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书名:《数学拼盘和斐波那契魔方》 英文书名:
丛书系列: 数学文化系列 图书编号:∑72
作者:冯贝叶 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-3029-7 开本:787mm×1092mm 1/16
版次:2010年7月第1版 2010年7月第1次印刷 印张:20.75  字数:381 千字千字
定价:38.00 元元 页数:

 

内容简介

本书内容共分两部分,第一部分带有丰富的插图和问题,题材较具趣味性,属于科普性质,目的是让读者提高学习数学的兴趣和开阔眼界,拓展深度,但是其中也安排了一定量较有难度和深度的课题和问题,可供读者日后提高之用.具有初中至大学低年级水平的读者都可在其中找到适合自己的内容.本书第二部分虽然也包括了一些趣味性的内容,但专题性较强,集中介绍了和斐波那契数有关的内容和问题,其中大部分内容具有高中程度即可理解,但最后两节需要读者具有初等数论的知识,包括二次剩余的理论才能理解.

本书适合具有初中至大学低年级数学程度的学生、数学爱好者、中学和大学教师及有关的科研工作者阅读和参考.

 

 


  

【序  言】

本书由两编组成,第一编是拼盘性质,收集了一些编著者认为有兴趣的数学故事、传说和问题.同时,附有大量生动的插图以增加阅读的直观性和兴趣.第二编从头开始介绍与斐波那契数有关的一些问题.

内容的组织则是将轻松的享受与需要克服一些困难的思考紧密交织起来,基本在每一小节之后都安排了思考问题,这些问题大多与前面的内容有较密切的关系,其中有一些可以说是具有一定难度的,这是编著者刻意安排的一些制高点和暗堡,目的是使读者的思考有质量,同时也为使读者最后可以得到实在的收获,因此所有的问题最后都提供了解答.

具有初三至高中的数学基础即可理解本书第一章和第三章前七节的内容,而理解第三章最后两节,则需要包括二次剩余在内的系统的初等数论知识,这些知识可在书后的参考文献中找到.

本书对有关问题的处理采用了最新的资料.例如,关于斐波那契数的平方因子问题,一开始是一个猜想,到了1964J.H.E.CohnThe Fibonacci Quarterly杂志上发表了一篇文章,题为Square Fibonacci numbers,终于解决了这一问题,其大部分证明都是比较初等的,但其核心引理仍需用到二次剩余的理论. 同时文章的长度也有5页之多.30年后,这一问题已成为熟知的结果,以至有人又在The American Mathematical Monthly杂志每期末尾的问题与解答栏目中以问题的形式重提此题,解答仅需1(The American Mathematical Monthly问题10844).其核心结果是证明了除了n=1之外,其他奇数项的斐波那契数都不可能是一个完全平方数,以此为基础,利用“好的因子”这一概念就使其余的证明十分简单了,本书则用此方法解决了一大批类似问题.目前国内一些研究者还不知此结果,因而证明这些问题时所用的方法显得十分繁琐.不过问题10844的解答中所用的方法虽然简单,但是如何想出来却仍很难揣摩,属于那种可看懂却自己想不出类型的结果.

本书也包括了编著者自己所获得的最新结果和研究问题时得到的一些副产品,例如,第一章第1.16节中的一个巧妙公式,这一结果现已在《数学研究与评论》杂志2010年第2期上发表.

我喜欢轻松与享受,例如,倾听优美的音乐与品尝可口的美味,但是许多科学实验已经证明,永远的“轻松与享受”的代价就是寿命的减短,因此生物的本性需要在“轻松与享受”和“劳累和克服”之间来回振荡.我认为,如果一本书能在轻松之间让读者对某种对象产生了兴趣,虽然是一种成功,但如果到此为止,就有些不够.这就像一位人士被你说的胃口大开,正想去实际品尝一下,却不知餐馆在何处一样.所以我的愿望是既让你有了胃口,又要能让你吃到一些真实的菜.即使这道菜以你目前的水平还不能享受,但是经过努力学习后,就随时可以享用了.

最后我想回答一个问题,就是学习数学是需要吃一些苦的,需要克服一些困难的,克服这些困难实际是对自己的一种磨炼,是自己对自己的强制与要求.于是有的人就要问,那你为什么要受这种苦?值得吗?回答是爱是不需要任何理由的,甘愿吃苦的原因和动力来自对数学的喜爱,就因为你就是这种人,你的回报就在于每一次你得知答案时的满足和享受.

你可以不受这些苦,但你也就体会不到那种快乐.最后,我以一首可能很拙劣的小诗作为结束.

美丽的数学女神

你就像一个蒙着神秘面纱的美丽女神,�

面纱的后面总是闪着宝石的光芒;�

红宝石,蓝宝石,绿宝石,�

多姿多彩,吸引我去摘取.��

 

但是当我想揭开这面纱,�

摘取这迷人的宝石的时候,�

我却发现,�

这里有很多机关,�

我必须,先回答一些问题,�

找出答案后,�

才能获得你的微笑.

随着你的微笑,�

一颗带着芳香的小宝石,�

轻轻落入我的手心.

啊,多么美丽、雅致,�

像有一股可口的清泉,把我滋润.

我用一个精致的盒子将这宝石收藏,�

作为永久的纪念.��

 

我是这样贪心,�

得到一颗宝石后,�

还想摘取第二颗,�

而你的问题就更加困难.��

 

随着我收藏的宝石的增多,�

这困难就成了折磨,�

但我甘愿忍受你的折磨,�

因为,不让我忍受你的折磨,�

本身就是一种更大的折磨.��

 

这宝石,我不时拿出来欣赏,�

每当这时,就是我最大的快乐.

不要问我,�

这宝石值多少钱?�

可能在你看来,它一钱不值,�

但是对我来说,�

它是无价之宝.��

 

美丽的女神,�

经过一生的追求,�

我才知道,�

你的魅力,�

就在于,�

蒙在你脸上的面纱,�

永远不可能彻底揭开.

但是,你又是那样慷慨,�

只要对你追求,�

就有无穷的宝石,�

会随着你的微笑,�

再次落到我的手中.

所以,我要永远追求你,�

永远忍受你的折磨.��

本书中插图、漫画由冯东东创作、制作,特此致谢.��

 

冯贝叶

2009年年底于北京大学燕园6公寓

 

 

 


  

【目  录】

第一编  数学拼盘――数学的故事和问题

第一章  数学的故事和问题  3

1.1  一个计算两位数乘法的小诀窍  3

1.2  另一种计算乘法的小诀窍  4

1.3  白痴天才的故事  6

1.4  神奇的生日预测卡片  6

1.5  整数中的魔术“等式”  7

1.6  整除的判别法则  9

1.7  魔方阵  12

1.8  一个纸牌戏法  19

1.9  想象中的抽象空间  20

1.10  语言、逻辑和策略  33

1.11  对策和计算机下棋,人工智能  44

1.12  根式的戏法  55

1.13  国际象棋棋盘的奥妙  64

1.14  特殊角的三角函数和三角形中的三次式  72

1.15  整数的分解  89

1.16  相空间和动力系统  105

1.17  关于“最”的一些特性  130

第二章  第一章问题解答  137

第二编  斐波那契魔方

第三章  关于斐波那契数的故事和问题  191

3.1  什么是斐波那契数  191

3.2  斐波那契数的初等性质  194

3.3  比内公式  198

3.4  曾经见过,现在又见到,也许今后还会再见  204

3.5  斐波那契数的数论性质()  226

3.6  斐波那契数的数论性质()  230

3.7  欧几里得算法的步数最多是几  233

3.8  有关斐波那契数的一些数学问题  235

3.9  特殊形式的斐波那契数  253

第四章  第三章问题解答  260

   

附录A  模的奇迹  275

附录B  不动点和费尔马定理:处理数论问题的一种动力系统方法  282

附录C  斐波那契时钟的长周期日  288

附录D  跳舞的小精灵和欧几里得算法眼光中的花朵  296

编后语  311

参考文献  317

 

 


  

【编    语】

《纽约时报》曾报道过一件让人尴尬的往事――大约40年前,时任英国外交大臣的乔治・布朗在秘鲁参加一场招待会时,颇有醉意的他邀请一位穿着紫色飘逸长袍的宾客跳舞,却被断然拒绝.据说,那位宾客当时是这样回答的:“第一,你喝醉了;第二,这不是华尔兹,而是秘鲁的国歌;第三,我不是女人,而是利马的红衣主教.”�

这本书是冯贝叶先生为我们工作室写的第四本书,仿那位主教的回答,我们说:第一,冯先生书写得很好;第二,这不是一本实用型图书,而是一本‘闲书';第三,我们不是商人,而是数学文化的传播者.

下面来解释一下这三句话.

2006年被中国图书评论学会及全国27家相关媒体评为优秀书评作者的上海交通大学科学史系主任江晓原说:回顾我自己40年来的阅读感受,可以归纳为一句话:好书越来越多,快感越来越少.

好书是什么样,有什么标准判别吗?这个问题很难回答,因为评价的角度不同.出版者眼中的好书一定是要么有名(能够获得国家图书奖,“五个一”工程奖等大奖)的书,要么是有利(能给出版社带来高额利润)的书.经销者眼中的好书自然就是销售排行榜中的前几名.而读者心目中的好书则是读之有饥时觅食、寒中索衣之感,最起码也要是能够带来阅读快感的书,就像江先生“老猫书房”中的那些书都可归入此类.那么什么是闲书呢?

董桥说:“不必做研究不必求学问真好.买书玩赏装帧,读书为了消遣,写作不计毁誉,这样美丽的颓废人老了才有缘消受.

所以现在真正写闲书、读闲书的人是中老年人,他们已脱下了人生的战袍,不需要再去争抢什么,这时候倒有闲情逸致去写点或读点闲书.我们这里看到的这本书就是一位老人写的,但却不是主要为中老年读者写的,而是为数学爱好者写的.中国各类爱好者很多,早期最多的是无线电爱好者和文学爱好者,随着经济社会及消费时代的到来,这些人群都不见了,但随着人们闲暇的增多和无聊感的出现,数学爱好者却逐渐多了起来,除了那些一天到晚想着要证明哥德巴赫猜想和费马大定理的“民科”之外,大多数属于爱读点数学闲书的数学爱好者.

怎样读书是个老生常谈的问题,似乎谁都可以说上几句,但我比较认同何兆武先生的观点,他认为自己读书杂乱无章,漫无目的,没有一个中心方向.在他看来,读书不一定非要有个目的,而且最好是没有任何目的.读书本身就是目的,读书本身带来内心的满足,好比一次精神漫游,苏小和还特别以北大与联大为例说明在读书领域提倡无为而治,可能比有为而治更有效果.他说:“蔡元培时期的北京大学人才辈出,西南联大时期更是培养了一批世界级大师,就是最好的见证.”表面上看,这两个时期的学院教育松散,自由自在,在今天看来,简直是学校疏于管理,可是学生的知识结构,内在气度却臻于完美.

其实,在生活中我们都是自以为很有生活常识的人,我们谁都不会相信,如果大家都按某位专家给出的“营养配方”安排自己的一日三餐的话,会让自己百病不生.中国古人的经验是杂食,不问功效,但求美味可口.其后的食物营养组合自有天算,这不是一个简单的问题,人算不如天算.学习读书也是如此,大可不必预先规定收益,再安排读什么,读多少,怎样读,这样无疑是将一个人生乐事变成了一个苦差事.

世界上各个民族都把学习看成苦差事,中国的所谓“头悬梁,锥刺股”就是苦读的生动写照,日本和中国类似,把“做学问”叫做“勉强”.“勉强”这个词反映了无论是在学校,还是在私塾,日本孩子每天的学习生活都是“痛苦”的.

不仅是中国和日本,整个亚洲都存在过度的竞争压力,都把儿童和少年训练成了学习和考试的机器,就连韩国的围棋班招收的小棋手都必须住在老师家,从早到晚为升段做艰苦的准备,这种为父母,为家族,甚至为民族争光的强烈愿望及功利心将许多人生美好的享受化为苦役,如何改变这种状况?最好的办法是去功利化,用真心来喜爱.

张爱玲在《倾城之恋》里让范柳原说,如果哪天所有的文明都毁掉了,他们两个在一堵墙下相遇,那时“也许你会对我有一点真心,也许我会对你有一点真心”.大概只有当所有理性的建构都不复存在,所有功利的目的都不可达成,人才能抱着一颗真心来爱.

在数学竞赛选手的培训中,我们可以看到这两种态度的差别.我们的选手往往是教练给多少做多少,给什么做什么.西德的前任教练,二战时的独臂英雄恩格尔(Engle)曾讲过一个例子,有一次他从欧拉没发表过的笔记中选了一道他也作不出的题目让其学生做(后来俄罗斯一本杂志发表了一位数学家用代数数论给出的证明),结果只有一个学生作出,过程只有短短的几行.恩格尔没有看懂,遂要求其写出详细过程.两星期后,学生交卷,恩格尔大吃一惊,因为这叠厚厚的解答不仅包含了这个问题,还顺便解决了近4 000个其余训练题.这就是非功利,真热爱.

书评人韧选在评论《我是白痴》(王淑芬,二十一世纪出版社,2009)时有一段文字:从不承认自己能看懂这个世界,这个由“人”组成的世界,在这个世界里,钢筋水泥浇注而成的大厦不是恐怖的对象,真正恐怖的是这些所谓“高智商”正常人的“正常思维”.他们在轻蔑、冷淡的眼神中挑选着对自己有用的“朋友”,然后以一切皆“我”的心机,射杀一个又一个自己攀升路上的异类.这个世界里,没有关心、热爱、同情等温暖的字眼,有的只是利益、假面、争抢等冷酷的行为.

这种极端现实、功利、狭隘的心态投射到阅读上,最后的阅读生态将会是一地鸡毛(应试类教辅),其余的“寸草不生”,所以作为一个出版者最需要做的就是引导读者,找到自己对数学的真爱.

复旦大学中文系副教授严锋在《作家是怎样炼成的》一文中指出:“从某种意义上说,鲁迅还是对的.一个对文学没有爱,没有天赋,没有生活的人,上100堂哈佛的文学写作课也没有用.”�

冯贝叶先生对数学是有真爱的,按常理辛苦一辈子到退休年龄,应琴棋书画,含饴弄孙.冯先生在写作之际,外孙女诞生,冯先生很忙乱,但坚持写作,像欧拉一样,怀抱孙儿,埋首数学.有人戏言,老年人是有儿子成儿子,有孙子成孙子,但冯先生首先做回了自己,一个热爱数学,并从中体会到乐趣的老知识分子.冯先生的另一个优点是坚持己见,这可能是中科院人的共同特质,和陆柱家先生相同,冯先生要求附录中的参考文献维持原貌,故文字编辑未按标准进行修改.这样的人在我们的作者队伍中大有人在,如天津商学院的吴振奎先生.吴先生毕业于南开大学数学系,著述等身,多年从事数学文化传播,近期我们正在酝酿出版多部吴先生的作品.吴先生身居陋室,不计报酬,醉心数学,颇似佩雷尔曼.据俄罗斯媒体2010321日报道:俄罗斯圣彼得堡市44岁天才数学家格里高利・佩雷尔曼由于成功破解著名的“庞加莱猜想”而在4年前被国际数学家大会授予有“数学诺贝尔奖”之称的数学界最高荣誉――菲尔兹奖,日前美国克雷数学研究所又将奖金高达100万美元的“千禧年数学大奖”授予佩雷尔曼.然而,佩雷尔曼压根不在乎这些全球数学家梦寐以求的数学大奖,他在4年前曾拒绝领取菲尔兹奖,从而创下了菲尔兹奖的历史先例――成了该奖设立70年以来第一个拒绝领奖的人.这一次,佩雷尔曼对美国“千禧年数学大奖”和100万美元拒之门外,从而再次创下世界数学史上的一则先例.

佩雷尔曼生活很贫困,仅靠他母亲的退休金过活,目前住在圣彼得堡一间旧房子中,屋内仅有一张床,一张桌子和一把凳子,以及邻居们赶出来的蟑螂,但他说:“I have all I want(我已经拥有了我想要的一切).”�

另一位令我们敬佩的人物是艾萨克・阿西莫夫,他的整个生活似集中于他的打字机边.他的日常生活如下:6时起床,7时半坐在打字机旁,连续写作,直至晚上10时,这种习惯难得打断,他写书越来越快.他的前100种书在20年内写完;其次100种书在9年半内完成;再次100种书于6年内完成,那是1984.在其后的8年中,他完成了最后200种书.至于他除了写书之外,还是否有时间去看书,只有天晓得.毫无疑问,他是为科普痴狂之人.

有人对现代中国文人中最擅长引经据典,摘字取词的钱钟书先生有种误解,认为他总是东抄西抄,没什么自己的见解.其中以钱钟书晚年笔记《容安馆札记》为甚,这本书从头到尾除了引文还是引文.其实这种书最难写,虽旁征博引,却环环相扣,让不同的文章和书籍在自己书出来的范围里相互发明、相互碰撞,就像一个指挥正在驾驭庞大的管弦乐团一样,你能说一个指挥不玩乐器就不算音乐家吗?整个乐团就是他的乐器.

20世纪德国大思想家本雅明最大的心愿就是要“写一本完全由引文组成的书”.早逝的他当然成就不了这等伟大的宏图,唯钱先生庶几近之.

这本书中除了极少数涉及冯先生自己的工作外,多数为资料收集和整理,虽无创见但很有趣,要慢慢品味.最近有一本书引起人们的关注,那就是意大利人佩特里尼写的《慢食运动》(尹捷译,新星出版社出版).它里面讲:世界目前所呈现的加速度,使我们的生活、工作和思想一直都以加速的节奏在运行,这加剧了现存的扭曲状况,我们周围的复杂状况严重到要压垮我们.自从速度成为现代生活的信条,我们为了生存,被迫把那些看起来降低我们速度的东西都抛弃掉.现代人必须要重新获得智慧把自己从速度中解放出来,否则就会让自己沦落为濒危物种,慢,在今天是一种价值,社会开始把它看成是一种迫切需要.

本书中所收集到的那些数学珍闻都是我们从一本正经的教科书中找不到的,但还不是八卦类.比如报纸曾报道:英国沃里克大学教师彼得・巴克斯在最近发表的论文《为何我没有女朋友》中,用数学方法算出找到适合人生伴侣的概率.用公式得出,地球人找到真爱的概率是28.5万分之一,这个公式由著名的“德雷克方程”演变而来,原本是为了计算银河系中外星文明的数量.

这类东西有趣也似乎有理但最多可算做茶余饭后的谈资,而冯先生所收集的素材大多是数学中一些精致的小品,用现代的划分多半可以算做数学美学或大而广之纳入到数学文化的范畴中.一般从事这类图书的写作既要有高深的数学理论功底,否则极容易以讹传讹,上一些貌似高深的伪科学的当,又要有较好的文字功底,否则极易变成用汉字叙述的数学公式.本书另一部分是斐波那契数列及相关问题.在《地理学报》2007年第6期载有一篇贾文毓(山西师范大学城环学院教授)的文章.他发现中国城市环路的分布是有规律的,中国城市环路由外而内的间距之比符合黄金分割数(ω=0.618 033 988)或其倒数(1/ω=1.618 033 988),根据间距比值可将中国环路分为ABC三种类型:A型标准比值为1/ωB型标准比值为ωC型在纵()向上标准比值为1/ω,在横()向上标准比值为ω,而ω则是相邻两项斐波那契数之比的极限值.

这是一个由趣味数学问题(兔子问题)发展起来的一个庞杂的数学分支,由于它与数学各分支及科学各领域联系之广以至于美国为它专门创办了一个刊物就叫《Fibonacci季刊》.为了配合冯先生这部作品的出版,我室预先邀请了首都师范大学的周春荔教授翻译了俄罗斯青年数学丛书中的《斐波那契数列》.

曾有读者问,我将来不准备从事数学工作,那么读这些数学书有何用呢?那我们倒要问你准备从事什么工作呢?IT?

IDC研究公司的分析师加里・陈曾说过:“除去谷歌,威睿恐怕是微软现在最为惧怕的公司.”而这个公司的领导者就是“云战略”的提出者保罗・鲍睿.他毕业于南非开普敦及纳塔尔大学,所学专业就是数学和计算科学.所以学数学的人是不会吃亏的,在你的人生路上总会有一段甚至是关键的一段,它会帮到你.其实人们对数学就像对书一样,如果不花成本和代价肯定是多多益善.美国纽约公共图书馆世界闻名,但所藏图书被偷很多.每年到该馆借图书者共130万人,该馆全部书架行列共长88里,它的参考资料室1990年共接到235 404个询问电话,奇怪的是最常问的一个问题竟然是:“哪一本书最常在书架上找不到?”换句话说就是哪本书被偷得最多?我想该不是数学书,因为它难读.

还有读者会问我如果连科学工程都不准备从事,学习数学也有益吗?

2003年西班牙奖金最高的文学奖(奖金60万欧元)普兰塔奖被阿根廷小说家吉列尔莫・马丁内斯(Guillermo Martinez)夺得,他的获奖得之于小说《牛津谋杀案》(The Oxford Murders)(该小说已被译成多国语言,并在2008年被拍成电影).1962年出生的马丁内斯毕业于布宜诺斯艾利斯大学,获数理逻辑博士学位.

其他领域中学数学出身的人也屡见不鲜,流行歌手周华健是台湾大学数学专业毕业.现在正在放映的《爱丽丝梦游仙境》的原作者Lewis Carroll是英国数学家、逻辑学家.诺贝尔文学奖的获得者,俄罗斯作家索尔仁尼琴(Alexander Solzhenitsyn)早年在罗斯托夫大学获得数学和物理学位.种种迹象表明,数学在以某种神奇的方式帮助人获得成功.

2008年度诺贝尔文学奖得主勒克莱齐奥再次访问中国时,给中国年轻作家的建议是:

不要为一个小小的荣誉做出让步;不要因为别人给你一个甜头,或者一个光环,你就去接受所谓领导或高层的握手;不要因为接受了一个体制,而失去了你自己的灵魂,这是作家最重要的态度.

这又回到了开始的三句话,我们作为出版人,不能仅仅是个商人,对数学传播有益的事我们要做,哪怕是冒一点经济上的风险,但是即使有这样的想法也不一定会做好,为了获得成功,我们采用的是走专业化道路,坚持数年只做一类产品.

林凯先生在一篇评论王元化先生《清园近思录》的文章的结尾写到:�

一个人一生中要想参透一件东西很难,参透首先要有很高的鉴赏力,鉴赏力来源何处,我以为还是熊十力说的,要“沉潜往复,从容含玩”.只有这样才能看得深,想得深,思考得深.否则,对一事一物的理解也只停留在泛泛知道的水平上.

对某件事一定要有特殊的热爱,像有人评说藏书者云:藏者,欲也,癖也.癖者,病也.鲁迅有诗云:“有病不求药,无聊才读书.”是一种境界,我们出版人也需要到达类似的境界,才能有所作为,在之前的编后记中我曾为数学工作室定下出版100种图书的目标,现在看来是太缺乏自我挑战性和紧迫性了.应本着一万年太久,只争朝夕的精神去做.国际法的创始人格劳修斯(Grotius)是个神童,8岁时就用拉丁文写诗,11岁进入莱顿大学,14岁拿到博士学位,15岁出使法国,晚年去瑞典讲学,在回法国的途中遭遇海难,体力耗尽,在一个岛上去世.临死前他说了一句话:“By understanding many things. I have accomplished nothing.他很遗憾,自己死得太早了,虽然知道许多事,但没有做成一件事.我们都不是神童,也不知道太多知识,但格劳修斯告诉我们要尽量多做事,少留遗憾.

最后我们期待冯老的这部书能像彼得・梅尔(Peter Mayle)的《普罗旺斯的一年》一样,虽率意而为,但在市场不胫而走,获得大卖.

 

刘培杰

201061日于哈工大

 

 

   
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