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书名:《无穷分析引论(上)》 英文书名:Infinite analysis introduction
丛书系列: 欧美数学经典著作译丛系列 图书编号:∑247
作者:[瑞士]欧拉著 张延伦译 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-3999-3 开本:787mm×1092mm 1/16
版次:2013年3月第1版 2013年3月第1次印刷 印张:18.25  字数:400千字千字
定价:88.00元元 页数:280

 

【内容提要】

本书是作为微积分预备教程,为弥补初等代数对于微积分的不足,为学生从有穷概念向无穷概念过渡而写,读者对象是准备攻读和正在攻读数学的学生、数学工作者和广大数学爱好者.

本书在数学史上地位显赫,是对数学发展影响最大的七部名著之一.

 


  【中译者的话】

本书在数学史上地位显赫,是对数学发展影响最大的七部名著之一.初版(1748)至今虽已200多年,但大数学家A.Weil教授1979年称道其现实作用说:学生从它所能得到的益处,是现代的任何一本数学教科书都比不上的.笔者手边的俄、德、英译本依次出版于196119851988,这大概可视为其现实作用的一个证明.

欧拉贡献巨大,著述极为多产.本书是它著作中最杰出的,书中结果几乎或为他自己所得,或为他用自己的方法推出.他的作法是把最基本的东西解释得尽量清楚,讲明引导他得出结论的思路,而把进一步展开留给读者,使读者有机会驰骋自己的才能.这大概都是A.Weil教授前面那段话的根据.

本书是作为微积分预备教程,为弥补初等代数对于微积分的不足,为帮助学生从有穷概念向无穷概念过渡而写.读者对象是准备攻读和正在攻读数学的学生、数学工作者和广大数学爱好者.

本书从英译本转译,参考俄、德译本作了些订正和改动.

限于水平,中译文错误难免,敬希指正.

 


  【几 话】

1.高斯:“学习欧拉的著作,乃是认识数学的最好工具.

2.拉普拉斯:“读读欧拉,他是我们大家的老师.

3.波利亚很欣赏欧拉的作法:坦率地告诉人们引导他作出发明的思路.

4.Alberto Dou,S.J教授将欧拉的许多著作译成了西班牙文.他对本书的英译者说:“《无穷分析引论》是欧拉著作中最杰出的.

5.A.Weil教授1979年在Rochester大学的一次讲演中说:“今天的学生从欧拉的《无穷分析引论》中所能得到的益处,是现代的任何一本数学教科书都比不上的.

  


  【英译者序(节译)

197910月,Andre Weil教授在Rochester大学,以欧拉的生平和工作为题,作了一次报告.报告中他向数学界着力陈述的一点是:今天的学生从欧拉的《无穷分析引论》中所能得到的益处,是现代的任何一本数学教科书都比不上的.我查到了该书的法、德、俄三个语种的译本,但查不到英文全译本,就是在这样的背景下,我着手对该书进行翻译的.

欧拉的序言中说得明白,这是一本微积分预备教程.书中有几处,那里的东西只提了一下,把处理留给了微积分,用微积分处理要简单容易许多.凡这种地方书中都有交待.

关于书名,欧拉原文中的无穷(Infinitorum)是复数.看来这复数主要指:无穷级数、无穷乘积和连分式三种无穷.因而书名应译为《有关几种无穷的分析引论》,不顺口,我译它为《无穷分析引论》.

任教于巴塞罗那大学的S.J.Alberto Dou教授将欧拉的很多著作译成了西班牙文,最近译者曾与他谈起过本书.我们就用那次谈话中他的一句话作为这段序言的结束:“在欧拉的著作中《无穷分析引论》最为杰出.

 


  【作 序】

接触到的学生,他们学习无穷分析之所以遇到困难,往往是由于在必须使用无穷这一陌生概念时,初等代数刚学,尚未登堂入室.虽然无穷分析并不要求初等代数的全部知识和技能,问题是有些必备的东西,初等代数或者完全没讲,或者讲得不够详细.本书力求把这类东西讲得既充分又清楚,求得完全弥补初等代数对无穷分析的不足.书中还把相当多的难点化易,使得读者逐步地、不知不觉地掌握到无穷这一思想,有很多通常归无穷分析处理的问题,本书使用了代数方法.这清楚地表明了分析与代数两种方法之间的关系.

本书分上、下两册,上册讲纯分析,下册讲必要的几何知识,这是因为无穷分析的讲解常常伴以对几何的应用.别的书中都讲的一般知识本书上、下册都不讲.本书所讲是别处不讲的,或讲得太粗的,或虽讲但所用方法完全不同的.

整个无穷分析所讨论的都是变量及其函数,因此上册细讲函数,讲了函数的变换、分解和展开为无穷级数.对函数,包括属于高等分析的一些函数进行了分类.首先分函数为代数函数和超越函数.变量经通常的代数运算形成的函数叫代数函数,经别的运算或无穷次代数运算形成的函数叫超越函数.代数函数又分为有理函数和无理函数.对有理函数讲了分解它为因式和部分分式,分解为部分分式之和这种运算在积分学中有着重要应用.对无理函数给出了用适当的代换变它为有理函数的方法.无理函数和有理函数都可以展开成为无穷级数,但这种展开对超越函数用处最大.无穷级数的理论可用于高等分析,为此增加了几章,用于考察很多无穷级数的性质与和.其中有些级数的和不用无穷分析是很难求出的,其和为对数和弧度的级数就是.对数和弧度是超越量,可通过求双曲线下的和圆的面积确定,主要由无穷分析对它们进行研究.接下去从以底为变量的幂转向了以指数为变量的幂.作为以指数为变量之幂的逆,自然而有成果地得到了对数概念.对数不仅本身有着大量应用,而且由它可得到一般量的无穷级数表示.还讲了造对数表的简单方法.类似地,我们考察了弧度.弧度与对数虽然是两种完全不同的量,但它们却有着如此密切的关系,当一种为虚数形式时,可化为另一种,重复了几何中多倍角和等分角正弦和余弦的求法之后,从任意角的正弦余弦导出了极小角的正弦和余弦,并导出了无穷级数.由此,从趋于消失的角其正弦等于角度,余弦等于半径,我们可以通过无穷级数使任何一个角度等于它的正弦或余弦.这里我们得到了如此之多的各种各样的有限的和无穷的这种表达式,以至于无需再对其性质进行研究.对数有着它自己的特殊算法,这种算法应用于整个分析.我们推出了三角函数的算法,使得对三角函数的运算如同对数运算和代数运算一样地容易.从书中有几章的内容可以看出,三角函数算法在解决难题时,其应用范围是何等的广.事实上,这种例子从无穷分析中还可举出很多,日常的数学学习和数学工作中也会遇到很多.

分解分数函数为实部分分式在积分学中有着重要应用,而三角函数算法对分解分式为实部分分式有极大帮助,我们对它进行详细讨论的原因正在于此.接下去的讨论是分数函数展成的无穷级数――递推级数.讨论了它的和、通项和另外一些重要性质.递推级数考虑的是因式乘积的倒数,我们也考虑了展多因式,甚至无穷个因式的乘积为级数.这不仅可导致对无穷多个级数的研究,而且利用级数可表示成无穷乘积,我们找到了一些方便的数值表达式,用这些表达式可以容易地计算出正弦、余弦和正切的对数,利用展因式乘积为级数,我们推出了许多有关拆数为和这类问题的解.倘不利用这一点,看来分析对拆数为和是无能为力的.

本书涉及方面之广,完全可以写成几册书,因而我们力求简单明了,把最基本的东西解释得尽量清楚,而把进一步展开留给读者,使读者有机会驰骋自己的才能,自己来进一步发展分析.我坦率地告诉读者,本书含有许多全新的东西,并且从本书的很多地方可以得到重要的进一步的发现.

下册讨论的问题,一般地说都属于高等几何,处理方法同于上册.一般教科书讲这一部分时都从圆锥曲线开始,本书先讲曲线的一般理论,再讲圆锥曲线,为的是能够应用曲线理论去研究任何一种曲线.本书利用描述曲线的方程,而且只用这种方程来研究曲线.曲线的形状和基本性质都从方程推出.我觉得这种处理方法的优越性,在圆锥曲线上表现得最突出.即或有人对它应用分析方法,那也是显得生硬、不自然的.我们先从二阶曲线的一般方程解释了二阶曲线的一般性质.接下去根据有无伸向无穷的分支,也即是否介于某个有限区域之中,对二阶曲线进行了分类.对于无穷分支,我们进一步考虑分支的条数,并考虑各条分支有无渐近线.这样我们得到了通常的三种圆锥曲线.第一种是椭圆,它介于一个有限区域之中;第二种是双曲线,它有四条伸向无穷的分支,趋向两条渐近线;第三种是抛物线,有两条伸向无穷的分支,没有渐近线.

接下去,对三阶曲线用类似的方法,阐述了其一般性质,并将它分为12类,事实上是把牛顿的72种划分成了12类.对这一方法我们的描述是充分的,不难用它对更高阶曲线进行分类.书中用它对四阶曲线进行了分类.

在分阶进行考察之后,我们转向了寻求曲线的共同性质.讲了曲线的切线和法线的定义方法,也讲了用密切圆半径表示的曲率.虽然这些问题现在一般都用微积分来解决,但本书只在通常代数的基础上对它进行讨论,为的是使读者能够比较容易地从有穷分析过渡到无穷分析.我们也对曲线的拐点、尖点、二重点和多重点进行了研究.讲了如何从方程求出这些点,求法都不难.但我不否认用微分学的方法来求更容易.我们也讲到了关于二阶尖点这有争论的问题.二阶尖点,即有同朝向的两段弧收敛于它的尖点.我们讨论的深度不越出看法一致的范围.

加写了几章,用来讨论具有某些性质的曲线的求法.最后给出了与圆有关的几个问题的解.

几何中有几部分是学习无穷分析所必备的.有鉴于此,我们添上了一个附录,用计算的方式讲立体几何中有关立体和曲面的一些知识.讲了如何用三元方程表达曲面的性质,然后照曲线那样,根据方程的阶数将曲面分了类,并证明了只有一阶曲面才是平面.根据它伸向无穷的部分将二阶曲面分成了六类.对更高阶的曲面也可以用类似的方式进行分类.我们对两个曲面的交线进行了讨论.交线多数都不在一个平面上,我们讲了如何用方程表示交线.最后对曲面的切线和法面进行了一些讨论.

这里声明一点,书中很多东西是别人已经得到了的,恕我没有一一指出.本书力求简短,如果对问题的历史进行讨论,那将突破本书的篇幅限制.作者可聊以自慰的是,对别人已经得到了的东西,其中很多本书是用另一种方法进行讨论的.很希望多数读者从方法新和全新特别是全新的东西中得到益处.

 


  

【目  录】

第一章    //1

第二章  函数变换//10

第三章  函数的换元变换//27

第四章  函数的无穷级数展开//38

第五章  多元函数//50

第六章  指数和对数//57

第七章  指数函数和对数函数的级数表示//69

第八章  来自圆的超越量//76

第九章  三项式因式//91

第十章  利用已知因式求无穷级数的和//110

第十一章  弧和正弦的几种无穷表示//125

第十二章  分解分数函数为实部分分式//139

第十三章  递推级数//152

第十四章  多倍角和等分角//173

第十五章  源于乘积的级数//193

第十六章  拆数为和//216

第十七章  应用递推级数求根//234

第十八章  连分数//249

 

   
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