2  用仿射几何解题  115

3.3  什么是几何学?  124

3.4  谈谈非欧几何  131

部分练习题提示和答案  142

附录  F1上的射影几何和高斯二项式系数  163

1.介绍  163

2.高斯二项式系数  163

3.射影几何  167

4.进一步研究的方向  174

编辑手记  176

 

 


  【编辑手记】

几何很重要,先引三位大家的论述佐证之:

傅种孙先生在为《高中平面几何》(算学丛刻社,1933)所作的序中指出:

几何之务,不在知其然,而在知其所以然;不在知其所以然,而在何由以知其所以然?读定理,既知其然矣;又从而证之,以见其所以然.

这当然是专指平面几何而论,但本书则更为深入地探讨和介绍了射影几何这一几何分支的基本内容,价值不证自明.

另一位关心中学数学教育的国际数学大师――菲尔兹奖获得者,法国数学家托姆(R.Thom)早在1970年就指出:

目前以代数取代几何的趋势,对教育是有害的,应当把它扭转过来.如果以为无须适当的启发,而只需通过大量的生硬强记代数结构来取代几何的学习,就会更易学到数学,那无论如何是一个可悲的错误.(转引自朱梧《几何基础与数学基础》,辽宁教育出版社,1987

如果说托姆是对法国新数学运动的一种纠偏,那么,另一位菲尔兹奖得主,日本著名数学家小平邦彦也在1981年指出:

从前,我们是在平面几何中学到逻辑的,我认为不用平面几何是很难教逻辑的.假若以代数作为素材教授逻辑,可能变得太单纯了.再就是人的大脑的左半球与右半球的作用不同,据说,左半球用来分析,右半球用来综合,左半球承担的是语言、逻辑、计算等工作,而右半球承担的是音乐、图像识辨、几何等工作.因此,如以平面几何教逻辑则可把大脑的左右半球联系起来同时训练.特别为了证明而添的辅助线是对右半球最好的训练.为了画辅助线,要看图形全体的图像才能综合地作出判断,我想,不学几何那只是使用了左半球……(见《数学译林》,1986年第71页)

几何在中国一直前途堪忧,那么射影几何就更是几乎被遗忘.中学不讲,大学不学.但广大数学爱好者还记着曾有过这样一本优秀的小册子存在.很多读者强烈建议本工作室再版这本优秀读物.

被誉为“技术奇才”的威廉・江恩(Willian Delbert Gann)是股票和期货市场的技术派大师,他曾在25个交易日内赚取了1 000%的收益.他的分析方法就用到了古代数学、几何学甚至星象学,以至于从未有人能清楚地掌握;但他的预测非常准确,成功地预言了1929年大崩盘,自那以后的20年来的预测准确性高达85%.

几何这门学问如果从功利的角度讲是没什么大用的.但是冯克勤先生这部陈年旧作在今天日益功利化的阅读环境中被屡屡提到,说明不管什么样的时代都有爱书人.有人说:藏者,欲也,癖也;癖者,病也.鲁迅也有诗云:“有病不求药,无聊才读书.”乃藏书人之境界也.

其实哪有没一点实用价值的理论呢.笔者刚读到最新一期(2012年第2期)《数学教学》(华东师范大学主办)中就有一篇题为“从仿射变换角度看2011年高考山东理科第22题”的文章.文章的作者在结尾时写到:

作为高中教师,应该深入研究高考试题,了解试题的背景,挖掘试题的本质,居高临下地认识高考试题.这也是提高高三课堂复习效率的重要手段.

可谓无用之用,方为大用.

本书成书较早,为了增强时代感并吸引一些大学生阅读,笔者“擅自”为冯先生的大作加了一个附录,希望不是狗尾续貂.

英国数学家怀尔斯1995年证明了费马大定理后,人们不禁要问为什么中国产生不了怀尔斯,原因很多,但怀尔斯在196310岁的时候就从贝尔的《数学精英》一书中知道了费马猜想,中国的学生10岁时在干什么呢?

本书这样深入浅出的书他们能读到吗?他们的数学老师能读吗?

有人总结说:奢侈品要卖东西,规则是这样的,绝不能有人手握着产品喋喋不休地说这产品质量有多好,那太低级了,这个行业讲究的是创造力和想象力.本书的作者系华罗庚先生的高足,其著作深入浅出当属数学科普书中之奢侈品.不必广告宣传,买就是了!

 

 

 

刘培杰

2012321

于哈工大


   
  联系地址:哈尔滨市南岗区复华四道街10号 邮 编:150006
  联系电话:0451-86281378、13904613167 E-mail:lpj1378@163.com