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书名:《世界著名三角学经典著作钩沉(平面三角卷Ⅱ)》 英文书名:
丛书系列: 中外几何经典系列 图书编号:∑78
作者:《世界著名三角学经典著作钩沉》编写组 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-3090-7 开本:787mm×960mm 1/16
版次:2010年10月第1版 2010年10月第1次印刷 印张:18.5  字数:322千字千字
定价:38.00元元 页数:

 

【内容简介】

本书共有五部分,分别为绪论,第一编基本公式,第二编对数表、三角方程,第三编三角形的解法,第四编与复数相关的内容.

本书适合大、中学师生及三角学爱好者阅读参考.

 

 


  

【目  录】

    有向线段、投影    1

§1  定义    1

§2  合矢    1

§3  载在一条轴上的有向线段    3

§4  定理    3

§5  定理    5

§6  投影    5

§7  定理    6

§8  定理    7

§9  定义    8

第一编  基本公式

第一章  弧与角    13

§10  圆弧的度量    13

§11  问题    13

§12  定向圆    15

§13  定向弧    15

§14  定理    16

§15  等余式    17

§16  定理    19

§17  定义    19

§18  定理    20

§19  总结    20

§20  加法    21

§21      22

§22      23

§23  定理    24

习题    24

第二章  三角线的定义    25

§24  定义    25

§25  余弦    25

§26  余弦值的变化    26

§27  正弦    27

§28  正弦值的变化    27

§29  注意    28

§30  正切    28

§31  正切值的变化    29

§32  余切    30

§33  余切值的变化    31

§34  注意    31

§35  正割    32

§36  正割值的变化    32

§37  注意    33

§38  余割    33

§39  余割值的变化    33

§40  注意    34

§41  各三角线的符号表    34

§42  一个角的三角线    35

§43  两轴间的角的余弦    35

§44  基本定理    36

习题    36

第三章  三角线的反演    37

§45  问题的提出    37

§46  余弦与正割的反演    37

§47  正弦与余割的反演    38

§48  正切与余切的反演    39

§49  注意    40

习题    40

第四章  补弧、余弧等各线之间的关系式    41

§50  引论    41

§51  定理    41

§52  定理    42

§53  定理    42

§54  定理    43

§55  注意1    44

§56  注意2    45

§57  问题    45

习题    46

第五章  同弧各线间的代数关系式    47

§58  基本关系式    47

§59  定理    47

§60  定理    48

§61      49

§62  定理    49

§63  定理    49

§64  注意    50

§65  其他关系式    51

§66  应用    51

§67  问题    52

§68  问题    53

§69  pπ/n的三角线的计算    54

§70  定理    54

§71      54

§72  应用    55

习题    57

第六章  弧的加法与减法    58

§73  问题的提出    58

§74  两弧的和    58

§75  sina+b)的计算    59

§76  tana+b)的计算   61

§77  两弧的差    61

§78  多条弧的和    62

§79  通式    62

§80  前提    63

§81  证明    64

习题    65

第七章  弧的乘法与除法    67

§82  问题的提出    67

§83  弧的乘法    67

§84  一般情形    67

§85  弧的除法    68

§86  问题    69

§87  问题    72

§88  问题    76

§89  定理    77

§90  除以4816等的除法    78

习题    79

第八章  和、差化积的变换    81

§91  正、余弦的积化成和、差    81

§92  正、余弦的和、差化成积    82

§93  应用1    83

§94  应用2    83

§95  应用3    84

§96  正切的和、差的变换    86

§97  应用    86

习题    87

第二编  对数表、三角方程

第九章  三角线的近似值    93

§98  定理    93

§99  定理    93

§100  定理    94

§101  注意    95

§102  定理    97

§103  cos 10″与sin 10″的近似计算    98

习题    99

第十章  对数表的作法    100

§104  辛浦生公式    100

§105  化简    101

§106  验算    102

§107  注意    102

第十一章  对数表的格式和用法    104

§108  三角表的类型    104

§109  对数表的格式    104

§110  对数表的“差”格式    105

§111  对数表的用法    106

§112  问题1    106

§113  问题2    107

§114  逆问题1    108

§115  逆问题2    109

§116  注意    111

习题    111

第十二章  化一式为可用对数计算    112

§117  问题的提出    112

§118  和的变换    113

§119  A-B的变换    114

§120  注意    114

§121  一般情形    115

§122  有理式    116

§123  无理式    117

§124  注意    117

§125  二次方程的三角解法    118

习题    124

第十三章  一元三角方程    126

§126  概论    126

§127  问题    127

§128  问题    132

§129  问题    132

习题    134

第十四章  三角方程组    136

§130  概论    136

§131  问题    136

§132  注意    137

§133  方程内含未知角本身的情形    139

§134  问题    139

§135  问题    140

习题    141

第三编  三角形的解法

第十五章  直角三角形    145

§136  记号    145

§137  定理    145

§138  定理    146

§139  总结    146

§140  直角三角形的解法    147

§141  第一种情形    147

§142  第二种情形    148

§143  第三种情形    148

§144  第四种情形    149

§145  实际计算的格式    149

§146  非典型的情形    154

§147  问题    154

§148  问题    154

习题    155

第十六章  关于斜三角形的公式    156

§149  定理    156

§150  定理    157

§151  定理    158

§152  总结    159

§153  三组的等价性    160

§154  定理    163

§155  定理    164

习题    166

第十七章  斜三角形的解法    168

§156  典型情形    168

§157  第一种情形    168

§158  第二种情形    169

§159  第三种情形    173

§160  第四种情形    177

§161  内切圆的半径    180

§162  外接圆的半径    181

§163  实际计算格式    181

§164  非典型的情形    186

§165  问题    186

§166  问题    187

§167  问题    189

§168  一般注意    190

§169  1    191

§170  2    192

习题    193

第十八章  各种应用    196

§171  凸四边形    196

§172  问题    197

§173  高的测量    200

§174  问题    201

§175  绘制测图    202

§176  问题    203

§177  问题    203

§178  三角测量    204

§179  图面的问题    205

习题    206

第四编  与复数相关的内容

第十九章  虚数的三角表示    211

§180  虚数的几何表示    211

§181      212

§182  辐角    212

§183  虚数的三角形式    213

§184  问题    214

§185      215

§186  定理    217

§187  积与商    218

习题    220

第二十章  棣莫佛公式:弧的加法、乘法与除法    221

§188  加法    221

§189  乘法    223

§190  弧的乘法通式    224

§191      225

§192  除法    226

§193  三等分法    226

§194  问题2    229

§195  问题3    230

§196  注意    232

§197  一般情形    234

§198  问题2    237

§199  问题3    241

习题    243

第二十一章  虚数的m次方根――二项方程    244

§200  虚数的m次方根    244

§201  二项方程    245

§202  定理    246

§203  定理    247

§204  定理    247

§205  原根    248

§206  定理    248

§207  定理    250

§208  定理    251

§209  定理    252

§210  正多边形    254

习题    256

第二十二章  三次方程的三角解法    258

§211  二次方程    258

§212  三次方程    259

§213  代数解决    259

§214  三角解法    263

§215  第二种情况    264

§216  第三种情形    266

§217  直接解法    267

§218  数字的例子    269

习题    273

编后语    274

 

 


  

【编 语】

三角说易也易说难也难,有名人经历为证:�

法国数学家棣莫佛(Abraham Demoivre16671754)曾经对牛顿早期研习数学的经历做过彻底的研究,他觉得牛顿学习数学似乎是杂乱无章的.1727年,棣莫佛在备忘录中这样写道:

1663年,牛顿在斯陶尔布里奇的集市上购回一本占星术的书,他想知道那里头究竟都说了些什么.当他读到一幅星空的图形时,他根本看不懂.因为那需要具有三角学的知识,于是他去买了一本讲三角学的书来看,然而又看不懂三角运算,便再去找来一本欧几里得的著作,希望学到一点三角学的基本知识.然而,他只不过把一些名词定义看了一遍,就认为那东西太简单了,还奇怪为什么有人要写书中的例题来自我满足呢!(迈克尔・怀特.最后的炼金术士――牛顿传.陈可岗,译.北京:中信出版社,200474).但另一位天才人物就没那么幸运了.

在美国著名心理学家爱德华・霍夫曼博士给人本心理学的先锋亚伯拉罕・马斯洛(19081970)所写的传记《马斯洛.传――人的权利的沉思》一书中(有中译本.许金声,译.北京:华夏出版社,200317-18.)写到:在大学的第一个学期,马斯洛有一门难以对付的学科――三角学.它是所有要获得学士学位的理科学生的必修课.马斯洛“不喜欢,瞧不起,甚至讨厌”这门课.他以一种对待自己不喜欢事物的特有态度来对付它,干脆不去上课,在期末最后考试前,他靠的是最后一个晚上拼命的死记硬背来应付考试.他曾用这种办法闯过了在男子高中里的各种难关……

由于三角学不及格,以及艺术、化学和西班牙语等必修课程仅得“中”,马斯洛在第二个学期被留班察看.

现代学者对马斯洛的评价是他是一位富有远见的学者,与他相比,大多数同时代的社会科学家都显得眼界狭隘.他在自己的一生中,曾启发了许多人,作为一名勇敢的心理学思想家,他是一个天才,但就是这样一位天才人物早年却被三角学所绊倒.

三角学以其公式多、记忆难、题目多变而著称.和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式、万能置换公式等林林总总.对付这些公式有两条途径:一是增加课本篇幅,细细讲,多多练;二是大杀大砍,将稍微难一点的公式全部变为选学,只保留必需的几个,如现在的高中教材.

但三角不像平面几何,大幅删减之后副作用短时间看不出来,三角学从高中数学开始乃至高等数学都要用,三角问题往往在你不经意间突然跳出来.以“文化大革命”后第一届数学竞赛为例.

全国试卷第二试第2(1)题是:分解多项式��

C上是

R上是

Z上是

 

据华罗庚先生介绍其第二试第2(2)题,来自下列一般问题:求整数a0, a1,,an,使三角多项式a0+ a1cosj++ an cos nj0(对一切j)且适合0< a0 < a1,a20,, an0.并使最小,求这最小值.

其中n=2,n=3时的结论被用于素数定理的证明(可参见潘承洞,潘承彪所著《素数定理的初等证明》,上海科学技术出版社)n=4时的情形被用于某些素数函数的上界估计中.

不能设想一个已经高中毕业多年,在以后从事科研的过程中用到稍难一点的三角问题便不知所措,或试图重新补三角学课程.事实上,在老一辈科学家中,三角学功底扎实者不乏其人,这可以从他们后来在其研究工作中的一系列引理的巧妙证明中看出.这与当时他们所使用的三角学教材深,题目做得多是分不开的.这也是现代中学教材三角学被删得支离破碎,不成体而广受诟病的原因之一.在中科院数学与系统科学研究院召开的纪念华罗庚逝世25周年大会上,著名数学家史济怀回忆说:“1981年华罗庚先生在中国科大举办了综合讨论班,来参加的不少是院士级的,记得当时有一个问题,最后归结到证明三角不等式,华老仍然非常认真地让大家把问题做到底.(《科学时报》总第4954期第4)在研究X射线衍射强度时利用布拉格角推导洛仑兹极化因子

时就用到三角运算,A.TaylorH.Sinclair�在对德拜-谢乐法的误差原因进行分析时,提出了一个外推函数:

.这两个式子都很经典,以至于在材料分析方面的教材中都附有专门的计算这两个函数的表.再举一个数学中的例子.

在著名代数数论专家冯克勤先生的一本四十多年前的笔记本中,记载了这样一个故事.

1964723日在华罗庚教授主持的“综合讨论班”上,讨论“拉夫伦捷夫方程”(前苏联数学家),用到以下结果:

bn为实数,且

求证:bn=0(n=0,1,2,).

这是个涉及三角级数的问题,其中用到很多三角学技巧.

事隔一周,在730日的讨论班上,北京大学闵嗣鹤先生给出了一个证明,冯克勤先生当时也以为可以给出一个证明,未果.第二天中午冯先生修补了他的证明,终于成功.后来华罗庚先生又提出了一个更简洁的证明,只有四行,华先生在给冯先生的信中写到:“……可见开始的想法是迂回曲折的,事后类多‘先见之明',能不怕曲折搞出东西来,再求直道,研究之道在焉.”由此可见华先生三角功底之深厚.

三角函数对于高等数学研究不论是在方法上还是思想上都是不可或缺的.姑且不说最著名的傅里叶级数理论.它告诉我们用三角函数可以表示任意函数(当然用其他函数也可以,只不过没有三角函数那么简洁).只谈最近非常时髦的椭圆函数.由费马大定理的获证及密码学的突然火爆,椭圆函数也随之受到关注,它与三角函数是有其渊源的.三角函数�sinz,cosz,secz等,对于任意的复数z,关系式f(z+2π)f(z)成立,同样ez满足恒等式f(z+2πi)f(z)2π与2πi可视为一个周期,若一个半纯函数f(z),具有非实数w2/w1的两周期w1, w2时,就叫做椭圆函数.

这部书是钩沉系列中的一本,是朱德祥先生的一本早期译作,三角学如同其他近代数学一样是舶来品,由西方传入.三角学于明末开始传入我国.我国最早出现的有关三角学方面的著作是耶稣会士邓玉函(Jean Terrenz,15761630)的《大测》二卷和罗雅谷(Jacgues kho,15931638)的《测量全义》十卷.这两本书都编入《崇祯历书》(16291634)中,这些著作中都介绍了西方的平面三角学知识,包括三角八线的性质、三角形的解法和一些基本公式.清初薛凤祚(15991680)跟波兰人穆尼阁(J.N.Smogolenski,16111656)学习西学,其著作《三角算法》(1653)中也介绍了正弦定理、余弦定理、正切定理和平角定理等,其中除余弦定理,均配合对数计算(本书也采用了这种安排).清初天算家梅文鼎撰有《平三角举要》五卷(1703)等著作,《数理精蕴》(1723)中进一步扩充了平面三角的知识.此后,项名达《三角和较术》(1843),陈杰《算法大成(上编)(1844)卷五、六论平三角,吴嘉善《平三角术》(1863),梅启照《学疆恕斋笔算》十卷(1870)中卷五、六、七论平三角.

同治十二年(1873)华衡芳与英国人傅兰雅合译英国华利士的《代数术》25卷,光绪三年(1877)合译英国海玛士(John Hymers,18031877)的《三角数理》12卷,平面三角第二次传入中国.这次传入的平面三角知识除了前面已传入的公式方法之外,又传入三角函数的级数展开式,棣莫佛定理及其应用等.同时,清末学者继续研究平面三角,曾纪鸿《圆率考真图解》一卷(1874),曾以几何法证明和角的正切公式等(与现今教材处理有类似).另外,还有许多人对项名达的《三角和较术》进行研究,如崔朝庆《释勾股形边角相求法》(1891),胡炳文《勾股边角图说》一册(1898),吴和翱《勾股形边角相求图解举隅》一卷(1898),周达《三角和较术解》四卷(1899),徐光熊《三角和较术图解》(1902),等等.

当时引进的三角题目有些现在仍在流传,如在《广方言馆算学课艺》与刘彝程《简易庵算稿》中都出现了一个今天常见的题目:�

已知三角形的三个角为ABC,求证:tan Atan BtanC=tan A+tanB+tanC.��

不过当时是这样叙述的:�

三角形之三角为角亢氐,其三正切连乘等于三正切相加,试证其理.中国人对三角了解得很晚,在钟敬之、张岱年、邓九平等主编的《书话文丛》(中国广播电视出版社,1991)中,一位文学家回忆说:新中国成立前,在北平一名国高男中学生因手拿一本红皮三角课本,而遭到警察逮捕,理由是,看赤色书籍,普遍的对三角无知,可见一斑.

这本书的原作者是一位世界级数学家,从事偏微分方程和泛函分析方面研究,大概介绍一下:�

C.Bourlet是法国著名数学家,他与S.Pincherle是无穷阶线性微分方程研究的两个先驱者,显然从优先权上讲是S.Pincherle在前,但是C.Bourlet的工作是独立于S.Pincherle的,实际上两者研究的出发点是相当不同的,但其结果的重要性却是相同的.C.Bourlet使用变形的“transmutation”一词来定义某类算子,并且同时引进了变形的连续性的概念,只不过他的表述不够清楚.C.Bourlet的另一项重要工作是关于具有解析系数的方程,在这方面他发表了许多文章,法国这种由成熟数学家参与编写教材的做法值得我们学习.近年我们也看到像张景中、王建磐等数学家开始介入我国中学数学教材的编写.

北京大学附属中学高级教师王鹏远在评价张景中院士的新书《一线串通的初等数学》时指出:几何、代数和三角是中学数学的三门主要课程,这三块知识是在不同历史时期形成的,作为学校的数学课程自然不能按照它们在历史上形成的顺序进行教学,而需要重新对这些内容进行精选、重组和编排,使之适合于教学和学习,一直以来的数学教学是先学几何,后学三角,也就是在引进相似三角形之后,才引进锐角三角函数,几何和代数作为两门课分开进行教学,三角则被放到高中.近年来,虽然它们作为不同的章节被合并在数学课程中,但彼此之间仍然是割裂的.张先生认为这样的学习安排,一是辛苦了几何,二是委屈了三角,三是冷落了代数,几何在缺乏工具的情况下自顾自地推理很辛苦,三角建立了有力的工具但空怀绝技不能施展很委屈,代数该用不用很受冷落.千百年来传统教学的这种安排并不适合教学和学习,需要得到重新设计和编排,张景中院士独特的设计构思是让三角提前出场,用几何引出三角,用三角推导几何,在这个过程中都要用到字母运算和代数变换,这样也就把三角、几何、代数紧密联系起来.

在目前中国所引进的外版图书中,以英语为主,日语、俄语次之,法语和德语再次之.其实就数学及数学教育来说法国绝对是一流的,但由于法国后期在世界列强中的排名日趋下滑,加之中国同时懂法语及数学的人太少,除熊庆来,余家荣,吴大任,史树中,吴新谋等少数大家译了一些高等数学教材外,中等数学和中学教材极少被转译过来,近年情况不便评论,单以20世纪初国外中等数学教

材使用最盛的时期为例,在魏庚人主编的《中国中学数学教育史》(北京:人民教育出版社,199146-51)一书中,列举了癸卯学制颁行后常见的数学教科书,我们将三角部分整理后转录如下:�

(1)平面三角法教科书,()桦正董著,仇毅译,光绪三十三年(1907),上海群益书社.

(2)普通教育平面三角法教科书,()长泽龟之助著,张修爵译,光绪三十三年,上海普及书局.

(3)最新中学教科书三角术,()费烈伯,史德朗合著,谢洪赉译,光绪三十三年,上海普及书局.

(4)新撰平面三角法教科书,()克济著,顾澄译,光绪三十三年,商务印书馆.

(5)平面三角法教科书,算学研究会编,宣统元年(1909),上海昌明公司.

(6)平面三角法新教科书,()菊池大麓译,田吾一编,王永灵译,宣统元年,商务印书馆.

(7)中学教科平面三角法,陈文编,宣统三年(1911)前,上海科学会.

(8)高等数学平面三角法,()郝伯森著,龚文凯译,宣统三年,上海科学会.

在这8本当时流行的教科书中有3本是英文的,3本是日文的,2本是中文的,但没有一本是法文的,当时的中国对三角函数已经接受,在1895年京师同文馆大考题中就有如下试题.

大,小二弧,其和,较二正弦之和乘平径之半,等于大弧正弦小弧余弦相乘积,试解之,用今天符号表示即为,求证公式

rsin (α+β)+sin (α-β)=sin αsinβ

但到了20世纪30年代,法国开始进入中国人的视野.让我们重温一下蔡元培先生在192826日的一篇演讲,是为欢迎当时的法国大使马德尔而做,他说:�

    “不久以前,我国某处有一个小学教员,命学生把他们最看得起的一个外国举出来,结果,列强及瑞士、比利时等,都得到一部分学生的崇拜,有的国家,因为它的殖民地是世界上最多;有的国家,因为它的财富是世界上第一;有的国家,因为它的维新modermisatio是世界上最快…法国也得到许多小学生的崇拜,不过小学生崇拜它,不是因为它的殖民地多,不是因为它富庶,也不是因为它能学人家,能维新,却是因为它的文化发达的成就最高,法兰西的文化,在中国小学生的眼光中,已经有这么正确的判断,那在成人的眼光中,更不必说了.所以我们今天欢迎马德尔公使,不是因为他是强大盛富的国家的代表,法国尽管是强大盛富,却是因为他是文化极高的国家的代表.”�

法国人善长数学者从中学生都熟悉的韦达、笛卡尔到大学生熟知的达朗贝尔、拉格朗日、柯西、拉普拉斯,从数论学家熟知的费马、勒让德到分析学家熟知的勒贝格、普瓦桑,从菲尔兹奖得主托姆、塞尔、格罗登迪克到赫赫有名的布尔巴基学派,可以说在数学的天空上,法国数学家灿若群星.

第一次世界大战之后,美国数学会曾让M.Bocher带队到法国考察,他们回国后得到的结论是:法国数学,优在中学.

今天我们重新出版这本教材意义重大.

百花齐放,让各色教材都能亮相,为自己的存在而辩护,这才是正常的教育环境,也是今天我们钩沉的意义所在.

 

刘培杰

20106

 

   
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