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书名:《400个最新世界著名数学最值问题》 英文书名:
丛书系列: 数学趣题系列 图书编号:∑36
作者:刘培杰 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-2729-7 开本:787mm×960mm 1/16
版次:2008年9月第1版 2008年9月第1次印刷 印张:36.75  字数:658 千字千字
定价:48.00 元元 页数:

 

【内容简介】

本书收集了400余道国内外数学最值试题,它将抽象的定理、公式、方法隐含于通俗、生动、有趣的题目中,深入浅出。本书叙述严谨,可激发学习兴趣,是提高数学水平、锻炼逻辑思维的理想用书。本书适用于中学生、数学竞赛选手及数学爱好者。�

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【序  

最值问题起源于两个古希腊传说,一是迦太基的建国者狄多女王有一次得到一张水牛皮,父亲许诺给她能用此圈住的土地作为她的嫁妆.于是她命人把它切成一根皮条,沿海岸圈了一个半圆.这是所能圈出的最大面积,这也可能是变分法的起源了.这个传说的另一个版本是这样说的,地中海塞浦路斯岛主狄多女王的丈夫被她的兄弟格玛利翁杀死后,女王逃到了非洲海岸,并从当地的一位酋长手中购买了一块土地,在那里建立了迦太基城.这块土地是这样划定的.一个人在一天内犁出的沟能圈起多大的面积,这个城就可以建多大.这姐弟俩各自的爱情故事曲折动人,曾被罗马诗人维吉尔和奥维德先后写进了他们的诗歌中.

21世纪被人们看成是生物学的世纪,人类对自然和生命的关注,通常体现在两个方面:构成世间万物的本质是什么以及如何去认识和探寻这种本质.如果采用这样的假设,生命的本质最终是体现在数学规律的构成上,那么没有数学显然我们就不能真正和彻底地揭示出生命的本质.我们来看两个生物学的最值问题.

第一个问题在18世纪初被提出,法国学者马拉尔蒂(Maraldi)曾经测量过蜂房的尺寸,得到一个有趣的发现,那就是六角形窝洞的六个角都有一致的规律:钝角等于109°28′,锐角等于70°32.

难道这是偶然现象吗?法国物理学家列奥缪拉(Réaumur)由此得到一个启示:蜂房的形状是不是为了使材料最节省而容积最大呢?(数学的提法应当是:同样大的容积,建筑用材最省;或同样多的建筑材料,造成最大容积的容器)列奥缪拉去请教当时巴黎科学院院士瑞士数学家克尼格.他计算的结果使人们非常震惊,因为根据他的理论计算,要消耗最少的材料,制成最大的菱形容器,其角度应该是109°26′和70°34′,这与蜂窝的角度仅差2.

后来,苏格兰数学家马克劳林(C.Maclaurin)又重新计算了一次,得出的结果竟和蜂房的角度完全一样.后来发现,原来是克尼格计算时所用的对数表印错了.

小小蜜蜂在人类有史以前已经解决的问题,竟要18世纪的数学家用高等数学才能解决.

诚如进化论创始人达尔文(Darwin)所说:“巢房的精巧构造十分符合需要,如果一个人看到巢房而不倍加赞扬,那他一定是个糊涂虫.(华罗庚.谈谈与蜂房结构有关的数学问题[M.北京:北京出版社,1979.)

另一个近代的例子是关于分子生物学的.DNA和蛋白质是两类最重要的生物大分子,它们通常都是由众多的基本元件(核苷酸及氨基酸)相互联结而成的长链分子.但是,它们的空间形状并非是一条平直的线条,而是一个规则的“螺旋管”.尽管在20世纪中叶人们就发现了DNA双螺旋和蛋白质α螺旋结构,但迄今为止,人们还是难以解释,为什么大自然要选择“螺旋形”作为这些生物大分子的结构基础.

不久前,美国和意大利的一组科学家,利用离散几何的方法研究了致密线条的“最大包装”(Optimal Pucking)问题.得到的答案是:在一个体积一定的容器里,能够容纳的最大线条的形状是螺旋形.研究者们意识到,“天然形成的蛋白质正是这样的几何形状”.显然,我们由此能够窥见生命选择了螺旋形作为其空间结构基础的数学原因:在最小空间内容纳最长的分子.凡是熟悉分子生物学和细胞生物学的人都知道,生物大分子的包装是生命的一个必然过程.作为遗传物质载体的DNA,其线性长度远远大于容纳它的细胞核的直径.例如构成一条人染色体的DNA的长度是其细胞核的数千倍.因此通常都要对DNA链进行多次的折叠和包扎,使长约5厘米的DNA双螺旋链变成约5微米的致密的染色体.由此我们可以认为,生命是遵循“最大包装”的数学原理来构造自己的生物大分子.(吴家睿.抽象的价值――数学与当代生命科学//丘成桐,刘克峰,季理真.数学与生活[M.杭州:浙江大学出版社,2007.)

上个世纪是物理学的世纪,许多最值问题的提出有明显的物理学背景.有一个经典的问题――极小曲面理论,它来源于肥皂液薄膜所呈现的曲面.人们对它的研究已有很长的历史了.

把一个铁丝线圈先浸入肥皂液然后拿出来,它上面会张着肥皂液的一张薄膜,该薄膜的特性是在所有以该线圈作为边界的曲面中面积最小.找这种极小曲面容易表述为变分学中的一个问题,从而被转化为某种偏微分方程(极小曲面方程)的研究.虽然这种方程的解并不难以描述,至少在小范围内是如此,但这些解的整体行为却是非常微妙的,而且许多问题仍然尚未解决.

这些问题具有鲜明的物理意义.例如,任何物理的肥皂液薄膜不自交(即它是一个嵌入曲面),但这一性质却难以从极小曲面方程的标准表示作出论断.实际上在20多年前,仅有两个已知的嵌入极小曲面,这就是通常的平面和称为悬链面的旋转面,它们在无边的意义下是完备的.人们曾猜测这也是三维空间中仅有的完备嵌入极小曲面.

1983年,人们发现了一个新的极小曲面,它的拓扑与刺了三个洞的环面的拓扑相同.根据椭圆函数理论,有迹象表明这个曲面似乎是可以作为上述猜测的反例的一个极好的候选者.然而,其定义方程的复杂性直接造成嵌入问题的困难.

极端是数学的常态,所以最值问题才是数学中最有魅力的一部分.有人说:数学能告诉我们,多样的背后存在统一,极端才是和谐的源泉和基础.从某种意义上说,数学的精神就是追求极端,它永远选择最简单的、最美的,当然也是最好的.(李泳语.数学圈3M.长沙:湖南科学技术出版社,2007P2.)

有趣的是,数学家的日常语言也是最值化的,以至于受到误解.1917年,哈代(G.H.Hardy)的合作者李特伍德(J.E.Littlewood)为英国弹道学办公室写了个备忘录,结束语为:“这个σ应该尽可能小.”但在草稿复印时,这句话却在纸面上找不到了.有人读备忘录时问:“那是什么?”仔细看才发现在备忘录最后的空白处有一个小斑点,大概就是那个“尽可能小的”σ了.当时还是铅排时代,排字工想必是跑遍了伦敦才找到这个符号吧.有人甚至“不怀好意”地想,如果李特伍德当时写的是“这里的大X很小”,排字工人又当如何呢?

过去在批判某人或控诉旧社会时人们爱用的一个词就是“无所不用其极”,其实这就是数学和数学家的本质.1971年,哥伦比亚大学杜卡(Jacques Dutka)用电子计算机经过47.5小时的计算,将 至少展开到了小数点后1 000 082位,密密麻麻地打印了200页,每页有5 000个数字,成为迄今为止最长的一个无理数方根.这极端做法并不是单单为了显示计算机的威力,而是要验证的一个特殊性质――正态性.如果在一个实数的十进制表示中,10个数字以相同频率出现,就说它是简单正态的;如果所有相同长度的数字段以相同频率出现,就说它是正态的.人们猜测π,e, 都是正态数,但是还没有被证明.

在数学历史上许多最值问题的提出和解决极大地推动了数学的发展和新的数学分支的产生.

1696年在莱布尼茨(G.W.Leibniz)创办的数学杂志《Acta Eruditorum》上,约翰・伯努利(Johann Bernoulli)向他的同行们提出了最速降线的问题.这个问题是说:“在一个竖直的平面上给定两点AB,试找出一条路径AMB,使动点M在重力的作用下从点A滑到点B所需时间最短.”并且还卖了一个关子:“这条曲线是一条大家熟悉的几何曲线,如果到年底还没人能找出答案,那么到时候我再来公布答案.”�

到了1696年底,可能是由于杂志寄送延误,除了这份杂志的编辑莱布尼茨提交的一份解答以外,没有收到任何其他人寄来的答案.而莱布尼茨则是在他看到这个问题的当天就完成了证明.所以莱布尼茨劝约翰・伯努利将挑战的期限再放宽半年,并且将征解对象扩大到“分布在世界各地的所有最杰出的数学家”.莱布尼茨似乎猜到了都有哪些人能解出这个问题,其中包括约翰的哥哥雅各布・伯努利(Jacob Bernoulli)、牛顿(Newton)、德・洛必达侯爵和惠更斯(C.Huygens),如果惠更斯还活着的话(但他已于1695年去世).莱布尼茨的预言完全实现了,而且牛顿也和他一样在收到问题的当天就做出了正确的解答.

在所有这些解答中以约翰・伯努利的最为巧妙,而以雅各布・伯努利的最为深刻,而且由此产生了数学的一个新的分支――变分学.正是在变分学的基础之上才有了今天在实际应用中极其重要的控制论,雅各布・伯努利曾说过:一些看上去没有什么意义的问题,往往会对数学的发展起到一种无法预期的推动作用.

对于这种求最值问题高手和普通爱好者的认识程度也有很大的不同,比如我们考虑一个简单的几何填充问题:在边长为S的大方块里能放入多少个单位方块而不重叠?当然,如果S等于某个整数n,那就不难看出正确的答数是n2,但若S不是整数,例如,,怎么办?一般人的意见是把n2个单位方块填入一个n×n的次正方形中,放弃未覆盖的面积(将近S/5个平方单位)作为无法避免的损失.但这真是所能做到的最好方式吗?十分惊人,答案是不.20世纪80年代由匈牙利籍天才数学家P.厄尔多斯、密执安大学的H.蒙哥马利和组合学家R.I.格雷汉姆同时证明了:当S很大时,填充任何S×S的正方形使至多剩下个平方单位的未覆盖面积.这种方法实际上是存在的.这比当n很大时用显而易见的填充法剩下S/5个平方单位的未覆盖面积小多了.S0.634这个数也许还不是对大值S可能达到的最优终极界限:似乎很难决定不可避免的未覆盖面积增长的精确数量级是什么样子,尽管看起来像是可能的候选者.透过这个结论,大师与普通爱好者高下立分,所以要向大师学习,而不是他的学生.

本书所选题目均可完全用自然语言叙述,而不借助于数学符号,但考虑到篇幅问题,所以还是采用了数学符号来叙述,希望不会给读者造成阅读障碍.歌德在《格言与感想》(Maximen and Relexionen)中说:“数学家像法国人,不论你对他们说什么,他们都翻译成自己的语言,立刻就成了完全不同的东西.”�

本书的题目多从数学著作中选出,解法多出自名家之手,首先向这些问题的原作者致以谢意,特别是附录的几位作者,另外也向文字编辑表示感谢.她在编辑加工过程中消灭了许多显见的和隐蔽的错误,使之臻于完美.数学史家斯特洛伊克讲过一个据说是道格拉斯(Jesse Douglas)津津乐道的一个故事.有一次,他在哥廷根听兰道(Landau)讲傅里叶级数.兰道在解释所谓吉布斯(Gibbs)现象时说:“这个现象是来自英国的数学家Gibbs(他读成Dzjibs)Yale(他读成Jail)发现的.”道格拉斯说,出于对兰道的尊重,他才没有当面指出.“教授先生,您说的绝对正确,不过有一点小小问题,Erstens,他不是英国人,而是美国人.Zweitens,他不是数学家,而是物理学家.Drittens,他的名字是Gibbs,而不是Dzjibs.Viertcns,他不在监狱,而在耶鲁,而且,发现那个现象的不是他.”�

最后向读者表示一点歉意,书有点太长了,是否像毛主席曾批评的那样――“懒婆娘的裹脚,又臭又长”.自有读者评说.不过有些事是难免的,就像我们平时所用的英语词汇,所含字母大多不超过10.但科学里的词汇有很多是很长并有很多音节的,例如Mrs Byrne's Dictionary里有一个酶的名称,竟出人意料地长达1 913个字母,与之相比本书还差得远.

 

刘培杰

20089

 

 


  

  

墙角的屏风  /1

安装电线  /2

好组三角形  /3

动物乐园  /6

巧分圆盘  /7

磁盘字节  /9

圆锥容器  /10

轨道内彗星  /11

弓形弦长  /13

对面不相识  /13

灯柱高度  /14

月牙形面积  /15

函数最值  /15

三圆相套  /16

探测路线  /19

长途汽车站  /20

爆竹升空  /20

最长边的最小  /21

面积最大  /23

距离之和  /24

相互接触  /25

平面定点  /29

滑行距离  /30

最小长度  /31

图象最高点  /32

正射影最小  /33

梯形水槽  /33

三角形位置  /34

最大亮度  /36

截取线段  /38

重叠正方形  /38

分布两侧  /39

利润最大  /41

怎样进点  /42

乘积最大值  /43

中心转动  /44

内接四边形  /46

最短路线  /48

垂直悬杆  /49

四边形周长  /51

偏差平方  /52

一点到四边  /52

面积最大值  /54

面积一定  /55

菱形对角线  /55

内切圆圆心  /55

最大效益  /56

定角定半径  /57

最小好数  /58

最大值点  /60

一个不等式组  /61

钝角三角形  /62

蜂巢形状  /62

内切圆半径  /65

最近距离  /65

等腰三角形  /66

差的最值  /66

一一搭配  /68

面积平方和  /69

直角内求点  /70

广告支出  /71

两条平行线  /72

见风转舵  /73

内接半圆  /75

窖藏老酒  /77

外切于圆  /78

积之最值  /79

凸五边形  /79

乘积极小值  /80

两个同心圆  /82

边际成本  /82

乘积之和  /83

定圆直径  /84

费马问题  /85

梯形面积  /87

停止生产  /88

定点与动点  /89

三次方程  /90

甲乙博弈  /92

最小腰长  /92

正确策略  /93

最佳时间  /94

最大体积  /95

好子集元素  /96

全部变号  /98

高的基点  /98

相邻元素  /99

要素投入  /100

表中选数  /100

闭区间最值  /101

机器人爬楼梯  /102

小鸟啄食  /103

最优广告投入  /105

互相可见  /106

周长最值  /107

最少操作  /108

欧拉数问题  /109

数学游戏  /109

最大产量  /110

通过走廊  /110

斯坦纳的球问题  /111

剪口长度  /115

几何体内接  /116

带子宽度  /117

两两乘积  /117

最小边长  /119

公共部分  /119

最大直径  /120

最佳射门点  /123

互不重叠  /124

椭圆问题  /126

号码之差  /128

内接圆锥体  /129

排列个数  /130

二次问题  /132

分装药片  /133

底与高之和  /136

太空城市  /136

投射角问题  /138

标定方格  /138

圆的问题  /140

最大元数  /142

最小项数  /143

整数数对  /143

变换次数  /144

正四面体  /145

数列项数  /146

最短折痕  /147

负中有正  /148

晨昏蒙影  /149

托尔斯泰全集  /151

百科全书  /152

域内最值  /152

区分覆盖  /153

截面面积  /155

城堡按钮  /156

版面安排  /157

保险柜锁  /157

等腰三角形  /158

海战游戏  /159

锥内套柱  /160

最少跳步  /162

分段函数  /163

垒成一摞  /164

最大球半径  /164

国际象棋  /165

最小润周  /166

转弯次数  /167

内接正方形  /168

最少操作  /169

内接三角形  /169

重建次数  /171

分式函数  /172

巧提问题  /172

立方体表面积  /173

切正方形  /174

筷子问题  /174

拼正方形  /175

巧围三角形  /176

甲虫听哨  /177

焦点直线  /178

平面分割  /179

正四棱锥  /179

直角顶点  /180

大街小巷  /181

球面置点  /182

昔日高考题  /183

封闭折线  /184

动点移动  /185

集中点数  /186

空间五点  /186

梯子长度  /187

线段中点  /188

选多少个点  /188

椭圆动弦  /189

至少一点  /190

正三棱锥  /190

盖住结点  /191

内接矩形  /192

最少点数  /193

两个动点  /193

彩色穗带  /194

投影面积  /195

平面点集  /196

外圆内方  /196

子集个数  /197

抛物线问题  /198

交集非空  /199

六棱长度  /200

不可分辨  /201

折射定律  /202

棋子放置  /203

控制小格  /204

最长对角线  /204

转运站问题  /205

多少条边  /206

斜边最短  /207

最远顶点  /208

长短轴和  /208

几条对称轴  /209

无穷条最短  /210

7点连线  /211

学校选址  /212

规则直线  /213

最短距离  /213

n条线段  /215

条件最值  /216

简单折线图  /217

平面三点  /217

要有红点  /218

耕牛饮水  /219

剩余棋子  /220

怎样矩形  /221

剖分图形  /222

单位圆内  /224

对称红点  /224

炮弹装药  /226

非中心点  /227

最大扇形  /228

线段条数  /229

在何位置  /230

凸四边形  /231

两车间距  /232

总数最大  /233

上底与下底  /234

三角形之交  /235

最大可能  /236

含给定点  /237

航行速度  /237

切厚纸板  /238

六面体骨架  /238

参观城堡  /239

固定底边  /240

蓝白正方形  /241

直线相交  /241

体积最大  /242

多少锐角  /243

划分正方体  /245

旋转体体积  /246

部分区域  /247

K位置  /248

勾掉正方体  /249

筷子问题  /250

子凸多边形  /251

内接矩形  /252

恰当放置  /253

分针与时针  /254

正方形黑板  /255

平行线选点  /256

完全分割  /256

项数最大  /258

球面分割  /258

击落飞机  /259

黑白相等  /260

化验方案  /261

吃格游戏  /263

巧引浪风绳  /264

剪出矩阵  /266

无偏估计  /267

一族集合  /267

高灯下亮  /268

公共元素  /270

销售策略  /271

选出三点组  /272

巧裁板材  /273

非空子集  /274

差异产品  /275

三元数组  /275

有无捷径  /276

有限数列  /277

鱼苗投放  /278

元素距离  /279

坐在哪里  /281

最多元素  /282

最佳位置  /283

子集元素  /285

光线的反射  /286

有限点集  /288

变压器铁芯  /288

纸片涂色  /289

大炮放在哪  /290

不同的圆  /292

最短法线弦  /292

完全盖住  /293

截口选在哪  /294

互不相交  /295

完全盖住  /296

树干木材  /297

涵洞截面  /298

三层楼高  /299

抛物线弓形  /300

吊装要求  /302

货物分装  /303

过河问题  /304

列车信号  /306

漏斗下料  /307

沙漠机器人  /309

最大截面  /310

追击问题  /311

利用旧墙  /313

最速下降  /315

一目了然  /317

圆上一点  /317

最值三角形  /318

锐角三角形  /324

平行移动  /325

三边垂线  /329

书刊版面  /329

中点重合  /331

移动重物  /332

环形公路  /334

内接多边形  /335

运油率最大  /337

最大视角  /338

半径之比  /343

锅炉余热  /344

正多边形  /345

确定点位  /345

剪去一块  /346

借用旧墙  /347

乘积最小  /348

细棒中点  /350

平方和最大  /352

公路定位  /353

造价最低  /354

面积之比  /356

圆内三角形  /357

两人游戏  /360

有盖圆桶  /360

比为定值  /362

弓形面积  /362

怎样分布  /363

锥形漏斗  /365

圆周选点  /366

偏心驱动  /367

圆上动点  /367

最大强度  /368

劣弧一点  /369

在哪上岸  /370

商之最大  /372

最大价值  /373

面积不同  /376

牛头刨床  /378

纸片重叠  /379

阳光热水器  /380

两个相似形  /382

最小拉力  /383

单位三角形  /383

高压线最短  /385

截去一角  /387

洗衣淘米  /389

大小并存  /390

火车发电厂  /391

凸四边形  /393

开凿运河  /394

对角线最小  /395

联合碾米厂  /396

剪出方形  /397

三个海岛  /399

内接矩形  /401

最危险处  /402

一分两半  /403

内接多边形  /403

透明立方体  /406

运费低廉  /406

一只蜗牛  /408

野生动物乐园  /408

猴子脱笼  /410

供应粮食  /411

松鼠跳格  /413

两条线段乘积  /414

最远爬行  /415

桥架向处  /415

砍去多去  /417

最小润周  /417

几个小匣子  /418

内积最值  /420

车牌号码  /421

钥匙开锁  /421

放电功率  /422

汽车站点  /422

质点距离  /424

最省汽油  /424

反应速度  /426

途中加油  /427

蚂蚁轨迹  /428

杀死恶狼  /430

耗油最低  /430

狼捉兔子  /431

建抽水站  /432

狗不让狼  /433

转动惯量  /433

苍蝇和蜘蛛  /434

容积最大  /434

电话接通  /435

旋转体积  /436

方格编号  /438

柱形水槽  /438

油漆工人  /439

伐木工砍树  /440

地毯宽度  /441

洒满阳光  /442

打印卡片  /443

子弹弹道  /444

沿途车站  /445

附录  /446

附录(1)  Chester McMaster赛场选址问题  /446

附录(2)  在闭凸集上求 型最优场址  /461

附录(3)  (直线)约束的两点间最短连线  /468

附录(4)  “追逐问题”研究  /477

附录(5)  公共绿地喷浇的节水模型  /487

附录(6)  最小作用量原理  /493

附录(7)  算术与旧式鞋带  /517

附录(8)  交通运输、社会物理学与折射定律  /521

附录(9)  等周问题  /528

附录(10)  控制电路与数学竞赛问题  /533

附录(11)  一条多功能曲线  /538

附录(12)  一个从生产中提出来的求极值问题  /554

后记  /559

 

 

 


  

【后  

《美国数学月刊》(The American Mathematical Monthly)前主编哈尔莫斯(Paul Richard Hamos,1916 )曾说过一句掷地有声的名言:“问题是数学的心脏”,将问题之于数学的重要性提到了无以复加的地位.而备受国人推崇的美国数学教育家波利亚(George Plya18871985)也曾说过:“教师要保持良好的解题胃口.”中国是一个考试大国,也是一个考试古国,中国人崇拜考试,将其视为改变命运的唯一途径,中国的科举制度一度让西方羡慕不已,要考试就要有题目,而数学又是从西方的舶来品,所以西方国家的经典名题值得借鉴.这就是本书书名中“世界著名”几个字的来历.

有人说中国经济至少落后美国50年,数学大体也是如此.下面我们回顾一下50年前美国数学科普界发生了哪些事件.

1956年,美国数学界出了两件大事:一件是由纽曼(Newman)主编的四大卷《数学世界》(The World of Mathematics)出版,并迅速成为英美的畅销书,要知道世界著名数理逻辑与人工智能专家道格拉斯・R・霍夫斯塔特(Douglas R. Hofstadter)高中毕业时收到的毕业礼物就是这套,影响可见一斑.(2006年笔者在新西兰的一个专营旧书的店内以100纽币购得了一套.该书布面精装,深绿色封面相当典雅).第二件事是有着110年历史的著名科普杂志《科学美国人》(Scientific American)的主编皮尔(Gerard Piel)看到了数学科普的商机,决定创办《数学游戏》专栏.这两件事改变了马丁・伽德纳(Martin Gardner)的一生,使他从一名哲学研究生成长为当代最著名的数学科普作家,因为皮尔邀请他主持这个专栏.

50年后,哈尔滨数学界也发生了两件小事:一是哈尔滨工业大学出版社刘培杰数学工作室正式挂牌成立,立志打造数学科普高端产品,也为广大中学师生提供高营养的数学食粮;二是本工作室推出的首部数学科普著作《500个最新世界著名数学智力趣题》刚一推出便得到市场认可,多次重印并获得“2007年畅销书奖”.从经济学角度讲“有需求就有供给”,既然读者喜欢看没理由不推出新品种;从传播学角度讲“好吃不撂筷”是金科玉律.一部电视剧火了之后,续集不断,狗尾续貂(诸如《兰博》、《越狱》等),直至观众大倒胃口方才作罢.所以再推出一本几百题便被提到日程上,那么选择哪个角度呢?为此我们大量阅读了目前市场上的畅销书籍,并广泛听取了热心读者的意见,但真正下决心是受了以下两个资料的启发:�

第一本是上海科学教育社推出的数学怪杰爱尔特希的传记《数字情种》.

在《数字情种》中有这样一个真实案例.国际知名大公司AT&T为有多个地址的公司顾客建立私人电话网络.AT&T的收费规定很严格,而且政府也规定私人治网的收费不应以所占公司的实际网线为依据,而应取决于连通不同地址所需线路的最小(理论)长度.其中一个顾客是德尔塔航空公司,它有三个等间距主要地址,假设都为1 000英里(1 600千米),即这三个地址构成一个等边三角形的三个顶点,AT&T收德尔塔公司2 000英里(3 200千米)的线路费.

但德尔塔公司对这项收费提出质疑,他们利用1640年提出,后又于19世纪被瑞士数学家雅各布・斯坦纳(Jacob Steiner)发现的理论:如果他们在由这三个地址构成的等边三角形的正中心处设立第四个办公室,那么连线的总长度将降至1 730英里(2 780千米),即降低了13.4%.这引起了AT&T管理层的恐慌,由此产生的两个问题需要他们考虑:①如果德尔塔公司再设第5个办公室又会如何?所需的连线还会进一步缩短吗?②如果所有私人网络用户都开始虚设办公室,那么公司要少收许多钱.格雷厄姆被委托处理此事.1968年其贝尔实验室的两位同事提出.不管网络有多大,添加站点节省的连线长度都不会超过13.4%,格雷厄姆为此悬赏500美金,直到1990年此奖金被普林斯顿大学博士后堵丁柱获得(此人也是我们东北人呀).

这段文字给我们的启示是“大哉数学之为用”,就其应用的广泛性和普遍性而言,最值问题是最佳的而且是最可能产生经济效益的.

曾获1974年图灵奖和1979年美国国家科学奖章的美国数学家克努特(Knuth Donald Errin1938 ),此人被国人广为知晓是因为他著的那套大书三卷本的《计算机程序艺术》(The Art of Computer ProgrammingVols.1,2,1968;Vol 3,1973).他在《美国数学月刊》(Amer Math Monthly)(Vol.92,1985,No.3)上以“算法思维和数学思维”(Algorithmic Thinking and Mathematical Thinking)为题研究了“什么是好的数学”,得到的答案是:“好的数学是好的数学家做的东西.”他的研究方法是从他自己的书架上取出9本书,大多数是其在学生时代的教科书,也有几本是为其他各种目的撰写的.他仔细研究了每本书的第100(“随机”选定的页),并研究该页上的第一个结论.他认为这样做可以得到好的数学家做的事的一个样本,并可以尝试理解其中蕴含的思维类型.

他抽出的第一本书是他读大学时的一本《微积分教程》,作者是George Thomas.在第100页上,作者所讨论的就是一个最值问题:当你必须以速度s1(0a)(x,0),并以另一个速度s2(x,0)(d,-b)时,问x取什么值能使从(0,a)(x,0)(d,-b)�的时间最短?Thomas认为这其实就是光学的“Snell定律”.真妙,光线知道如何使它们的行程最短.

由此我们可以从概率的角度看出最值问题在数学中是最广泛存在的.因为随机抽取的第一本书翻到随机页数的第一个问题就是最值问题,法国经济学家、哲学家边泌曾提出的一个为了大多数人的最大幸福而努力的准则.仿此,我们是不是也应该按此方式选择选题方向呢!

1954年,菲尔兹奖得主日本数学家小平邦彦(Konihiko Kodaira)在一篇名为《数学的印象》的文章中谈到定理与应用时指出:在大学低年级的数学中,定理之为定理,乃是由于可应用于许多实例.

最值问题的特点是解题所依据的定理和方法较少,但题目种类繁多,花样翻新.所以选择400个这样的问题不仅可供数学爱好者把玩欣赏,还可以供学子们借此复习课本中所学到的方法,并为那些枯燥的定理提供一点鲜活的例子;顺便还可以为不得不参加的那些各级各类升学考试增加一点分数.在功利化如此盛行的社会中,一本没有任何功利目的的图书注定没有市场,若能一举数得,自然会皆大欢喜.说不定还会催生出一位类似印度数学家拉马努然式的数学天才,因为190315岁的拉马努然得到了一本乔治・卡尔(George Garr)编的《纯粹与应用数学中的基础结果概要》(A Synopsis of Elementary Results in Pureand Applied Mathematics).这本书因拉马努然而知名,它的作者没什么名气,但是书的结构却很有意思,其中列举了大约4 400个经典问题的结果,但仅仅是结果,而没有任何证明.拉马努然花费数年时间通读了这本书,并将其中的结果一一验证,终成大器.

400个最新世界著名数学最值问题》是刘培杰数学工作室数学经典名题系列的第二本,以后还会陆续推出更多.荷兰天文学家范得胡斯将(Vande Hulst Hendrik Christ Offell)发现:平均说来,一个氢原子每1 100万年左右只能发出一次射电波,能量相当微弱,但是这样的原子在空间很多,以致可以产生21厘米辐射的连绵细雨.正是利用这样的辐射,可以详细描绘银河系的旋臂,这在射电天文望远镜产生之前很难做到.这给了我们一个启示,不怕光亮小,只要数量多照样可以有所作为.现在工作室如雨后春笋,数学普及类书籍也是以指数形式增长,面对如此形势,我们既没有顾影自怜,也没有拿微不足道的成绩来骗自己,而是坚定地、不改初衷地坚持出版高端数学科普及奥数专业书籍,因为我们相信一定会得到读者的认可.

据历史学家何兆武先生回忆:著名哲学家王浩(也是著名数学家)曾谈到哲学家需要具备三个条件:一是Intellectual Skepticism(智识上的怀疑主义),否则无以成其深;二是Spiritual affirmation(精神上的肯定),否则无以成其高;三是要有一句格言,所谓格言就是信条,各人不同,但足以反映自己的特色与风格.例如,Socrates(苏格拉底)的格言是“Knowledge is Virtue(知识即美德),而F.Bacon(培根)则是“Knowledge is power(知识就是力量)(何兆武口述,文靖撰写.上学记[M.北京:生活・读书・新知.三联书店,2007P222223.).作为数学工作室,我们也应该有自己的格言,仿照中世纪的哥廷根镇议会大厅的墙上的刻字“哥廷根之外没有生活”,我们的格言是“Mathematical is life.��

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刘培杰

20089

 

 

 

 

   
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