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书名:《世界著名平面几何经典著作钩沉――几何作图专题卷(下)》 英文书名:
丛书系列: 中外几何经典系列 图书编号:∑80
作者:刘培杰 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-3141-6 开本:787mm×960mm 1/16
版次:2011年1月第1版 2011年1月第1次印刷 印张:45.5  字数:805 千字千字
定价:88.00 元元 页数:

 

内容简介

本书共分六编,分别为:第一编D・希尔伯特论平面几何作图问题,第二编F・克莱茵论平面几何作图问题,第三编И・И・亚历山大洛夫论平面几何作图问题, 第四编Л・И・别列标尔金论平面几何作图问题,第五编考斯托夫斯基论尺规作图,第六编平面几何作图问题散论,及附录。

本书适合大学生�中学生及平面几何爱好者。

 

 


  

【前  言】

尺规作图问题绝不是初等数学爱好者的袖珍玩具,其中蕴含着人类理性思维的大智慧.社会对其重视程度可以从美国数学家B・波尔德(Benjamin Bold)在其著作《Famous Problems of Geometry and How to Solve Them(有中译本)的序言中窥其一斑.

19636月,美国政治与社会科学研究院主办了一次关于数学与社会科学的讨论会,会上提交论文的作者之一――奥斯卡・摩利根斯坦(Oscar Morgenstern1902?)曾与约翰・冯・诺伊曼(John Von Neumann19031957)一起撰写了《博弈论与经济行为》(Theory of Games and Economic Behavior)一书.该书促进了数学在解决经济学问题中的应用,导致了数学“博弈论”的发展.摩利根斯坦博士在此次大会上所发表的论文被称为“数学在经济学中应用的极限”.这篇重要论文的第一段是这样的:虽然人类智慧得出的一些深刻见解以否定的形式得以最好的表述,但是以绝对的方式来讨论应用的极限是极其危险的.这些见解包括不可能存在永动机,光速不能被超过,只用直尺与圆规不能化圆为方,不能三等分角,等.

这些命题中的每一个都是大量脑力劳动的成果,所有命题都是基于几百年的研究工作,或者依据大量的经验证据,或者依据新数学的发展,或者二者兼而有之,虽然是以否定的形式表述的,但是这些命题和其他的发现都是真正的成就,并且是对人类知识的巨大贡献,所有这些都涉及数学推理,某些知识实际上属于纯粹数学范围,纯粹数学富有大量禁令性的与不可能的命题.

除古希腊学者外最开始对几何作图感兴趣的是阿拉伯人.如阿拉伯数学家阿布・韦法(Abul Wefa940998)写过一本《技工学校学生必须掌握的几何作图》,他率先研究了用直尺和一支“张口”固定的圆规作图;他作出了与三个相等正方形的面积和相等的正方形的边.

另一位阿拉伯数学家阿尔・比鲁尼(al-Bīrūnī,973―约1050),是第一个向印度学者介绍古希腊数学与天文学著作的人,并把这些著作译成梵文.在《纪念历代先哲》一书中,记述了许多珍贵的数学史料,介绍了三等分任意角,立方倍积及为解三次方程而确定正九边形边长的问题,阿尔・比鲁尼是中亚著名学者,比较知名的著作是《印度记》.

那个时期在世界范围内阿拉伯学者十分活跃,法拉比(al-Frrbi,870950)写出了《问题的源泉》(Fontes quaestionun),《论理智与知性》(De intellecto et intellectu)(拉丁译).阿拉伯经院学者莫塔卡里姆(Mutakalimun)活动在这一时期,当时还出版了一本由51篇论文组成的百科全书《纯粹的兄弟》(Ichwan as-saf).

根据现有的资料看,在历史上最先明确提出尺规限制作图的是伊诺皮迪斯(Oenopides,约公元前465),他生于希俄斯,大概属于毕达哥拉斯学派,根据欧德莫斯的记载,伊诺皮迪斯发现了下面的作图法:在已知直线的已知点上,作一角与已知角相等.如不限工具,则轻而易举.

其他一些涉猎几何作图的数学家有:

康赛(Konsai,18051880)日本数学家,他的著述甚丰,有15篇较为著名,其中详细地研究了平面几何作图问题,提出了许多有趣的平面作图题.

马尔法蒂(Malfatti,17311807)意大利数学家,毕业于柏伦诺大学,1771年起在斐拉拉大学数学系工作,1803年他提出并成功地解决了著名的马尔法蒂问题:在一个已知三角形内画三个圆,使每个圆与其他两圆及三角形两条边相切.

莫尔(Mohr,16401697)丹麦数学家,他于1672年发表了《丹麦的欧几里得》一书,书中指出凡能用直尺和圆规作的图,可以只用一只圆规完成.1673年又发表了著作《奇妙的欧氏纲要》解决了关于欧几里得作图的有关问题.大约时隔100年之后,马歇罗尼又重新提出并解决了这类问题,于是与之相关的一些论断现在都称为莫尔-马歇罗尼定理.

平面几何作图三大不能问题有多种解法,因为难处是工具的限制,如不限工具或不必遵守作图公设,三大问题是可以解决的.事实上,早在古希腊时代已有各种各样的解法,正因为只有冲破尺规的限制才能解决问题,所以常常使人闯入未知的领域里去有新的发现:门奈赫莫斯为了解倍立方问题而发现圆锥曲线便是最突出的例子,还有蒙蒂克拉(J.E.Montucla,17251799)的割圆曲线(Quadratrix),尼科米迪斯(Nicomedes,约公元前250)的蚌线(Cochoil),埃拉托塞尼方法,狄俄克利斯(Diocles,约公元前190)的蔓叶线(cissoid)方法可解倍立方问题和三分角问题,德国数学家阿德勒(Adler August,18631923)的《几何作图》中专门论及这些方法.

从现代人的眼光看当时的著作难免会产生轻视的倾向,但要放到历史背景中看则会清楚其价值,著名美国天文学家纽康(Simon Newcomb,18351909)在《一个天文学家的回忆》中告诉我们,弗吉尼亚大学有个研究生,坚持认为几何学家假定直线没有厚度是错误的,根据此观点,这位老兄发表了一部中学几何课本,得到了纽约一个有影响的学校官员的认可.结果,此书被接受(或几乎被接受)为纽约公立中学的课本.

在近代,著名数学家中研究过平面几何作图问题的人更多,如韦达、笛卡儿、费马、斯吕空(R.F.de sluse,16221685)、维维阿尼(V.Viviani,16221703)、惠更斯、牛顿等都提出过解法.俄罗斯数学家中也有多人研究过平面几何作图问题,如阿列克山德罗夫(Alexandrov,18561919)1878年毕业于彼得堡大学,先后在唐波夫、莫斯科工作,著有《解决几何作图问题的方法》;奥勃列伊莫夫(Obreimov,18431910)毕业于喀山大学,曾流亡瑞士,著有《三大难题》(1884);奥斯特罗格拉德斯基(Ostrogradskiǐ,18011862),俄国彼得堡科学院院士,著有《初等几何教程》,其中有很大篇幅讨论了几何作图问题;切特维鲁欣(Chetveruhin,18911974)1915年毕业于莫斯科大学,并留校深造,1918年成为教授,著有《中学几何教程的教学法和几何作图法》(1946).

受西方科学的影响,在洋务运动、“五・四”运动的推动下,像平面几何作图这类无明显实际用途的知识也逐渐开始在中国普及,如下列几位:

吴在渊(18841935)是中国一位自学成才的数学家和数学教育家.吴在渊主张:“中国学术,要求自立”,并身体力行大力倡导讲演、翻译、编纂、著述的“自立之道”,他翻译了大量的外国数学著作,如《几何作图题解法及原理》.

徐建寅(18541901),字仲虎,中国清代无锡徐寿之子.他在引进西方科学技术方面做了很多工作,他与英国人傅立雅合译了《运规约指》3卷,此书专讲几何作图问题.

杨作枚,字学山,中国清代无锡人,他是杨定三的孙子,也是梅文鼎学术上的挚友.他为梅文鼎的《弧三角举要》增补了《解割圆之根》1卷,较系统地论述了有关正多边形的证明和作图方法.

近年中国数学家中关注尺规作图问题较多的是曾昭安,其为留美博士(哥伦比亚大学),曾任武汉大学教授,著有《直尺与圆规作图不能问题》.及至后来有许纯舫、梁绍鸿等也研究过这一问题,但都没有专门的著作问世.

中国在民国及新中国成立前数学界对几何作图问题十分关注,从当时流行的几个数学刊物的文章中可见一斑.

北高师(北京高等师范学校)的《数理杂志》(Mathematical and Physical Magazine,创刊较早(创刊于1918年元月),其中刊登数学论文较多,其中涉及几何作图的有四篇文章,如下:

1.三等分任意角之器械的方法,张永荣,三卷二号.

本文共提出三个方法.

2.用曲线三等分任意角之法,倪德基,三卷四号.

文章中首先解释能与不能问题,然后提出了十种作图法,这十种方法,用的工具不是圆规直尺,而是用曲线.

1)巴普斯(Pappus)所载之法.

2)笛卡儿(Descartes)之法.

3)牛顿(Newton)之法.

4)克来罗(Clairout)之法.

5)夏尔(Chasles)之法.

6)希丕斯(Hippias)之法.

7)聂苛默德(Nicomedes)之法.

8)用蚌形线之法.

9)用巴斯开蜗形线(Limacon of Pascal)之法.

10)用角等分曲线之法.

3.用曲线解“立方倍积问题”之方法,郦禄琦,三卷一号.

本文提出了十一种解法:

1)用二抛物线之方法.

2)用抛物线及双曲线之方法.

3)聂柯米特(Nicomedes)之方法.

4)狄阿克来司(Diocles)之方法.

5)笛卡儿(Descartes)之方法.

6)格里高利(Gregory)之方法.

7)柏拉顿(Platon)之方法.

8)阿波罗尼(Apollounius)之方法.

9)维惠泰之方法.

10)牛顿(Newton)之方法.

11)阿基米德(Archimedes)之方法.

4.作平行二直线分圆面积为三等分,余忻文,三卷三号.

这篇文章可分为三段:前段是华蘅芳先生对此题的研究,中段是本题的解法,后段为四条附注.

前段:此为吾国华蘅芳先生所拟之几何学验证题与亘古有名之三等分任意角及立方倍积等题同类均非欧几里得作图法所能解决.至清宣统二年八月为无锡周道章先生应用旋轮线解出.周先生字文甫,为华士之门人.华氏致力于数理,造诣甚深,而仅以自娱,不求闻于世.除幼年有《球面三角学》一小册外,他无著述.先生民国四年卒于北京,曾任北京各高等学校教授十余年,月薪颇丰,而身后萧条,斗室中陈东西文数学书籍数百册外,他无长物.此等积学之士,在晚近学风日趋浮嚣时代,急宜表而出之,以为模范.不佞从先生习教,在宣统初年,颇蒙不弃,许为同党中可造之材.尝闻之先生云,华先生欲将英人Jaib氏所著之《Elementory Treatise on Quateraious》译出,未竟而卒,卒时将残稿检付道章,嘱为赓续,年来迫于教务,无暇握管,吾子他日当续成之,以竟华先生未竟之志,且可一新吾国数学界之耳目.不佞于数理初涉藩篱,对于此类世著,不敢轻易问津.徒负师言,思之颜汗.仅将先生对于上题之解法,介绍同好,当日系得自先生口授,并无笔录.至此题是否为华先生所创,或前此已有疑而解之者.不佞阅西文书甚少,未能臆断,同志有知之者,祈即录示,甚乐闻也.

中段:图解,推证.

后段:附注1.用蔓叶线可解立方倍积问题,又蚌线可三等分任意角为历史上有名题,正与此同类.

附注2.此题用欧几里得作图法不能解亦须证明,参照日人林鹤一氏之初等几何作图不能问题及Kiein'sFamous Problems in Elementary Geometry.

附注3.嵊县裘翰兴氏著《解析几何讲义》,将此题采人,盖裘亦尝受业于周先生者.

附注4.日本三上义夫氏将其国人研究数学之论文,各自杂志中摘出,译为英文,名《The Mathematical Papers from the Far East.其用意并非专为谈数,实借以夸耀其国人之文化,他如远藤利贞氏所著之《日本数学史》以及东京天文台年报亦为英文,均系急于自见之意.周先生造诣似远在彼国长泽、上野氏之上,至华先生则更非彼之所能颉颃,而在我国则湮没无闻,此则我辈之责也.

《科学》杂志是我国早期著名刊物,华罗庚先生“论苏家驹之代数5次方程之解法不成立之理由”即刊登于此,由此被熊庆来发现.我们在哈工大图书馆中存有的1915年到1922年的落满灰尘的旧纸堆中发现了有关几何作图的4篇文章,篇名、作者、卷号如下:

1.等分角曲线,饶立之,五卷八期.

2.三等分角之又一法,顾世楫,六卷三期.

3.三等分角之又一法,饶立之,六卷九期.

4.三等分角之又一法,李蔡三、彭荫宗,七卷四期.

创刊于1914720日的《学生》杂志,每月一刊,到192210月其出版了100.这本杂志中的数学文章,绝大多数是中学生写的,但也有几位是高校学生.

另两篇为:

1.圆内接正多边形之画法与证明,江苏第一工业学校学生,潘承谟,三卷八号、十号、十一号.

有正五角形,正六角形,正七角形,正九角形,正十角形,正十一角形,正十二角形,正十三角形,正十三角形别法,正十四角形,正十四角形别法,正十五角形画法.其中正七、九、十一 、十三、十四角形,都是近似作图.

2.几何分积之三四问题,江苏第一工业学校机械本科生,莫荪,二卷七号.

本文中有四个几何作图题,是等分三角形或四边形面积问题.

1)由三角形内一点,引一直线,以二等分此形.

2)由三角形内一点,引二直线,以三等分此形.

3)由四边形内一点,引一直线,以二等分此形.

4)由四边形一边上之定点,引一直线,以二等分此形.

3.任意角之三等分法,胡学愚,三卷十号.

作者说:顷阅美国科学报,载一作法,其所用器械,仅界尺与两侧脚规二物.说颇新颖.兹译述如次.……

抗日战争和解放战争时期,我国数学期刊的出版工作处于低潮,但仍有探讨几何作图的文章出现,如广州中国数学会出版的《数学教育》(季刊)在19473月到19476月间只出版了两期,其中就有一篇专门谈几何作图的摘录,如下:

阿基米德(Archimedes)三等分角法及由其图形所直接推得之三角恒等式,胡金昌,载于《数学教育》19473月第一卷第一期第12.

“用圆规界尺,不能三等分一任意角”.此乃定理,故再不必考虑其可能.其不可能之原故,大致如下:直线之方程式为一次,圆之方程式为二次,而特殊者,即其二次项限x2+y2,故其诸轨迹之交点,只能产生二次方根,故作图之可能程度亦此二次方根为限.三等分一任意角,引起三次方程式.故出乎作图可能程度之外.

本书的出版从教育方面说是数学教育多元化及弱化应试教育呼声日益强烈的结果,也是读者阅读口味多样化及数学科普广泛化的结果.回顾一下三大作图问题产生的背景对目前出版环境的理解是有益处的.雅典兴起之时,奴隶占国家人口的大多数,劳动力并不缺乏,这就在有闲阶级中产生了一种强烈欲望,要求有某种形式的文化,作为社会的或政治的帮助.一批职业教师满足了这个要求,这些教师感到执教是光荣的,并且以此为生,他们对“国民”教育产生了广泛兴趣,顺带便普及了数学,在现代数学普及做得好的是波兰.

1992Jean-Pierre kahane在巴黎的波兰科学院科学中心讲演时说:事实上,波兰数学的成就是其民族自豪感的一个因素.今天,像罗马尼亚或越南这些穷国为他们在国际数学竞赛中所取得的成就自豪.也许在数学上达到最优比在高能物理上容易些,因为后者需花大笔资金建造粒子加速器,数学可以既是普及的,也是精英的.

可是在波兰,数学是以另一种形式成为普及的,那里有高度通俗化的伟大传统.例如,亚尼谢夫斯基(Janiszewski18881920)的《对自学者的建议》以及斯坦因豪斯(Steinhaus18871972)的《数学万花镜》.我回想起1983年在国际数学家大会上,有过一次会议讨论大众数学,一般的想法是,不是要大家什么都懂,而是要没有人对数学园地感到陌生.

数学之普及除了唤起人们对数学的热爱,还会告诉人们什么是已经解决的了,什么是不可解的.

一个没上过学的人费尽心力去三等分任意角,化圆为方,将立方体加倍,证明平行公设,发明永动机或抗引力屏,一点儿也不奇怪.一个当选的政治家想做这些事情,也不奇怪.可是我们一定会奇怪,一所著名大学的校长竟然也做过那些事情.

1931年,匹兹堡迪肯(Duquesne)大学校长卡拉汉神父(Reveraend Jeremiah J.Callahan)发表了三等分角的一个尺规作图法,毫无疑问,它是错误的.

数学史家梁宗巨教授指出:时至今日,三大问题可以说已彻底解决,可是仍然不断有人试图用尺规法解,他们不了解问题的实质和它的历史,白白浪费了许多时间和精力,这是很可惜的.当然很多人不知尺规的限制,用其他办法解决,但那已经不是我们所提到的问题了.直线和圆有自我重合的特性――就是说,直线的每条线段都和其他同样长度的直线段全等,每段圆弧都和其他同样长度的圆弧全等.还有一种曲线也具有这样的性质,即圆螺旋线.德・摩根说过,假如欧几里得允许用这三种曲线来构造几何图形,我们也就不会听说不可能的三等分角、倍立方和化圆为方问题了.

本书是一部世界几何名著的汇集,用美国数学家Terence Tao在《(New Series) of the AMS(Vol.44(2007),No.4.623634)上发表的一篇题为《什么是好数学?》中的观点说:好的数学诠释性文章包括关于一个适时数学专题的详细并富于信息的概述或者是一个清晰并极具启发性的论述,文章是如此评价标准,书也亦然,不过这样的书译起来更难,远远超过纯专业书,但此事有意义,值得一干.

据吴大任先生回忆:“文化大革命”中,曾有红卫兵问我:“你将来准备干什么?”我说:“翻译数学书.”他们说我要求太低了,我说:“不低.我有一定的数学基础,汉语基础和外语基础,所以有条件做这件事;另外,这是一项有意义的,必要的,也是为人民服务的一种形式.(南开人文库《吴大任教育与科学文选》崔国良选编,南开大学出版社,389)

本书的上卷出版之后,有读者来电建议在前言中介绍一下所选大家之简历.这并非笔者有意疏忽,而是当时将读者定位于数学圈内之人,而所选篇目作者又都是大名鼎鼎的知名人物,所以没能一一介绍,下面我们择其要补于后.

上卷第一编原作者为爱尔兰著名数学家凯西(Casey John, 1820512日―189113日),生于科克(Cork)郡,卒于都柏林,曾就学于三一学院,获得过都柏林大学、爱尔兰皇家大学(Royal U.)的荣誉学位.18621881年执教于金斯敦(Kingstown)和天主教大学,后执教大学学院,曾受到挪威政府的嘉奖.1875年成为皇家学会会员,爱尔兰皇家科学院院士.研究三次变换,圆锥曲线,欧几里得问题等.几何地解决了庞斯列(Poncelet)定理,著有多部平面几何、三角学的著作,第一编是其中一本.

上卷第二编原著者为丹麦著名数学家佩忒森(Petersen Julius1839616日―191085日),生于索勒,卒于哥本哈根,17岁进入哥本哈根工学院,后转入哥本哈根大学学习,1871年获博士学位,同年任教于哥本哈根工学院,1887年任哥本哈根大学教授.佩忒森所编写的数学教科书在丹麦影响甚大,他最重要的贡献是正则图(Regulargraphs)理论(1891.

上卷第三编原著者是日本著名数学家和数学史专家林鹤一(Hayashi Tsuruichi1873613日―1935104日),他生于德岛(Tokuschima,毕业于东京大学,曾任东京高等师范学校教授,东京大学教授,编辑过多种数学教科书.1911年创办《东北数学杂志》,在和算方面作出了很大贡献,著有《和算研究集录》(1937)等书.

上卷第四编原著者是德国著名数学家库朗(Courant Richard 18881月�8日�―1972127日)和美国著名数学家罗宾逊(Robbins Herbert 1915~).库朗生于波兰的卢布林(Lublin,犹太血统,早年在布雷斯劳(Breslau)和苏黎世学习.1907年到哥廷根成为希尔伯特的助手.1910年获博士学位,1920年被聘为哥廷根大学数学教授,19241929年,在他的主持下,筹建了哥廷根数学研究所,该所很快成为德国乃至世界数学研究的中心.

罗宾逊生于宾夕法尼亚州,1935年获哈佛大学学士学位.1938年获该校博士学位,1974年获普渡大学名誉博士学位.他先后在北加利福尼亚大学、哥伦比亚大学任副教授、教授.他是美国国家科学院院士,美国艺术与科学院院士.

下卷第一编原著者为德国著名数学家大卫・希尔伯特(Hilbert David 1862123日―1943214日).希尔伯特生于普鲁士柯尼斯堡(Knigsberg,今俄罗斯的加里宁格勒)的韦洛(Wehluu,卒于哥廷根.1880年希尔伯特进入柯尼斯堡大学,1885年,希尔伯特取得博士学位,1892年任该校副教授,次年升为教授.190088日,希尔伯特应邀出席在巴黎召开的第二届国际数学家大会,发表了著名的“数学问题”(Math Ematische Probleme)的演讲,提出了23个尚待解决的数学问题,后被称为“希尔伯特问题”.它像是通向未来的窗口,从中可以隐约地看到数学未来的情景,其重要性不言而喻.几何基础的重建是希尔伯特另一重大成就.两千多年前,欧几里得给出世界上第一个几何公理体系,但《几何原本》存在很多缺点,希尔伯特在1899年发表了《几何基础》(Grundlagen der Geometrie)才真正给出了完备的欧几里得几何公理系统,为现代公理化研究树立了榜样.

下卷的第二编原著者为德国著名数学家克莱因(Klein Christian Felix,1849年�425日―1925622日),他生于德国杜塞尔多夫(Düsseldorf),卒于哥廷根,1865年进入波恩大学学习,第二年被选为普吕克教授的助手.两年后,普吕克去世,克莱因继续完成他尚未写完的线几何学著作,取得一系列新的成果.1868年,克莱因获得博士学位,为进一步深造,他到哥廷根、柏林、巴黎等地访学.1871年初,克莱因取得哥廷根大学的讲师资格.本书所选是克莱因的《几何三大问题》(Three Geometric Problems,商务印书馆,1933年),在这本书中对古希腊留下的三大作图问题作了严格而又系统的分析.

阅读本书容易,但解其中的题目是要花一点时间的,但这极易成为人们抛弃本书的理由.

著名数学家孔涅(Alan Connes1947)在接受Catherine Golds tein George Skandalis访谈时回忆说:在那时我们一直在做平面几何的练习,我们习惯于花掉整个晚上去为这些题目冥思苦想,可是现在,如果你在考试卷上出了同样的题目,你将被你的学生称为杀手.

爵士乐手通常有两个基本目标:一是创造不落窠臼的音乐,令人无从得知下一步的走向;二是以全新的方式来传承古老的真理,赋予人阐幽探微的乐趣,本书的出版也有两个基本目标:一是给图书市场提供一点新鲜的“旧货”,给满足热点的书架增加一个冰点;二是以怀旧的方式勾起当年的年轻读者,忆往昔峥嵘岁月稠.

 

刘培杰

2011年元旦

 

 


  

【目  录】

第一编  D・希尔伯特论平面几何作图问题

第一章  根据公理Ⅰ~Ⅳ的几何作图    1

第一节  利用直尺和长规的几何作图    1

第二节  几何作图能否用直尺和长规作出的准则    5

第二章  希尔伯特的《几何基础》和它在本问题发展的历史中的地位    12

第一节  作为物理学的几何学    12

第二节  作为数学的几何学    14

第三节  欧几里得的《几何原本》    16

第四节  欧几里得的第五公设和非欧几里得几何的发现    17

第五节  非欧几里得几何学在关于几何基础的问题里的意义    19

第六节  希尔伯特的前驱者    20

第七节  希尔伯特的公理系统(公理组Ⅰ~Ⅳ)    22

第八节  连续公理和非阿基米德几何    25

第九节  本编内容概述.第三和第四章:非阿基米德的度量几何学    28

第十节  内容概述.第五和第六章:非阿基米德的射影几何    32

第十一节  内容概述.第七章:非阿基米德的作图理论    35

第十二节  无矛盾性的问题    36

第十三节  关于公理的独立性    38

第十四节  关于附录    40

第二编  F・克莱茵论平面几何作图问题

第三章  代数作图的一般情形    43

第三编  И・И・亚历山大洛夫论平面几何作图问题

第四章  基本问题及可直接解出的问题    49

第五章  作图问题及其解法    60

第一节  轨迹法    69

第二节  论相似形及相似中心    92

第三节  圆的相似中心    95

第四节  相似法    96

第五节  相似法习题    103

第六节  逆求作    107

第七节  图形变换法    108

第六章  代数应用到几何上    137

第一节  应用三角来解几何问题    145

第二节  论用圆规直尺解几何作图问题的可能性    148

第七章  混合例题    155

第八章  单用圆规的作图法    166

第一节  司坦纳氏作图法及双边直尺的直角规的或锐角规的作图法 170

第二节  三次及四次方程式的根的作图    176

第九章  具有不可即点的问题    179

第十章  HB・那乌莫维奇的解法提示与补充    184

第四编  Л・И・别列标尔金论平面几何作图问题

第十一章  基本概念    203

第一节  点与直线的相互位置    203

第二节  直线上点的顺序    204

第三节  直线划分平面    205

第四节      207

第五节  三角形    208

第六节  凸多角形    210

第七节  一般形状的多角形    212

第八节  有向线段和有向角,平面定向    215

第九节  线段及角的相等    218

第十节  特殊形状的三角形及多角形    221

第十二章  图形的相等,圆周    223

第十一节  三角形相等的基本特征    223

第十二节  关于角的相等和三角形的定理    226

第十三节  三角形的边的不等和角的不等    229

第十四节  垂线,直角三角形    233

第十五节  圆周,圆周与直线的相交    235

第十六节  两圆周的相互位置    237

第十七节  利用圆规和直尺作图    239

第十八节  任意形式的图形的相等    242

第十九节  两种相等图形    246

第十三章  平行线    248

第二十节  平行线的概念    248

第二十一节  平行公理    249

第二十二节  三角形与多角形的内角和    251

第二十三节  基于平行公理的圆周性质    251

第二十四节  简单的轨迹    253

第二十五节  轨迹作图法    255

第二十六节  内接及外切多角形    258

第二十七节  正多角形及半正多角形    260

第二十八节  平行射影    262

第二十九节  三角形及四角形的某些性质    263

第十四章  移置及对称    267

第三十节  移置的概念    267

第三十一节  直线反射    269

第三十二节  平移,旋转    270

第三十三节  移置的分类    274

第三十四节  移置在作图题中的应用    277

第三十五节  移置的乘法    280

第三十六节  对称    282

第三十七节  三角形及四角形的对称    285

第十五章  关于线段比例的几何的研究    288

第三十八节  引言    288

第三十九节  线段比例的定义及其性质    288

第四十节  相似三角形,相似的特征    291

第四十一节  平行射影的基本性质    294

第四十二节  作图    295

第十六章  长度及角的测度    297

第四十三节  线段长度的概念与测度单位可通约的线段    297

第四十四节  线段测度的一般理论    300

第四十五节  测度理论的逆转问题和解析几何学的基本原理    304

第四十六节  线段长度与所选定的测度单位的相关性    306

第四十七节  公式的齐次性    308

第四十八节  二线段的比    310

第四十九节  关于角的平分线的定理    311

第五十节  角的测度    313

第五十一节  圆周的长度    314

第五十二节  圆弧的长度    317

第十七章  面积    318

第五十三节  组成相等的多角形    318

第五十四节  等积多角形    321

第五十五节  关于等积的基本定理    323

第五十六节  毕达哥拉斯定理    325

第五十七节  多角形变形问题    328

第五十八节  多角形面积的测度    329

第五十九节  面积测度及等积    336

第六十节  多角形的“划分”问题    337

第六十一节  圆面积    342

第十八章  位似及相似    344

第六十二节  位似的定义及其性质    344

第六十三节  三个每取两位似的图形,相似轴    346

第六十四节  梅涅劳斯定理    348

第六十五节  圆周的相似中心及相似轴    350

第六十六节  位似在作图题上的应用    354

第六十七节  欧拉线    359

第六十八节  二相似图形的一般情形    360

第六十九节  两种相似    362

第十九章  度量关系    367

第七十节  一般概念,表示法    367

第七十一节  斯德槐定理    369

第七十二节  三角形的内切、旁切及外接圆的半径和高的计算    371

第七十三节  塞瓦定理    375

第七十四节  欧拉公式    377

第七十五节  轨迹    380

第七十六节  简单代数式的作图,二次方程式根的作图    382

第七十七节  黄金分割    387

第七十八节  关于由公式给定的线段的作图的一般定理    389

第七十九节  面积划分问题    392

第二十章  圆几何学初步    399

第八十节  点关于圆周的幂    399

第八十一节  根轴    400

第八十二节  根心    403

第八十三节  圆周束    405

第八十四节  作图题    408

第八十五节  与二已知圆周相切的圆周    411

第八十六节  阿波罗尼问题    414

第八十七节  关于反演的概念    417

第八十八节  直线及圆周在反演时的变换    419

第八十九节  反演的基本性质(角度持恒)    421

第九十节  反演在定理证明中的应用    422

第九十一节  反演在作图题中的应用    424

第九十二节  有向圆周    426

第九十三节  膨胀    429

第九十四节  膨胀在作图题中的应用    432

第五编  考斯托夫斯基论尺规作图

第二十一章  单用圆规的作图    437

第一节  关于单用圆规解几何作图题的可能性、基本定理    437

第二节  单用圆规解的几个几何作图题    442

第三节  反演及其基本性质    452

第四节  反演法在圆规几何学中的应用    455

第二十二章  有限制条件的圆规作图    461

第五节  开脚上方受限制的圆规作图    461

第六节  开脚下方受限制的圆规作图    472

第七节  开脚一定的圆规作图    475

第八节  所有圆通过同一点的圆规作图    476

第六编  平面几何作图问题散论

第二十三章  用直尺和圆规作图    483

第二十四章  几何作图的一些基本概念    498

第一节  关于作图公理    498

第二节  关于“解”的概念    501

第三节  关于解题的四步骤    503

第四节  两个例子    506

第二十五章  几何作图不可能问题    510

第一节  几何作图问题的意义    510

第二节  几何作图问题的起源    511

第三节  初等作图可能与不可能的判定    513

第四节  初等作图不可能的实例    517

第五节  几何作图问题的演变    519

第二十六章  三大几何作图不可能性简史    522

第二十七章  初等几何作图工具和作图公法问题    536

第一节  单边直尺和开闭自如的圆规的作图公法    536

第二节  开闭自如的圆规的作图公法及与尺规作图公法的等价值(摩尔-马斯克洛里式的作图)    537

第三节  直尺和一个给定的已知圆心的圆的作图公法,及与尺规作图公

法的等价性(庞司勒-司坦纳的作图)    540

第四节  双边直尺(平行尺)的作图公法及其与尺规作图公法的等价性 544

第五节  结论    546

第二十八章  司坦纳的作图    548

第二十九章  用定开角规及直尺的作图法    554

第三十章  关于“已知三条定位的角二等分线和边上一定点,求作这三角形”作图的定论    561

第三十一章  关于“过圆上已知二点作两平行弦使其和等于定长”一题解法的补充   570

第三十二章  解几何题应该注意的两个问题    573

第三十三章  黄金分割三角形    579

第三十四章  用作图的方法来求轨迹    587

第三十五章  谈谈一道经典尺规作图题    593

第三十六章  折纸和尺规作图    597

第三十七章  求π值的几种圆周的古典近似作图法    603

第三十八章  谈谈平面几何中的“三大难题”    609

第三十九章  规尺作图问题的余波    616

第四十章  “生锈圆规”作图问题的意外进展    629

第四十一章  正五边形的一种简易近似作图法及其改进    649

附 录

附录Ⅰ  初等作图问题    659

附录Ⅱ  几何作图    672

附录Ⅲ  等分圆周法    680

附录Ⅳ  圆锥曲线的几个有趣的作图问题    684

附录Ⅴ  从三等分角谈起    688

第一节  古代三大几何作图难题    689

第二节  几何问题代数化    690

第三节  伽罗瓦的工作    692

第四节  关于化圆为方问题    696

第五节  结束语    696

后记    697

 

 


  

【后  记】

何为“钩沉”

书名对一本书的成败至关重要,法国哲学家萨特的成名作开始投给了伽利玛出版社.他非常重视这部小说的创作,花了四年时间,彻底修改了三次,自认为非常出色,并用自己最喜欢的画家丢勒的一幅版画的题目《忧郁》来作为小说的名字,但是遭到了拒绝.后经伽利玛出版社社长加斯东建议改了一个书名,叫《恶心》,遂出版,并引起轰动,并因此被人们誉为是法国的卡夫卡,一时间名声大噪,在文坛迅速蹿红.

认为书一定要有一个名字是现代人的一种思维方式.世界上最早的数学文献,在底比斯埃及古都的废墟中发现的阿梅斯(Ahmes,约公元前1700)纸草书(由于是由英国人莱因特所收藏,所以也称莱因特纸草书,现存不列颠博物馆).但这些都不被认为是书名,倒是卷首的一句话“获知一切奥秘的指南”被认为是书名.科学出版社最近出版了印度古代和中世纪最重要的数学家、天文学家婆什迦罗(Bhāskara,1114―约1185)的最有名的著作《莉拉沃蒂》(Lilāvati).

Lilāvati的原意是“美丽”,为什么一本数学书要用这样的书名?这是因为流传着一个故事.这本书后来在印度莫卧儿帝国统治者阿克巴(Akbar,第三代皇帝,15561605在位,文化的庇护者)的授意下,命斐济(Fyzi,1587)译成波斯文.据斐济记载,莉拉沃蒂是婆什迦罗女儿的名字,占星家预言她终身不能结婚.婆什迦罗(他自己也是占星家)为她预卜良辰的到来.他把一只杯子放在水中,杯底有小孔,水从小孔慢慢渗入,杯子一旦沉没,便是佳期降临之时.女儿带着好奇心去观看这只杯子,这时一颗珠子从首饰上落到杯中,恰巧堵塞漏水的小孔,中止了杯子的下沉.于是莉拉沃蒂“命中注定”永不出嫁.婆什迦罗为了安慰女儿,便以她的名字命名这本书,并说:“你的名字将同这本书流芳百世,荣誉是人的第二生命,是永生的基础.

这一类故事的真实性如何,不得而知.古人(特别是占星术家之类)好故弄玄虚,编造一套逸事,使其神秘化,以示与众不同,也未可知.但有一点是肯定的,就是古人常常把著书立说当成人生的一件大事.特别是数学论著,因为由于印刷条件的限制能印的书就非常稀少,而懂数学的又少之又少,所以艰深怪异不可避免,钩沉一词指探索深奥的道理或散失的内容.

为什么要“钩沉” 

这绝不简单的是为弘扬科学.哲学家海德格尔认为,19世纪以来的科学理性也只具有工具的意义.在工具理性的支配下,任何科学活动正如海德格尔所说的那样,都成了一种“企业活动”.在他所理解的“企业活动”中,每一个岗位的科学家都受过专门的训练,他们各自都在自己的专业范围内忙忙碌碌,然而又井然有序.于是乎,以教养为己任的学者淡出了,被技能型的研究专家所取代.“企业活动”的实质在于制度化,制度化使得智力资源与经费得到了合理的配置,从而使总体的效率达到了前所未有的高度.在这里,所有的研究者都被一股无形的力量挟持着,去做一项连自己都不知道为什么的工作.他们的目标似乎就是不遗余力地得到某个研究项目,对他们来说,要到这笔钱,仅仅是为了能要更多的钱.

搞出版的人都知道.一本书要出版会有人先问你读者群在哪里?什么人来读?为什么读?要回答这些问题往往很尴尬.因为在中国,学校中除了考试书没有其他具有充分理由的必读之书.社会学家郑也夫说:现在的社会太功利了,从老师到学生.如果有的老师是功利的,你玩你的,我玩我的;如果多数学生也是功利的根本不热爱学术,就是混个学分,真的就非常无奈了,你一点办法也没有,你怎么办?……没有多少人喜欢学术,没有多少人.……古典风格的退出,社会的世俗化和功利化,社会越来越不重视游戏本身而极端地重视胜负.这种胜负至上文化导致出版业的跟风与浮躁.

数学史专家、辽宁教育出版社社长兼总编辑俞晓群对此有深刻认识.他说:因为出版本身就是以贩卖文化为生的,不亲近文化,不研究文化,不扶持文化,我们将来还能贩卖什么?尽管坚守文化经常被嘲笑为抱残守缺,食古不化,但是如果不坚守文化,便要丧失出版的文化根本,那才是连饭都吃不上了.

本书的潜在读者即便不要求是博览群书型,起码也要是开卷有益型,有人说:背教科书长大的一代,学术上很难自立.到过欧美的,都惊叹其中小学乃至大学教育之“放任自流”,可人家照样出人才.像咱们这么苦读,还不怎么“伟大”,实在有点冤……课余的自由阅读及独立思考,方才是养成人才的关键.

何人需要“钩沉”

我们设想的潜在读者多少有些被社会“边缘化”的倾向.有文学爱好者说:米兰・昆德拉等人不过是二流小说家,一流小说家是卡佛.但卡佛却说:谁要是写小说,就等于把自己处于世界的阴影之中.其实,谁要是持续地看小说,又何尝不在阴影之中?那些与现实交流不畅的人才会沉迷于虚拟的世界.但正是这群人的存在给了编辑做书的信心.如果都是功利之徒,小说的艺术早就该消失了.土语说:猫走不走直线取决于老鼠.编辑的品味从某种程度说是读者“纵容”的.我们最理想的读者是读书杂而多的爱书者.清朝初年徽州人张潮说过:“凡事不宜贪,若买书,则不可不贪.”所谓贪,是指那些博学之士因学术涉猎面极广,常感“书到用时方恨少”,故而在看到好书时便极难自律.读者应若是,编辑又何难!

《读书》杂志2009年第2期中有一篇曾昭奋的文章,题目是《寻找北大,回望清华》,其中谈到了一个人,叶志江,1963年考入清华数学力学系,他在数学方面显露出的才华远远超过当年的杂货店小伙计华罗庚(我想该文作者远不具做出此等评判的资格,姑且如此认为).然而,同一个清华大学,在20世纪30年代培养了华罗庚,却在20世纪60年代毁掉了叶志江.今天,当叶志江回望40多年前的往事时说:“我已年过花甲,也离开大学圈子多年,我早已醒悟到在科学研究中做出重要贡献需要一个人潜心以求,潜心不下来是不行的.‘文化大革命'前的‘政治思想'工作使我们这一代人无法‘潜心',它所产生的后果之一,便是几十年中若大中国几乎没有培养出在科学史上占有一席之地的人物……今日清华学子中会有人能不受环境之诱惑而潜心于书斋吗?

在中学阶段本该潜心科学却承受升学压力,在大学阶段本该潜心学术却忙于就业,一来二去心境乱了,兴趣没了.丘成桐在《我学习数学的经历》中谈到:那些年通过“站书店”看了不少书籍,因为当时图书馆的藏书都很有限.广泛的阅读使我获得了许多同学甚至老师都不知晓的信息,让我感到非常自豪,欣喜自己掌握了朋友们都没有的“秘密武器”――更多的新知识.

丘成桐至今还记得当年的一道尺规作图题,用了半年多时间寻找可能的做法,但都失败了.

一直自以为擅长解决此类问题.这次却迟迟找不到答案,所以颇感沮丧.最后,从一位日本数学家的著作中得知:仅用尺规,该问题无解.

不“钩沉”将会如何  

有人说现在的文人,毛病在于所学太狭,不够广博,其程度犹不及抗战时期,原中山大学中文系教授黄家教曾感叹:“父亲生我们七个儿子,每个孩子学一门专业,都不及父亲的学问好.真是一代不如一代哦.(参见林伦伦,《〈黄际遇先生纪年文集〉序言》载于陈景熙,林伦伦编《黄际遇先生纪年文集》,汕头大学出版社,2008).黄教授的父亲黄际遇先生,抗战中任中山大学数学天文系主任,可他同时在中文系讲授“历代骈文”课程,这样的奇才,现在不可能出现.

其实许多貌似截然不同的行业其对人才能的要求是相近的,如果哪个数学家一旦改行做了小说家,定会出现一些惊奇――这怎么可能呢?希尔伯特认为那太简单了!那人缺乏足够的想象力做数学家,却足够做一个小说家.

社会学家郑也夫在接受《新周刊》采访中谈及教育时说:“古典教育是教育贵族如何生活,琴棋书画;工业时代的教育是教人怎么生产;后工业社会的教育,一部分教人如何生产,另一部分教人如何生活,教人如何下围棋,如何赋诗,乃至如何做饭.这是教育的组成部分,在国外还是有的,在我们这里一点都没有,就是教人怎么生产,生产是有限度的,生产到一定数额的时候就够了,我们一点也不教学生生活,教育这么搞下去,就是无聊”.

我们的教育中充满了太多的应试技巧,考试也是有限度的,总会有考完的时候,这种不顾一切的应试教育使学生们对科学之求索,研究之艰辛,发现之喜悦变得陌生而漠然.

如何“钓沉”

钓沉如同钓鱼在钓上来之前无法预测鱼的大小.1942年为支持抗战中的中国科技的发展李约瑟博士代表英国皇家学会来到中国,在这期间他收到了《自然》杂志和BBC的邀请,请他谈一下自己的旅行感想,李约瑟在BBC寄来的信件上用潦草的笔迹写下了这样一行字:中国的科学为什么总体不发达.这便是日后著名的“李约瑟猜想”.

他回国后立即给剑桥大学出版社写信表示要写一本部头大的惊人的历史书,信中说:“这是英国皇家学会会员李约瑟所著的一本书的初步方案,这本书不是写给汉学家,也不是写给普通民众,而是写给所有受过教育的人,不管他们是不是科学家,只要他们对与人类文明史相关的科学史、科学思想史和技术史,特别是对亚洲和欧洲发展对比研究感兴趣,就都可以阅读.

这本书的结果大大超出了李约瑟的想象,即使他已经知道自己将要面对的是一项浩大的工程,但是在他的想法中,工程的浩大与否也只是影响到一本书的厚薄程度而已.他没有想到,《中国的科学与文明》会是一套超过24卷本的系列图书,而且仍在不断的出版,就像布尔巴基学派的《数学原本》一样,而且在李约瑟去世之后这项工程还在继续.我们数学工作室的“钩沉”计划也是如此,最早是应读者之请求找一点关于几何作图方面的资料,由于几何作图在中学中已间断了几十年,所以只有在故纸堆中才会有所发现,哪知一作便不可收.

有人对如此小题大作颇有微辞,以为当前数学教育界有那么多“热点”及“大问题”可抓,为什么偏偏抓这些冷僻的小问题,殊不知这洽是做学问之大境界.

据著名物理学家,中科院院士何祚庥回忆,在一次由青年同志举办的在中央宣传部一个内部座谈会上,许立群同志谈到在历史研究领域内的考证工作.如我国著名历史学家陈寅恪曾花了大量时间去考证杨贵妃在入宫以前,是否是处女的问题.这当然被某些人斥之为“无聊”,可是许立群同志却指出:唐玄宗和杨贵妃本来是一种扭曲了的婚姻,是封建皇帝凭借特权硬要从他的儿子那里抢夺过去的一种婚姻.可是过去的封建史学家为了“论证”这一掠夺的合法性,就硬说杨贵妃仍是处女,陈寅恪先生以大量的史实考证了杨贵妃并不是处女,这就一方面揭露了封建统治者的宫庭生活的腐朽;另一方面却揭露了封建史学家的真正的无聊.

(何祚庥著《元气、场及治学之道》,华东师范大学出版社,2000)陈寅恪一生没搞过大问题,偏偏是这些貌似刁钻的小问题树立起他“教授中的教授”的崇高学术地位.

在网络时代有人质疑我们,网上有海量资料,一搜便得,用得着汇集成书吗?

纽约的文学经纪人安德鲁・威利曾说:“我们把96%的时间花在讨论只占出版业4%的数字出版上,我怀疑,越垃圾的书,越可能转化为电子书.对那些想保存长久的,你肯定会去买一本实体书”.而且我们可以很负责地说,本书中的任何部分都不会在网上搜到.打个比方,网上那些资料仅仅能满足一般的爱好者,而我们面对的是“发烧友”.

在一篇《朱熹的历史世界》的读后感的结尾有这样一句:收拾铅华归少作,摒除丝竹入中年.朱熹所云读书之法――“宁详毋略,宁下毋高,宁拙毋巧,宁近毋远”这不仅是读书之法,简直是做书之道,我们不妨将其作为数学工作室的座右铭.

 

刘培杰

2011年元旦

 

 

 

   
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