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书名:《500个最新世界著名数学智力趣题》 英文书名:
丛书系列: 数学趣题系列 图书编号:∑3
作者:刘培杰 马国选 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-2238-4 开本:787mm×1092mm 1/16
版次:2006年1月第1版 2006年1月第1次印刷 印张:38.75  字数:693 千字千字
定价:48.00 元元 页数:

   

内容简介

本书收集了500余道国内外数学智力趣题。它将抽象的定理、公式、方法隐含于通俗、生动、有趣的题目中,深入浅出。本书叙述严谨清晰易懂,可激发学习兴趣,是提高数学水平、锻炼逻辑思维能力的理想用书。本书适合于中学生,尤其是数学竞赛选手,及数学爱好者。

 


  

 

序  言

古时科举制所作的八股文章,讲究先“破题”.我们不妨借用一下这种程式,先解释一下书名.数学趣题古时就有,从中国古代的“鸡兔同笼”、“五家共井”到西方的“百牛问题”等等,甚至在俄国著名画家别尔斯基的油画《心算》中也出现过这样的趣题.这些古老的趣题启蒙了无数稚童学子,其中更不乏一代又一代的算学宗师,然而时过境迁,今天回头再看这些问题,人们不再感到数学上的困难,只剩下一点对古人那种或青灯黄卷或红袖添香的读书生活的想往.21世纪需要21世纪的数学,21世纪自然会有21世纪的数学趣题,这便是书名中所谓的最新的含意.

任何一句话都是说给某个或某些人听的,任何一本书都是写给某些特定的读者看的.

本书首先想献给那些想欣赏数学的普通人.

这不是一本出题让你做的书,而是展示数学奇迹的小橱窗.

数学,由于它的语言、记法以及看上去显得奇特的符号,就像一堵高墙,和周围世界隔开了.那座墙的背后在干什么,就其大部分来说,外行人是感到神秘的,充满的是一些枯燥乏味的数字,是受铁的法则制约的毫无生气的机械结构.

推倒这座墙,用一般人也能欣赏的方式来介绍数学,使数学的欣赏扩大到那些“数学天才”的小圈子以外,正是本书所要达到的目的之一.本书的题目全部取材于日常生活,看得见、摸得着,而且不含数学符号.有一位著名的数学家对一道好的问题所提的标准是“可以将它讲给你的外祖母听”,本书力图做到这一点.它向人们证明了一点:数学既不必是严峻的,也未必是遥远的.它既和几乎所有人类活动有关,又对每个真心感兴趣的人有益.正如数学家L.Kelvin所说:“别把数学想像得那么困难和艰涩,并认为它排斥常识,数学仅仅是常识的一种微妙形式.

西班牙数学家米盖尔・古斯曼(Miguel de Guzman)在他的趣味数学著作《数学探奇》(AVENTURES MATH**MATIQVES)首次在中国出版时的序言中写道:“当一个人怀着爱心和热情去从事数学活动时,他就能体会到其中所蕴含的深刻的美感.但愿有更多的人,不论是年青的还是年长的,都能领略到这种美感.

目前,许多数学家已经认识到,社会公众欣赏数学的迫切性及困难性.在美国一所大学举行的鸡尾酒会上,参加者谈到关于科学家们是否比那些普通职业者有更多的怪异和压抑的问题,一位开诊所的心理学家参加了讨论并断言说,心理学家对此已有过详细的研究,回答是否定的,即没有一种职业似乎会比其他职业有更多的怪异和压抑.但他又说,有两个例外,那就是数学家和双簧管演奏者.因为他们两者有一个共同之处是,都在做十分困难而且没有几个人欣赏的事.为改变这种状况,美国数学会甚至雇用了一个公共关系公司来改进公众对数学的看法.一个显著的效果是美国国会规定每年有一周是“了解数学周”,并且加大了对数学教育的投入.根据数学联合政策委员会(Joint Polity for Mathematics)、政府与公共事务办公室(Office of Governmental and Public Affairs)主任Kenneth Hoffman的报告我们知道:美国每年的数学经费是235亿美元,其中5亿用于研究,30亿用于院校教育,200亿用于中小学数学教育.仅看一例,当前美国最大的数学教学改革项目之一,1983年成立的“芝加哥大学数学设计(UCSMP)”到1992年为止光接受美国最大的石油公司之一的阿摩柯(AMOCO)的赞助就达820万美元,并且同时还得到美国卡内基基金会、国家科学基金会、通用电器公司的资助,已具有相当大的规模.虽然在我国目前还做不到这一点,但中国国家自然科学基金委员会也设立了数学天元基金,旨在向公众普及数学.本书虽不在资助之列,但总算尽了绵薄之力.

本书还献给千千万万业余数学爱好者,为他们聪慧的大脑提供牛刀小试的机会.

因为趣味数学问题常常会指引一些业余爱好者,登堂入室闯进智慧的迷宫.正如美国莫拉维安学院教授多丽丝・沙特斯奈德(Doirus Schattschneider)所说,他们(业余爱好者)勇敢地接受一些题目的挑战.并由于发现了足以与其智力相称的、独特的解题方法而自得其乐,令人惊讶的是,他们虽然缺乏正规的数学教育,但这往往是其长处而非短处,在解决问题中所表现出来的巧妙解法有时竟会凌驾于专业人员之上.美国第十届总统伽菲尔德就曾因发现勾股定理的一个出色证明而流芳百世.(详情可见李啸虎、田廷彦等编著的《力量――改变人类文明的50大科学定理》,上海文化出版社,2005年,P15) 

再例如本书中有大量的铺砌问题,而对这一课题处于世界领先地位的不是学富五车的大学教授,也不是熟读经典的饱学之士,而是美国加利福尼亚的一位家庭妇女玛乔莉・赖斯(Marjorie Rice)和澳大利亚新南威尔士州的几位中学生.玛乔莉是一位典型的家庭妇女,5个孩子的母亲.她的大部分工作都是在厨房里的锅台上做出的.她之所以做出这样的工作是与读书分不开的.她向人介绍说:“我喜欢各种各样的谜题.十字谜、拼板游戏、数学谜题与游戏,多年来买进了大批数学趣题书籍.”而本书则恰恰是大量的这样的趣题的汇集.其实,许多大数学家对趣味数学问题也非常感兴趣.瑞士数学家欧拉就是通过对bridge-crossing之谜的分析打下了拓扑学的基础;德国大数学家莱布尼兹也曾描写过他在独自玩插棍游戏(一种在小方格中插小木条的数学游戏)时分析问题的乐趣;世界数学领袖德国的希尔伯特在创造大理论之余也证明了许多切割几何图形中的趣味定理;冯・诺伊曼则从赌博问题的研究中奠基了博奕论.20年最受美国大众欢迎的计算机游戏――生命就是英国著名数学家康威发明的.物理大师爱因斯坦生前也收藏了整整一书架关于数学游戏和数学谜题的书.

将较困难的数学题以趣题的形式提出,说不定还会创造出新方法与新结果.因为在游戏时人总是放松的,做趣题总不像证明定理那样有压力.

美国Los Angeles的水晶宫大教堂的一位名叫Schuler的路德派牧师,在其布道时曾以一位数学家为例,说的是线性规划之父丹齐克(G. B.Dantzig),在一次听著名数学家冯・诺伊曼(V. Neyman)的课时迟到了几个小时,于是他就将黑板上的两个问题抄了下来,当成课外作业去做了.几天后,他解决了这两个问题,万万没想到这竟是统计学中两个著名的未解决问题,Schuler说如果丹齐克当初知道这些可能会丧失勇气,从而决不会解决它们.

本书同样献给每一位想学数学又怕学数学的学生.

1988727日至84日在布达佩斯举行的国际数学教育大会上,美国明尼苏达圣奥拉夫学院数学教授、国际知名数学教育专家Lynn ArthurSteen教授发表了“面向新世纪的数学”(Mathematics for a New Century) 的综合报告.他在报告中坚定地指出:数学是一门被赋予了现代权威的古老学科,数学给了人们在生活中的支配能力.它为科学中那些有效的理论打下了坚实的基础,同时数学还向社会允诺,帮助它获得充满活力的经济.在所有的文明中,一代又一代的儿童学习数学以获得更加美好的生活.

“大众数学”(Mathematics for All)是当今世界上数学教育中最响亮的口号.荷兰数学家弗赖登塔尔教授指出:“我是主张数学是属于所有人的人,因此我们必须将数学教给所有的人.

但在学校教育中,数学几乎成了最令人头疼的一门功课,甚至由于数学课程对学生的压力,反而妨碍了学生的全面发展,在一定程度上,数学甚至阻碍了教育的发展.

有一个故事很能说明数学对于一般公众难学到什么程度.说从前有一位数学教授和他以前的学生都犯了死罪,按照惯例,死囚在被处死前可以有一次机会提出一个最后的要求,数学教授提出希望再讲一堂数学课.这个请求获得了批准,但规定这堂课要给其他死囚上,当那位以前的学生听到了教授的临终请求得到批准后,他说:“这样使我容易提出我的最后要求了,我希望在教授开讲前执行我的死刑. 

纵观历史,许多世界知名人士就是由于数学课程的压力,导致了终生对数学的偏见.19世纪著名的现实主义文学大师维克多・雨果就是其中之一,而风糜大陆的台湾作家三毛则更是如此,甚至在琼瑶的小说《窗外》中也描写了一位极端憎恨数学的学生. 

在我国目前的教育体制下,有相当多的学生由于数学不合格而导致学校生活的失败.这种打击(人生第一站)所造成的精神创伤将伴随着人的一生.我国一位老教育家曾尖锐地指出:我国现行的教育体制是一种培养失败者的教育――小学毕业后,成功的考上了重点初中,失败的或走向社会或进入普通初中;初中毕业后,成功的考上了重点高中,失败的或走向社会或进入普通高中、职业高中;高中毕业后,成功的考上了大学,失败的则流向社会……由此细细品味不难发现,在我国,竟有大多数的青年人是以一种失败者的心态走入社会的,长此以往势必影响到整个民族的精神状态.令人遗憾的是,在这种淘汰制度下,数学充当了极不光彩的“刽子手”角色.但我们对此并不是束手无策,我国数论大师、中国数学学会理事长王元先生曾指出:提起数学,不少人仍觉得头痛,难以入门,甚至望而生畏,我以为要克服这个鸿沟,还是有可能的.这个方法就是,使学生对此产生兴趣.美国著名杂志《科学美国人》杂志社发行的一套数学悖论幻灯片“Paradox Box”(悖论箱)的前言中指出:趣味数学具有重大教育学价值.这一点只是在最近才为一大批教师所认识.很多现象说明,这一趋式正在发展.雅可比的教本《数学――人类的魄力》获得了极大的成功,其部分原因无疑是他巧妙地把趣味材料揉进了传统的数学问题中.现在在教师会议和期刊里,趣味数学的文章也越来越多.美国教师委员会出版的威廉・沙夫编的《趣味数学书目》发行量是很大的.美国全国数学教师委员会(National Council of Teachers of Mathematics,简记为NCTM)的《Eevrybody Counts》曾指出:“事实上,没有人能‘教'数学.能激发学生去学习数学就是高明的老师.

法国著名数学家,1958年世界数学最高奖――菲尔兹(Fields )奖得主、突变理论创立者R.托姆(Thom)指出:“现代数学教学的症结,在于判断学生成绩的优劣是以对教材的记忆程度为标志的.”所以他强调,数学教材中必须包含一些“无用”的,带有“游戏”性质的内容才富有教育效果.本书就是对这种游戏性教材的一种尝试. 

本书还要送给那些“哥迷”(试图证明哥德巴赫猜想的数学爱好者)及“费迷”(试图证明费马大定理的数学爱好者). 

按照北京大学田松教授的建议,社会有这样一群异常“顽强”的人可称之为民间科学爱好者,他们往往执着于数学或其他自然科学的某些大问题,但又没有接受自己所献身领域的专业训练,也没有通过自学对那个领域达到深入的了解. 

田松教授指出:“如果把科学和围棋相比,那么,专业棋手就相当于科学共同体内的科学家,业余棋手相当于业余科学爱好者,围棋规则相当于科学共同体的范式.这种规则是在长期的历史中形成的,即使围棋协会也不能随意改变.任何一个人,只要遵从围棋规则,就有可能与专业棋手下棋,也有可能战胜专业棋手.共同遵守的规则是其交流的基础.然而,民间围棋爱好者声称对围棋理论有重大贡献,却连基本的死活都不知道,或者不肯承认,他与专业棋手便无法达成交流,无论他怎样声称打败了专业九段,都只能视为梦呓.(《永动机与哥德巴赫猜想》,田松著,上海科学技术出版社,2003年,P15)如果他们读到这本书,就像找到了500余位初级围棋选手,一可以试出自己的真实棋力,二可以消除自己企图通过证明哥德巴赫猜想一鸣惊人的虚妄之心,如果他们能在年青时就读到本书并意识到自己的问题所在实在是人生的一大幸事,否则他们会既有西西弗斯的徒劳又兼唐吉柯德的荒唐,在人们的不屑中度过毫无意义的一生.

我们最想把本书献给那些身陷题海的中学生的父母们.

中国的中学生是世界上最“可怜”的中学生,他们起的越来越早但睡的却越来越晚,书看的越来越多但记住的越来越少,题做的越来越多但得到的乐趣越来越少,要他学的越来越多但他要学的越来越少,其结果是平庸者越来越多,杰出者越来越少.从诺贝尔奖到菲尔兹奖,从阿贝尔奖到沃尔夫奖的得主中均无本土培养的科学家名字即可证明,教师和家长都发出了“播种的龙种,收获了跳蚤”的慨叹.这些现象产生的一个主要原因是题目质量低,同类低水平题目大量重复,枯燥且不具吸引力,缺少真正有趣能打动青少年内心的智力趣题.心理学研究表明一个成年人一生忙碌都在为圆儿时的梦想,证明了费马大定理的英国数学家怀尔斯10岁时就被费马的最后猜想所吸引,并从此选择了数学作为终生职业,陈景润是在初中二年级时,在沈元的讲课中接触到哥德巴赫猜想并被它迷住,我们有理由相信这500余道问题中至少有一道会激发起您的子女对数学终生的兴趣.

著名学者张东荪在解释近代科学技术为什么没在中国产生时说:“中国之所以没有科学乃是由于中国人从历史上得来的知识甚为丰富,足以使其应付一切,以致使其不会自动地另发起一种新的观点,用补不足.(《知识与文化》,张东荪著,商务印书馆,1946) 现代的中学生由于其数学练习册十分丰富,解之便可应付学习生涯的一切数学考试,于是导致对其他读物的排斥,殊不知长久的成功决不是依赖练习册所能成就的,动力至关重要,本书的阅读或许会有帮助.

本书应该出现在每一位数学成绩优异的中学生的书桌上.

我们也许应该介绍一下本书的功利色彩,全国高中数学联赛加试的第三题被设定为杂题(即很难分类的组合问题),与本书的问题属同一类,有些还取自于各国的竞赛真题(引用时参考了李成章等先生的译文,表示感谢),所以本书具有培训选手、教练选题的用途.

首先本书不是一本专为“有用”而编的书,对于任何一项精神活动,都会被问到是否有用,不仅是自然科学也包括社会科学,而回答是不易的,大约在20多年前,法国著名历史学家年鉴派创始人之一马克・布洛赫(Marc Block)的小儿子也向他提出这个问题:“告诉我,爸爸,历史有什么用?”为了认真地回答这个问题,他撰写了题为《历史学家的技艺》的一部书稿遗留给人间.

布洛赫反对以狭隘功利主义的眼光看待历史的“用”,他说:“经验告诉我们,不可能在事先确定一项极抽象的研究最终是否会带来惊人的实际效益.否认人们追求超物质利益的求知欲望,无疑会使人性发生不可思议的扭曲.即使历史学对手艺人和政治家永远不相关,它对提高人类生活仍是不可少的,仅这一点也足以证明历史学存在的合理性.(《鸿爪集》,章开沅著,上海古籍出版社,2003P5)

用布洛赫的话为数学辩护也同样有效. 

被评为“北大十佳教师”之首的中文系副教授孔庆东博士在《怎样学语文》中说:“反正我告诉你,专门为了考试而学习的人,考试成绩大多不好,少数考试成绩好 ,以后也没有出息.因为在只为考试的千百次训练中,他已经把人格训练坏了,没有独立思考.他的一生都可能只是个投机取巧的坏人,他对社会只有破坏,没有创造.(《四十不坏》,孔庆东著,华文出版社,2005年,P130131)

尽管这不是一本专为训练考试用的书,但近20年来笔者用它还是训练出许多“天才少年”,同时他们也提供了一些好的解法.他们是两届IMO金牌得主罗炜(北京大学数学系,留学美国)、国家集训队队员乔立安(保送清华大学,留学美国)、张天培(保送中国科技大学,留学美国普渡大学)、田丁(保送清华大学,留学美国)、关博文(保送南开大学数学系)、李石磊(保送清华大学)、张晓桐(保送清华大学)、吴昊(保送清华大学)、刘久萌(保送北京大学),在2005全国高中数学联赛中获黑龙江赛区一等奖的35人中有多人不同程度地演算过书中的题目,如周盛龙、丁微、李雪飞、孙自良等.

还有一部分学生通过对书中习题的训练考取了教育部委托清华大学、北京大学、中国人民大学、北京师范大学举办的国家理科试验班,毕业后悉数被保送到清华大学和北京大学.他们是张博、梁宏宇、乔兴昊、王朋博、李欣、陈鸿硕、赫文汉、张宏稷、王广龙、刘栩志、齐济、姜博等.在本书的解答中也使用了他们的解法. 

本书应该出现在每一位关心数学教育的有识之士的书架上. 

许多数学教师在其教学生涯中无一例外地都被学生问及学数学有什么用,颇为典型的例子便是1974年发生在美国一所大学的一件事.当时,现任职于香港中文大学的萧文强教授受命去代非数学系的一门数学欣赏课,由于美国大学以通才教育为目标,不论修何主科,规定必选修若干文史科目与数理科目.上课的第一天,修课的150位学生劈头便嚷:“我又不需要使用数学,学它做甚?”这确实很难回答,两年以后在《Journal of Mathematical Education in Science and Technology》上,萧教授发表了《厌恶数学的人的数学课》(Mathematics of  Math-haters),讨论了这个问题.其实数学与人类文化休戚相关,数学文化在各种文化中占有特殊地位.美国数学会(AMS)前主席认为“数学是一种文化体系”,而数学文化则可看成一种不断进化的物种.前苏联数学家B.B.格涅列柯甚至认为,数学能帮助培养未来工作人员独立思考的能力和开拓进取的意识,以及在工作中诚实坚定、尊重劳动和鄙视游手好闲的优良品质.正是由于这种特殊地位,决定了每一个现代人必须接受数学教育,这种教育并非要求每个人都成为数学家,掌握高深的数学定理、公式,而是要使人们了解数学对于文化的影响,以及通过对数学的认识与理解提高文化素质,从而创造出更有内涵、更有意义的人类文化.这就要求我们的数学教育观念有一个大的转变,过去我们习惯于追求教师改进教学方法,学生勤奋学习(这固然重要),即让教师、学生适应数学.而今天,则要求我们首先要改造数学,对数学实现再创造,使数学顺应人类学习的需要,从高度抽象、高度严谨、极端枯燥的形式中解放出来,走出王宫,走下金字塔,走向生活,走向大众,彻底摆脱定义、定理、法则、公式及其证明,以开放的体系再现数学的基本过程,再现数学与大自然和人类社会的千丝万缕的联系.早在1906年,著名数学家雷特(F. Reidt )就认识到:参与开发一般智力不是为了今后某一职业的特定需要,而看成是数学教育的基本目标(Anleitung Zum Mathematischen Vnterricht an Hoheren Schulen).开发这种一般智力仅靠数学课本是远远不够的,趣味问题的介入是必须的,也是卓有成效的.即使从功利的角度讲,趣味问题也是十分有用的,有一句话说得颇有哲理:“无用之用,方为大用.”例如,有人在查对数表时发现,所用的对数表的开头几页磨损得很厉害,这表明人们经常查找以1打头的数的对数,于是他提出这样一个近乎天真的问题:首位数为1的数在全体自然数中占有多大的比例?一般人都以为应该是九分之一,因为有九个数可以当做首位数,而且没有哪一个数有理由搞特殊化,但是事实与我们想的恰恰相反,1974年美国哈佛大学统计系的一名叫珀西・迪亚科尼斯(Persi Diacois )的研究生(现在是斯坦福大学的统计学家)证明了首数为1的数约占全体自然数的三分之一,准确地说是lg2=0.301 0.(详细可见P.Diuconis. The distribution of leadingdiglts and kniform distribution modlprods19977281

尽管这个结果非常美妙,但它似乎和现实世界毫无关系,以至于迪亚科尼斯不准备将它发表.但奇迹出现了,不久美国西雅图波音航天局的一位名叫梅尔达德・沙沙哈尼(Mehrdad Shahsha hani)的工程师在研究一种用计算机描绘自然景象(如狂风暴雨、电闪雷鸣、彩虹横空等)的方法遇到了无法克服的困难时,却不可思议地发现恰恰迪亚科尼斯的方法可以帮他忙.于是波音航天局现在开始用沙沙哈尼的方法,建造一个计算机控制的飞行模拟器,它使飞行员在地面上就可以感受到飞行的实感,包括窗外完美的风景,从而节省了大量的训练经费.所以这些貌似远离现实的趣味问题,说不定恰恰就是某项重大发明的源头.A. Renyi曾有一段精辟的论述:数学只会报答那些不仅为了得到报答,而且也为了数学自身而对它感兴趣的人们.数学就像是国王的一个美丽的女儿,每当求婚者出现时,她就怀疑他不是真正地爱她,而仅仅是因为她是国王的女儿才对她感兴趣.她想要的丈夫是为她的美丽、聪明和迷人才爱她的人,而不是为了得到财富和权力才和她结婚的人.同样地,数学仅仅向那些因为真心爱慕数学之美而研究它的人们揭示自己的秘密.作为报答,这些人当然也得到了具有重要实践性的结果.但是,如果一个人每次都要问:“我这样做能得到什么利益?”那他就不会得到太多. 

本书在选编时有四点考虑. 

第一,对一些艰深点的趣味问题没有收入.尽管它们非常迷人,但只有少数专家才能欣赏(上海教育出版社的由美国人戴维・A.克拉纳(David A.Klarner)编的《数学加德纳》(The Mathematical Gardner )是这方面的精品).我们所收集的仅是初等数学领域中一些相对简单的问题.因为我们相信,罗斯・亨斯贝格(Ross Honsberger)先生的断言,这位雄居世界趣味数学界的巨人(滑铁卢大学( University of Waterloo )教授)在其德文版的《Litter.Reste.Würfel》(此书系美国数学会出版,由纽约市立大学亨特学院女教授多尔恰尼(Mary P Dolciani )创办的《多尔恰尼数学介绍著作》丛书(Doliciani Mathematical Expositions)之一,整套丛书共7册)的前言中写道:“数学在相当程度上是用巧妙思想武装起来的.不论人们还要进行多么长久的努力,数学那种令人激奋的奇异性质是永远不会穷尽的.仅仅沉醉于高深的难题,是无法发现这块宝石的.即使一些很简单的问题,也可能充满了丰富的想像力和独创天才.

第二,为了体现数学与现实的联系,我们特别侧重那些需要建立数学模型的问题,曾文艺在《数学建模与中学数学课程改革》一文中指出:“其实数学模型是对现实原型为一定的目的而作抽象、简化后所得的数学结构,它是使用数学符号、数学式子以及数量关系对现实原型的简化而本质的描述.对于现实事物,具体进行构造数学模型的过程称为数学建模(Mathematical Modeling). 

1985年以来,美国举办了第一届大学生数学建模竞赛,至今已有20年的历史,这一竞赛目前已吸引了全世界的许多国家派队参加.我国应用数学界和工程界的学者们在1991年成立了中国工业与应用数学学会,并且在199211月组织了第一届大学生数学建模竞赛,反响很大,现在数学建模在大学已全面推广. 

尤其需要指出的是,早在1975年,美国数学科学会议委员会(Conference Board of the Mathematical Sciences)、国家数学教师委员会(Nationalcouncil of Teachers of Mathematics)、国家委员会(National Research Council)等组织在对中学数学教学调查的基础上,提出了要把数学建模及数学应用这部分内容纳入到中学数学教育中去.国家数学教师委员会还要求数学教师应该发展自己的数学建模和求解问题的能力.在《数学科学教育新目标》一书中,特别强调数学建模作为问题求解的一个方面的重要性,尤其是近年来,一批数学教师把MMSC (Mathematical Modeling in the School Curriculum)引进课堂,获得很大的成功.因此中学数学建模的教学也将在一定程度上影响着中学数学课程的改革. 

第三,书中有一些趣题是节选改编自一些著名数学家的论文.虽然说裁锦一角,摘花一枝也能锦绣灿烂,心香动人,但可能满足不了那些喜欢见一斑而欲窥全豹的读者,所以索性将原文附上供欣赏之用,附录(1)(13)的文章多选自《美国数学月刊》,译者包括潘承彪等数学大家,还有一些是早期数学杂志上的文章(解放前或建国初期),现已很难见到,作者有些已成为数学大家,如路见可先生.在此表示感谢. 

第四,本书的编排采用了“乱序式”,即没有按着门类及科目进行分类,这并非是由于编者的疏懒所致,而是有意为之,因为现在国外的许多书店都采取杂货铺式排列,“杂乱无章”,有意让读者在挑书的过程中有一种沙里淘金之感,这种貌似无序而实为有序也是美学中的一个原则. 

最后要说明的一点是,与熟读经典的饱学之士和桃李满天下的教坛宿将相比,编者不过是数学教育领域中的一些“编外”新兵,之所以敢斗胆编写这本集子,实在是受了近代英国作家查斯特顿(Chesterton )的一句名言的鼓励.他说:“值得干的事即使干不好也值得干.(Whatever is worth doing is worth doing badly) 

廖廖数语,谨以为序.

 

刘培杰

200512

 


   


目  录

柯克曼的“女学生问题”  /1 

颠倒卡片  /3 

不胫而走  /5 

均分蛋糕  /6 

天书的秘密  /8 

部分接触  /10 

淘汰制体育比赛  /10 

王国之路  /12 

聊天小组  /14 

数表取数  /14 

切去一角  /16 

耳光响亮  /17 

一万年太久  /18 

翻动金币  /19 

乌鸦与稻草人  /19 

谁是赢家  /20 

运输路线  /21 

最大可能数  /22 

封闭公路  /23 

儿童宿营  /24 

要试多少次  /25 

相识为偶  /27 

热线电话  /27 

罐头称重  /29 

亲兄弟明算账  /30 

最重砝码  /30 

游戏房的宽度  /32 

特殊砝码  /32 

拼零为整  /35 

弯曲河道  /36 

谁占多数  /37 

放置正方形  /38 

巧手妙剪  /39 

恰钉一次  /39 

数学家路线  /41 

万能砝码  /42 

巧译密码  /45 

蝗虫跳动  /46 

载重卡车  /47 

青蛙走迷宫  /47 

维佳和奥利娅的约会  /48 

魔术扑克  /49 

一个数学谜语  /51 

青蛙重叠  /52 

数学小组里的女孩  /53 

挑选字母  /54 

波尔达维亚货币  /54 

凸多面体  /55 

两个检查员  /59 

字母序列  /59 

数学家的贺年片  /61 

加密解密  /62 

巧换轮胎  /63 

互不攻击  /63 

分球问题  /64 

拳击大赛  /65 

谁是胜利者  /67 

城市交通  /68 

测验分数  /69 

朋友佳音  /69 

爷孙滑雪  /71 

巧剪纸条  /72 

签名游戏  /74 

平分巧克力  /74 

涂涂抹抹  /76 

无法操作  /77 

混合油问题  /77 

狼羊博奕  /78 

直达航班  /79 

爱丽丝的游戏  /79 

棋盘染色  /80 

西班牙棋盘和标号问题  /83 

休息前后  /84 

扇形放棋子  /85 

航空公司  /86 

灯光闪亮  /87 

多米诺覆盖  /88 

同花顺  /89 

掷骰子问题  /90 

地铁平面图  /91 

排序问题  /92 

英俊舞伴  /92 

结点标数  /93 

魔法师法则  /94 

童子军的国籍  /94 

如此相识  /95 

一县几区  /96 

击球落袋  /97 

换乘电车  /98 

一位步行者  /99 

有女孩吗  /100 

涂色阻击  /101 

分组问题  /101 

“飞棋”遍访  /102 

循环赛  /103 

骑士的仆从  /104 

关键的一列  /105 

行列同积  /106 

理想婚姻  /106 

价高价低  /108 

湖滨渡轮  /108 

本是同根  /109 

切割三角形  /109 

多吃巧克力  /110 

完美坐法  /111 

无处停泊  /112 

飞船运货  /113 

实力悬殊  /113 

多少游客  /115 

巧分奶酪  /115 

司机问题  /117 

涂色决胜  /118 

加班费问题  /119 

银币排列  /119 

小羊、小牛、小猪  /123 

收藏硬币  /123 

公共汽车站  /124 

回到起点  /125 

不必找零  /125 

全部解决  /127 

卡车运货  /128 

蝗虫跳跃  /129 

桌面上的蜗牛  /130 

彩票中奖  /130 

相遇问题  /132 

免服兵役  /133 

黑马与白马  /134 

湖中宝藏  /135 

慢行的蜗牛  /136 

滑雪观众  /136 

多做习题  /138 

植物手册  /139 

散步的绅士  /140 

9出现  /141 

混合液体  /142 

切馅饼  /142 

表格问题  /143 

肖像悬挂方式  /144 

上下电梯  /145 

电影院问题  /145 

无限棋盘  /146 

吃糖果游戏  /147 

飞奔下楼  /147 

射击叶片  /148 

区分假币  /149 

画线游戏  /150  

棋盘方格  /150 

粉笔印痕  /152 

移动士兵  /152 

找出珍珠  /153 

鲁毕克魔方  /153 

勾数游戏  /154 

封闭路径  /155 

永无休止  /155 

金发碧眼  /156 

德・梅齐里亚克砝码问题  /157 

提问次数  /158 

马戏舞台探照灯  /158 

针刺方块  /159 

白色顶点的六面体  /160 

马行棋盘  /160 

天文探照灯  /161 

左右砝码  /161 

太阳黑斑  /162 

特殊直线  /163 

柯尼亚与维佳的游戏  /163 

罚单几何  /164 

石头的质量  /164 

歹徒与警察  /165 

公爵的愿望  /166 

躲开老师  /166 

逃脱的兔子  /167 

谁是胜者  /167 

天平分牛奶  /168 

先后次序  /168 

黑海大叔的“勇士”  /169 

委员会选举  /169 

飞机降落  /170 

靴子排列  /170 

丹妮娅的皮球  /171 

棋盘行走  /172 

两个特殊的人  /172 

屏幕显数  /173 

有容乃大  /173 

骰盘同色  /174 

“咬格子”游戏  /175 

钱币集中  /176 

多少道选择题  /176 

不可再少  /177 

矮人国的友谊  /178 

路径条数  /180 

矮人仪式  /180 

彼得的骰子  /181 

会议代表  /181 

猫的比率  /183 

狗捉狐狸  /183 

六边形标数  /184 

奇怪的乘式 /184 

运作实现  /185 

方格纸着色  /186 

跳迪斯科的年轻人  /187 

比赛胜出  /188 

非等价大圆周  /189 

蚂蚁爬行  /190 

雪球  /191 

猜数比赛  /192 

猴子分苹果  /192 

绝缘胶带  /194 

在哪登陆  /194 

圆周置数  /196 

蜜蜂问题  /196 

村庄小路  /197 

迷途知返  /197 

抛掷硬币  /198 

地铁车站  /199 

超级象棋  /199 

会议代表  /200 

计时比赛  /200 

最大差数  /201 

猫捉老鼠  /201 

愿望能否实现  /202 

钢琴家  /203 

“黑匣子”的秘密  /204 

足球比赛  /205 

墨渍的形状  /205 

兵行天下  /205 

奔跑的狮子  /206 

舞蹈训练班  /207 

两个齿轮  /207 

互相攻击  /208 

取走一个砝码后  /209 

立方体涂色  /209 

寻常国与镜子国  /210 

兵临空格  /210 

一帆风顺  /211 

转移液体  /212 

采蘑菇的小男孩  /213 

棋中皇后  /213 

智力冠军  /214 

谁能取胜  /215 

编号问题  /216 

掰巧克力  /218 

公路划分  /218 

互访活动  /219 

多少考生  /220 

西西弗斯  /221 

单色长方形  /222 

一条线上的蚱蜢  /223 

标准线段  /224 

俱乐部成员  /224 

如何装色块  /225 

挑硬币  /225 

棱染色  /226 

变色龙  /227 

合作伙伴  /227 

六位音乐家  /227 

同色方格  /228 

巧堆正方体  /228 

返回原处  /229 

基本砝码组  /229 

同色三角形  /231

大象体重  /231 

彼得的朋友  /232 

足球冠军赛  /233 

继承遗产  /234 

全盘控制  /234 

采蘑菇  /235 

几篇小说  /235 

异色正方体  /236 

认识不认识  /236 

循环棋赛  /237 

平面涂色  /238 

交换公寓  /239 

党中有党  /240 

操作问题  /241 

洗牌复原  /242 

螺旋放置  /242 

午夜时分  /244 

跳石子游戏  /244 

保险箱的钥匙  /245 

游戏公平吗  /246 

三连格问题  /246 

又见黑烟  /247 

规范直线  /248 

十三边形  /249 

象棋选手  /249 

残计算机  /250 

再摆一张  /251 

三针相会  /252 

取棋子  /252 

三角阵列  /253 

握手次数一样多  /254 

委任委员  /254 

赛过几场  /255 

重新上色  /256 

小方格填数问题  /257 

红蓝相邻  /258 

女生人数  /258 

阴影矩形  /259 

运动队知多少  /260 

四角之和  /260 

缝纫小组  /261 

说谎的恶棍  /262 

不全等的三角形  /263 

小额汇票  /263 

最短数龙  /264 

桌上的分布  /265 

派车问题  /265 

最小长度  /266 

中点涂色  /267 

如何分组  /267 

长寿的兔子  /269 

图形纸片问题  /269 

怎样管理保险柜  /270 

彭达哥尼亚生物  /271 

乘积最大  /272 

谁是带头人  /273 

两个骑手  /274 

巧涂玻璃片  /274 

不是原来的狗  /275 

数学家的朋友  /276 

打开保险箱  /277 

城中城  /277 

如此造表  /278 

混乱的拳击赛  /279 

困难的竞赛  /279 

谁是跳高亚军  /280 

摩托车大赛  /281 

顺流而下  /282 

围棋新秀  /284 

删去一列  /284 

必有圆心  /285 

观看球赛  /286 

盖住994个点  /287 

矮人的房子  /287 

距离不超过2  /288 

分割正方形  /288 

奇怪的时钟  /289 

公园的小树  /290 

四腿落地  /293 

李普曼问题  /294 

神奇的6 174  /295 

步行问题  /296 

取数博奕  /296 

分划三角形  /297 

黑白方格  /298 

红边绿边  /299 

舞兴正浓  /300 

17个科学家问题  /301 

两位游客  /301 

疏密有序  /302 

夫妻宴  /303 

总有一点  /304 

凤换巢  /305 

同心圆盘  /306 

芝诺国奇事  /306 

凸五边形顶点  /307 

环内红点  /307 

黑白分明  /308 

甲虫的行程  /309 

梵塔之谜  /309 

旅馆的钥匙  /310 

百点问题  /310 

小鸟啄食  /311 

相逢何必曾相识  /312 

红点居中  /312 

彼此不相吃  /313 

距离相等  /314 

海战游戏  /315 

两块黑板  /316 

桌球问题  /317 

电工学徒  /318 

关羽放曹  /318 

卡车过沙漠  /321 

周游棋盘的马  /322 

硬币三角形  /324 

交通部官员的游戏  /325 

仅称十一次  /327 

填上×与○  /328 

哪种药效好  /329 

多少块石头  /329 

环球飞行  /330 

棋盘覆盖问题  /332 

正八边形排数问题  /334 

巧分弹子  /335 

稳操胜券的办法  /335 

圆圈填数  /337 

牛与羊与手风琴  /337 

公寓电梯  /338 

棋子排列问题  /339 

五个剪拼成一个  /340 

球面选点  /342 

粗心的教师  /343 

好大的碗  /344 

棋盘转动  /344 

剪多少刀  /345 

特殊的足球  /346 

正方形划分问题  /346 

猎人与狼  /347 

幸运的摹本所有者  /348 

歪打正着  /349 

巧妙覆盖  /351 

完美关系  /351 

三针分开  /353 

数形结合  /354 

修路问题  /355 

巧用扳手  /356 

桌球问题  /358 

邮寄窗口  /360 

若即若离  /361 

非法捕鱼船  /362 

瓜分球面  /364 

发牢骚的羊  /365 

绕动的木梁  /366 

小圆盖大圆  /368 

何时开始下雪  /368 

一枪双兔  /370 

巧隔金鱼  /371 

鲑鱼闯瀑布  /371 

象及四方  /373 

涂色有别  /374 

母女平安  /375 

白天鹅停湖  /376 

巧妙填图  /377 

妇女能顶半边天  /379 

条条大路通罗马  /380 

多米诺骨牌  /381 

S先生和P先生谜题  /382 

整数的划分  /384 

红点与蓝点  /385 

有可能获胜吗  /386 

排球比赛  /387 

阿信开店  /388 

黑白石子  /390 

有备无患  /390 

烤面包的问题  /391 

桅顶问题  /393 

测验排序  /394 

阿里巴巴和四十大盗  /395 

爱思考的阿拉伯国王  /396 

追车送信  /400 

兔子问题  /401 

古怪的数学家  /403 

跳蚤问题  /404 

集于一球  /405 

面向墙角的屏风  /406 

巧移碗橱  /407 

地毯切割问题  /408 

不能穿过的正方形  /410 

一笔画问题  /411 

一样不一样  /412 

张冠莫李戴  /413 

队列表演  /414 

日历问题  /415 

赛场选址  /417 

走出沙漠  /418 

真假难辨  /419 

少校与破坏者  /419 

猫捉老鼠  /419 

美国大选  /420 

新年联欢会  /421 

学习成绩  /421 

安排汇演  /422 

古代手稿  /423 

百密一疏  /423 

狼追野兔  /424 

一览无余  /425 

阿凡提的故事  /426 

贪财的游客  /427 

别佳在说谎吗  /429 

阿里巴巴进山洞  /430 

梅尔林方格表  /430 

大臣监视大臣  /431 

选举总统  /432 

天平砝码  /432 

宫殿聚会  /433 

寻找真理的蟑螂  /433 

能否捉住卡亮  /434 

取火柴游戏  /434 

终止游戏  /435 

识别假币  /435 

围树林的篱笆  /436 

警察与歹徒  /436 

马拉国的骑士  /437 

改为单行道  /437 

正确答案  /438 

计数器问题  /440 

化整为零  /440 

猜名次  /443 

网球锦标赛  /445 

黑盒与白盒  /446 

国际象棋中的“王”  /448 

黑板上写数  /449 

网眼涂色  /449 

仅剩一枚棋子  /450 

“稀释”手术  /452 

调到第一位  /453 

家庭相册  /454 

打字次序问题  /455 

餐桌坐法  /456 

中日围棋擂台赛  /457 

装错信封问题  /459 

冗长的报告  /460 

客从远方来  /461 

棒球比赛  /461 

由矮到高  /462 

点头、握手、接吻、拥抱  /463 

数学家的薪水  /463 

电影院问题  /465 

搬石头游戏  /465 

单位圆问题  /466 

表针问题  /467 

折棒拼形  /471 

渡船问题  /473 

怎样利最大  /474 

写数博奕  /475 

哪袋有假币  /475 

巧识假币  /476 

矩内含方  /477 

香烟中的扑克  /477 

插花问题  /478 

运动的棋子  /479 

猎鸟若干  /480 

相会于图书馆  /481 

台风来了  /481 

豌豆盖地球  /484 

左转弯运动  /485 

草原漫步  /486 

赶快救火  /486 

遥相呼应  /487 

火车信号灯  /488 

流感会结束吗  /489 

还剩几枚  /490 

诚实可靠者  /492 

奇怪的团体  /493 

无码操作  /495 

猴子取香蕉  /497 

三圆盖方  /497 

巨型数字  /498 

三角大旗  /499 

打印机的缺陷  /499 

魔术钱币机  /500 

附录  /502 

附录(1)  锁、钥匙和投票表决  /502 

附录(2)  邮票问题  /507 

附录(3)  恰有两个单色三角形的相

识图  /512 

附录(4)  Pólya果园问题  /517 

附录(5)  筹码游戏  /526 

附录(6)  Nim游戏――一个启发性的

探讨  /530 

附录(7)  长方形台球桌的问题  /536 

附录(8)  如何计算星期几  /542 

附录(9)  一张纸能包多大体积  /546 

附录(10)  一个赛跑问题  /552 

附录(11)  市秤的称球问题  /559 

附录(12)  称球问题的一般定理  /563 

附录(13)  灵活游戏的推广  /573 

参考文献  /579 

后记  /583

 

 


  

后  记

像所有作者一样,在后记中首先需要指出的一点是:对于这部近70万字的数学书来说错误是难免的.这决不是一句客套话,因为像《吕氏春秋》那样公布于咸阳城门予千金而世人不能改一字的情形,在数学书中是不存在的.非但我们普通数学工作者做不到,就是著名的数学家也难于实现.有一个典型的例子是世界编码学权威、美国数学家贝利肯普(Berlekamp)1968年曾出版了一本专著《代数编码论》(Algebraic Coding Theory).这部世界公认的经典著作,被译成了多国文字.但贝利肯普过于自信,以至于在序言中写到:“谁人头一个指出书中的任何错误,上至数字弄错了,下至排版错了,我都愿意酬谢美金一元!”出乎他的意料,到1978年冬天为止,已经发现了错误250个,光是勘误表就印了13页,为此大话,他支付了数百美金. 

更有甚者,在1935年一位叫勒卡(Lecat)的比利时人编写了一本叫做《数学家的错误》(Errenrs de mathématiciens)的书,它收集了从有数学以来直至1900年前后著名数学家的错误证明或论断,全书超过了130页!

其次要说的是:在今天出版这样一本数学趣味题集,可以说是不太合“时宜”的,因为现实对人们的教育,似乎可以用英国作者威廉・萨默塞特・毛姆的一部短篇小说来形容.

小说的主人公是某一教堂的仆役,在一次鉴定神职人员时发现他是文盲,所以他被解雇了.于是他开始成为卖烟的小贩,后来买下了烟铺,又买下了另一些铺子……商业上飞黄腾达,使他成为全城最富的人和该城的市长.当记者采访他时,他说他是文盲.记者不禁惊呼:“若你有文化,你将获得怎样伟大的成就!”他回答得非常干脆:“我可能还是教堂的仆役. 

我们国家正处于经济腾飞阶段,一些人似乎以为经济是中心,其它一切都是无所谓的,实际上这是一种短视,是极为有害的.1992年在庆祝俄国数学家  鲍里斯・弗拉基米拉维奇・格涅坚科八十寿辰时,这位世界级概率大师不无感慨地指出:“19651966年之间我们的国家陷于深刻的经济和知识的危机中,  国家像顾不上科学,并有这样的说法,让学者们到国外去,到那里避过祖国最艰难的岁月,说这些话的人忘了这样的结论导致最具生产力的中间阶层的外流,而这些人本应把自己的知识、自己的聪明才智交给年青一代.如果这种传授不是系统地进行,则学校经过1015年后就会垮台,要恢复就不可能了.

他山之石可以攻玉,做为一个国家,历史上的许多教训是应当汲取的.被誉为数学之神的阿基米德在公元前221年被罗马士兵杀害了,对此,德国著名数学大师AN.怀特黑特曾感慨地说:“阿基米德死于一个罗马士兵之手是一个世界发生头等重要变化的标志,即爱好抽象科学、擅长推理的古希腊在欧洲的霸主地位被重实用的罗马所取代了.”罗马是一个伟大的民族,但他们却深受只为实用而无创造性的思想之害.的确,罗马帝国的斗牛场、公共浴池、城市交通、公共设施比古希腊不知要豪华多少,但唤醒人类理性意识,建立现代文明的却是希腊文化――为数学所主宰的文化.而目光短浅的罗马人建立的是一种片面的、模仿性的、二流水准的文化.在他们统治的几个世纪里,依靠被他们统治的希腊人,才能弥补灵感和创造性思维的缺乏.当奥古斯都着手建造帝国检阅台时,他不得不下令召来亚历山大里亚――希腊本地的一个地方专家;当凯撒(Caeser,公元前100年~前44年)准备修订历法时,他也是只能请亚历山大历亚人.智慧之泉快枯竭了,罗马人才意识到只增加喷泉中的雕塑而忽视水源是错误的,可惜为时晚矣!罗马历史给我们的教训是,蔑视高度抽象的数学理论会给文明的发展带来不可估量的损失.我们数学教育工作者都应以向民众普及数学、传播数学为目标,正像涅格里坚格所说:“为了向前走,我们永远需要有生活目的.当生活失去目标时,积极生活的本身也就停止了. 

在编写这本貌似可以轻松阅读而实则非同寻常的题集时,始终有一个问题需要有一个肯定的答复,即为什么会有人认真地去做这些题目呢?匈牙利数学奥林匹克竞赛优胜者、著名数学家舍贵(G.Szeg)说过一段很精辟的话.他说:“我们不应该忘记,解任何一道有价值的题目,很少有容易得来而毋需刻苦钻研的.相反地,它往往是几天,几星期甚至几个月竭尽脑力的结果.为什么年轻人愿意花费这么多精力呢?这大概是对某种价值本能的偏爱,即把智力创造和精神成就看得高于物质利益的态度.这种价值标准的建立只能是社会风尚和文化环境长期熏陶发展的结果,那是很难通过政府的帮助甚至是学术上对数学学科加强培训来加速进行的.向年轻人显示智力创作之美,使他们体验到从事伟大和成功的智力创造后的满足,是确立这种价值标准最有效的手段.

在本书编写过程中得到了王忠玉博士、郭梦书博士、康大臣博士、刘孝庭博士、钟德寿博士、张本祥博士的鼓励和肯定,表示感谢.

本书文字编辑李广鑫女士以高度的热情和高水准的职业技能对全书进行了数月的加工,使得本书得以顺利出版,致以谢意.

 

刘培杰

200512

   
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