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书名:《中学数学计算技巧》 英文书名:
丛书系列: 数学文化系列 图书编号:∑116
作者:吴振奎编著 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-3344-1 开本:787mm×960mm 1/16
版次:2012年1月第1版 2012年1月第1次印刷 印张:23.25  字数:249千字千字
定价:48.00 元�元 页数:

 

【内容提要】

本书共分5.1章“数、式与形”,第2章“变换与技巧”,第3章“速算与近似记算”,第4章“一题多解”,第5章“计算与证明”.

本书适合中学师生及师范院校数学系、数学教育专业师生使用.

 

【前  言】

中学数学中的命题,按性质来讲大致可分为两类:一类是证明题,一类是计算题(当然还有一些作图问题).对于一些计算题,迅速而准确地解决它们,不仅对加深数学概念的理解有益,对于培养学生的逻辑思维能力和严肃不苟的治学态度也有好处.

在中学数学中往往也会遇到一些计算题,表面上看起来很复杂,甚至感到无从作起,但仔细分析一下,便会发现有时能有巧妙的方法可寻:

例如计算 ,倘若按通常算法,将会感到棘手,但若发现,题目的结论便是显然的了,因为

再如计算,倘若一项一项算出来再求和便麻烦多了,但若熟悉组合公式,这个问题便信手可解:.

读者也许要问:这些方法(或技巧)是怎样找到的?又如何运用这些方法(或技巧)来解其他一些问题呢?这便是本书要谈的内容.对一般在教科书上可以找到的计算方法,本书不准备过多谈及,而是仅就一些特殊方法与技巧略加简述.书中材料大多为人们所熟知,这里只是将它们归纳、分类、整理、汇集出来,目的是使读者免去查阅资料之烦,也可使读者对这些方法间的纵横关系有些了解.倘若在这方面对大家能有一点帮助的话,笔者将感到欣慰了.

计算技巧,千头万绪,较难归类,更难全面,这种尝试妥当与否,请读者评鉴.

应该指出的是:证明与计算都不是绝对的,计算常需要运用证明的结论来完成;而有些证明问题又正是计算的结果.因而笔者愿向大家说明:这本小册子是《中学数学证明方法》的姊妹篇.��

 

吴振奎�

201110

���

 

 

【目  录】

引子  从一道分母有理化问题所想到的    1

1  数、式与形    12

1.1  一些特殊的数    13

1.2  数与式及其互化    32

1.3  待定系数法    54

1.4  形与数、式――图表的应用    70

1.5  式、图的变形与变换    99

1.6  代数、几何、三角间的互助    133

2  变换与技巧    151

2.1  换元法及参数的引入    151

2.2  概念的巧使    180

2.3  不等式的妙用    200

2.4  高等数学的帮助    217

2.5  一些特殊技巧    225

3  速算与近似计算    248

3.1  速算    248

3.2  近似计算    253

3.3  连分数    270

3.4  算图与图算    279

4  一题多解    290

5  计算与证明    324

本书用到的数学符号  354

编辑手记  356

 

【编辑手语】

国人喜争先,遗憾的是近代数学却源自古希腊.中国古代数学在辉煌之后与西方数学从某一点开始分道扬镳,这一点我认为是从证明开始的.中国古代数学能解甚至高达十几次的代数方程之根.却不能严格证明勾股定理.所以说中国古代数学的短板是数学的证明.也可以说中国古代数学的特点是重计算,轻证明.

吴振奎先生的这本著作可以说从某种程度上是对这种倾向的一种延续,从数学教育角度上讲尤为重要.

备受争议的南方科技大学开始招生,深圳一所重点高中的学生何凌被南科大提出的书院制高校深深吸引.他说:现时教育只是巴普洛夫条件反射式的驯兽训练”.(南科大自主招生:被默许的试验田?《经济观察报》2011.1.17).做为中学数学教师对此也颇有同感.中国数学教育界目前最受追捧的理论是题型+技巧,而题型+技巧的理论基础是操作化原理,但操作化原理是从动物学习的规律中总结出来的.把这个理论运用到人类学习中来,效果肯定是立竿见影的,但不幸的是可能把学都教傻了,智力水平可能退化到和动物一个层次上了.反映到教学中,就是某个老师所教班级平均分要好一些,学生的答案更接近标准答案,题解更符合格式.但事实上来讲,学生并不像分数表现的那样好,他们只是把考试中遇到的题目,老师总结的题型靠拢,再套用老师给出的标准答案的模式,从而得到高分.凡是认真听话的学生,都会按照此种方式学习.不认真听话的学生,认为数学太难学了,从而放弃了对数学的学习.有数学教师说:题型+技巧把知识点生硬叠加,人为制造了大量偏题、怪题,把简单的问题复杂化,使原本好懂、能懂的数学变成了艰深晦涩的玄学”.在其十多年的教学生涯中,深深的感觉到对题型,想技巧的过程使学生没有机会经历概念的概括过程、结论的归纳过程、用概念推理的演绎过程,当他们独立面对新问题的时候,就会因为缺乏创造力而败北.数学的基本精神是一种理性精神,这种理性正是我们人类不断进步的基础.许多有识之士认为我们应该让学生学会思考,而不是让学生学会简单的模仿题型,生硬的记忆技巧.

不仅是中学包括大学数学教育也有问题.中国科学院院士、数学家李邦河曾在《科学时报》上指出:为什么二十的才子会成为三十的庸人?因为人们对二十岁,不要求有创新、实绩.于是,各类考试 、竞赛的优胜者,堪称才子.而真才要有成就.就科研而言,只有离开了最后的老师――博士导师,会自己提出问题,继续创新的,方为真才.故需等到三十左右.

所以掌握方法至关重要,特别是计算的方法,它利于量化.(用黄仁宇的说法.不能量化成数字是中国朝代更迭的一个重要因素.)中国目前的教育体制和选拔机制,明显地更有利于坐得住,心细的女性脱颖而出.教育部截至2008年的统计显示,南开大学的女生比例已达到54.7%.证明需要严谨、逻辑、缜密.而这些恰恰都是男生所擅长的.但近年高考呈现出一种逆淘汰.反而将擅计算、心思细密的人选了出来.当然这有利于标准化命题及机械化译卷.但这样无疑对大于逻辑,工于证明的真正数学人才有不公的嫌疑.数学计算与数学证明相比更低俗,而证明更高雅”.但是低俗更易流行.

在网上倍受欢迎的哈佛大学优秀课程中,最受追捧的是什么是公正,讲者是哈佛大学教授桑德尔.他为了说明高雅低俗”.他放了两段录像,一段是莎士比亚剧作片段,另一段是搞笑动画片《辛普森一家》的片段.出人意料的是哈佛学子们压倒多数的赞成莎士比亚的高雅但同时也有压倒多数的人喜欢看三俗的《辛普森一家》.

本书特别适合喜欢数学竞赛的读者阅读.“奥数在中国数度被妖魔化”.但是精英人才培养不可或缺.诺贝尔经济学奖获得者豪尔绍尼(John Charles Harsanyi.1920―2000)出生于匈牙利的布达佩斯,中学时代曾获全国数学竞赛第一名.

1965年至1969年,豪尔绍尼受雇于美国军备控制与裁军署,成为10人博奕论专家小组中的成员.博奕论专家们发现,他们无法给美国与前苏联的裁军谈判提供有益的建议和帮助,因为这是一场非完全信息博弈:他们不了解苏联真正的军事实力和政治意图.于是,豪尔绍尼试图解决这一难题.他通过假设信息不完全的博弈者有不确定的几种类型,成功地把非完全信息博弈转换成完全信息博弈.这样,专家们就能够将纳什均衡理论运用于裁军谈判了.

本书作者吴振奎教授是笔者中学时代少数几本课外书之一的作者.在现在亦是笔者惺惺相惜的好朋友.所以本书即将出版之际,遵嘱写上几句,当不为过,顺祝吴先生退休生活丰富多采.���

 

刘培杰

2011121

于哈工大

 

   
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