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书名:《近代拓扑学研究》 英文书名:Modern topology research
丛书系列: 欧美数学经典著作译丛系列 图书编号:∑239
作者:[美]希尔顿 林聪源译 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-3915-3 开本:787mm×960mm 1/16
版次:2012年12月第1版 2012年12月第1次印刷 印张:11.5  字数:229 千字千字
定价:38.00 元元 页数:172

 

【内容提要】

本书主要是对近代拓扑学的研究,全书一共分为5章,第1章主要讲述了曲线是什么,第2章列举了3维流形中曲面的一些研究成果,第3章主要讲述了半单纯同伦理论,第4章为代数拓扑学之函子,第5章介绍了可微分流形上的几何理论.

本书适合高等院校数学专业的师生和数学爱好者参考阅读.

 


   

【目  录】

引言  1

1  曲线是什么  16

1.1  引言  16

1.2  古典观念  16

1.3  维数、弧、曲面、立体的一般定义  18

1.4  一些简单形式的弧  19

1.5  拓扑分析上的解析曲线  21

1.6  结语  26

参考资料  26

2  3维流形中曲面的一些研究成果  28

2.1  引言  28

2.2  Heegaard曲面及3维流形中之非可压缩曲面  29

2.3  半线性观点  32

2.4  非可压缩曲面上的有限性定理  34

2.5  应用1:开同伦3维胞腔上的一个猜想  45

2.6  应用23维流形的胞腔分解  49

2.7  不可压缩的2度圆球壳及Heegaard曲面  60

参考资料  69

3  半单纯同伦理论  72

3.1  基础  72

3.2  拟几何同伦理论  76

3.3  实现论  81

3.4  Moore-Postnikov系统  82

3.5  群复合形  84

3.6  可换群复合形  88

3.7  同调与同伦间的关系  93

3.8  HiltonMilnor的一个定义  98

参考资料  100

4  代数拓扑学之函子  102

4.1  同伦论  103

4.2  同调及余同调  111

4.3  同调及余同调之进一步性质  120

参考资料  126

5  可微分流形上的几何理论  128

5.1  引言  128

5.2  可微分流形中的一些基本定义  129

5.3  向量丛理论的复习  130

5.4  Thom氏贯截性定理  136

5.5  Thom氏贯截性定理的一些推广及应用  139

5.6  Thom氏余边界理论  143

5.7  流形上之Morse函数理论  147

5.8  余边界及Morse理论  153

参考资料  160

编辑手记  162

 

 


  

【编辑手记】

英国伦敦皇家学会会长,世界著名数学家阿蒂亚Michael Atiyah)在一次题为“20世纪的数学”的演讲中指出:

在古典时期,人们大体上已经研究了在小范围内,使用局部坐标等来研究事物.在这个世纪,重点已经转移到试图了解事物整体和大范围的性质.由于整体性质更加难以研究,所以大多只能有定性的结果,这时拓扑的思想就变得非常重要了.正是庞加莱,他不仅为拓扑学发展作出先驱性的贡献,而且还预言拓扑学将成为20世纪数学的一个重要组成部分.顺便提一下,给出一系列著名问题的希尔伯特并没有意识到这一点.拓扑学很难在他的那些问题中找到具体体现.但是对庞加莱而言,他相当清楚地看出拓扑学将成为一个重要的内容.

陈省身先生曾说过:“数论与拓扑学十年才能入门.”所以在这本介绍近代拓扑学的前沿进展的书后,了解一下拓扑学的简单历史是应该的.当然写得最通俗恰当者非胡作玄先生莫属!

1833年,高斯用线积分定义空间中曲线的环绕数,这是第一个用分析方法表示的拓扑不变量.1847年,德国物理学家利斯廷(Johann Benedikt Listing,18081882)写的《拓扑学引论》出版,这是最早出现“拓扑”这个词的文献.实际上,他在1836年已用这个词来代替位置几何学,以免同通用的射影几何学相混淆.此外,他和麦比乌斯各自独立发现了单侧曲面――麦比乌斯带.

1852年,四色猜想也被提出来了.所谓四色猜想,就是在平面或球面上绘制世界(或全国)地图时,如果使得相邻的国家(或地区)能涂上不同的颜色来加以区别,问最少需要使用多少种颜色.这是1852年弗朗西斯・格思瑞(Francis Guthrie, 18311899)在写给他的弟弟弗雷德里克・格思瑞(Frederik Guthrie)的一封信中首先提出来的,他问是否能从数学上证明.弗雷德里克・格思瑞问他的老师德・摩根,但德・摩根只能证明:不可能把五个国家排成这样,使得每一国和其他四国都相邻,但这并非四色猜想.1879年肯普(Alfred Bray Kempe, 18491922)声称他得到证明.1890年海沃德(P.J.Heawood,18611955)指出其中有错,但可以证明五色足够了.这个猜想最终在1976年借助于计算机的帮助才得到证明.

从莱布尼茨、欧拉到庞加莱,可以说是组合拓扑学的前史时期.黎曼之前的时期,可以说是无意识时期,他们在研究过程中并没有抓住拓扑学的精髓,即在连续变换之下的不变性问题.黎曼首先有意识地把拓扑观点引入分析的研究.他强调,要研究函数,就不可避免地需要位置分析的一些定理.实际上这是观点上的突破.在他之前,柯西的围道积分与留数定理,电动力学的高斯积分定理以及高斯-邦内公式,都包含着拓扑不变性的观念,但是没有得到明确确认.黎曼之后,数学家才对拓扑不变的性质予以特别注意,特别是麦比乌斯在1863年明确指出,在拓扑对应和点的一一对应之下,邻近的点对应邻近的点,而这正是拓扑对应的实质.

19世纪中叶,黎曼在函数论的研究中贯穿着拓扑的思想,对后来拓扑学乃至整个数学的发展有着重要意义.他提出黎曼面的构造,并解决了闭定向曲面的同胚分类问题.在几何学的研究中,他明确提出n维流形的观念.在他的影响下,意大利数学家贝蒂提出后来被称为贝蒂数的概念.其后,关于曲面的定向问题又有许多研究.克莱因证明射影平面不可定向,并在1882年举出克莱因瓶,证明它不可嵌入在3维欧氏空间中.

使组合拓扑学成为一个重要的数学分支的是庞加莱.他在1881~1886年的微分方程定性理论以及后来的天体力学的研究中,都有意识地发展拓扑的思想.他从1892年起对拓扑学开始进行系统的研究.1895~1904年发表的关于位置分析的6篇论文中,他创造了组合拓扑学的基本方法,并引进重要的不变量、同调及贝蒂数、基本群、挠系数,还进行了具体计算.他还证明了庞加莱对偶定理的最初形式.1904年他提出了著名的庞加莱猜想,即单连通的闭(定向)3维流形同胚于球面.庞加莱推测,将贝蒂数、挠系数、基本群加在一起,说不定可以完全解决流形的同胚分类问题,也就是说,如果两个流形的两组不变量对应相等,那么这两个流形同胚.1919年亚历山大(James Waddell Alexander,18881971)创造出透镜空间,并举出两个透镜空间,其贝蒂数、挠系数及基本群都对应相等,但它们不同胚.其后,数学家又引进各种群、环、代数等更为精致的拓扑不变量.

来源于实践的纽结理论到现在仍是拓扑学研究的一大热门.19世纪已经对简单的纽结进行分类,研究最多的是英国物理学家塔特(Thomas Turner Tate,18071888),他由物理学中的以太的涡旋模型出发,开始对纽结进行分类.他把纽结投影到平面上,产生一些结点,由此他把结点数为9以下的纽结列表分类.其后,英国数学家李特尔(John A.Little)又加以扩充及补充.1928年亚历山大得到最重要的纽结不变量――亚历山大多项式,但它不能完全分类纽结.1984年新西兰数学家琼斯(Vaughan Jones,1953  )得出新的不变量,不仅大大推进了纽结理论,而且使之进入数学和物理大统一理论的核心.

荷兰数学家布劳威尔继庞加莱之后对拓扑学作出了突出贡献.他开创了不动点理论,创造出单纯逼近方法来证明维数的拓扑不变性,还确立了组合流形的概念.1915年亚历山大证明了贝蒂数及挠系数的拓扑不变性.

对偶定理是揭示拓扑不变量之间关系的重要方面.1922年亚历山大证明了亚历山大对偶定理,是对庞加莱对偶定理的重要补充及发展.1930年,莱夫谢茨证明了莱夫谢茨对偶定理,上述两个对偶定理为其特殊情形.

对基本的拓扑不变量加以改造,早在1908年梯茨的文章中已经开始,他和其他人开始考虑整数以外的系数,如模2的系数及有理数.1926年亚历山大引进Zn系数.1925~1926年,E・诺特在同亚历山大洛夫(Pavel Sergeevich Aleksandrov,18961982)等拓扑学家接触时,曾建议把组合拓扑学建立在群论的基础上.在她的影响下,霍普夫(Heinz Hopf,18941971)于1928年定义同调群,但E・诺特的思想直到以后才逐步为大家所了解和接受.1935年切赫Edouard Cech,18931960)曾考虑将系数取在任何交换群中.

20世纪20年代起,数学家曾试图把同调论从流形逐步推广到更一般的拓扑空间.先是维耶托里斯(Leopold Vietoris, 1891  (1927)、亚历山大洛夫(1928)等人把它推广到紧度量空间,继而切赫推广到一般拓扑空间(1932),即所谓切赫同调论.同时,莱夫谢茨发展了奇异同调论.这是两个最重要的同调理论,它们在1944年被公理化.

20世纪30年代初,由于抽象代数的发展,代数工具逐步引入拓扑学,拓扑不变量也从数扩大到群、环、模等代数结构上,从而形成利用抽象代数方法研究拓扑学问题的代数拓扑学.代数拓扑学的名称始见于莱夫谢茨在1942年出版的《代数拓扑学》,但其思想从1928年霍普夫发表关于同调群的文章时起一直在不断发展.

在代数与几何的对偶观念的影响下,许多数学家在20世纪30年代初提出同调群的对偶观念――上同调群.除了同调群和上同调的加法结构外,许多人从各个角度寻找其中的乘法结构.莱夫谢茨和霍普夫在1930年左右研究流形的交口环,1935~1938年亚历山大、切赫、惠特尼(Hassler Whitney,19071989)等人独立引进复形的上积,后来才证明同调不一定有上同调那种自然的乘法(1952.上同调具有环的结构,也有更多的应用.1947年,斯廷洛德(Norman Steenrod,19101971)定义了平方运算,后来发展成上同调运算的理论.

1935年代数拓扑学的另一重要分支――同伦论诞生.同伦论给代数拓扑学带来了方向性的变革.1895年庞加莱定义的基本群是第一个同伦群,其后布劳威尔、霍普夫等人对于球面到球面的映射进行过初步的研究,尤其是1931年霍普夫映射的发现促使人们注意对连续映射的研究.1932年,切赫在国际数学家大会上定义了高维同伦群,但未引起注意.1933年波兰数学家胡尔维兹(Witold Hurewicz,19041956)开始对连续映射进行研究,在1935~1936年发表了4篇论文,定义了高维同伦群并研究了其基本性质.胡尔维兹还定义了伦型的概念.由于当时所知道的大多数拓扑不变量均为伦型不变量,从而使同伦论的研究有了巨大的推动力.

由于计算同伦群,特别是球面同伦群,刺激了整个拓扑学的发展,给拓扑学的宝库中添加了许多重要工具,如纤维空间、谱序列等.但是由于计算极难,在1950年之前,进展不大.1950年塞尔(Jean Pierre Serre,1926  )在同伦论的研究上取得突破,证明除了n=r,n=2r-1之外,所有球面同伦群πn(Sr)均为有限群.

1958年,鲍特利用莫尔斯理论证明典型群的稳定同伦群的周期性定理,从一方面促进了K-理论的产生.K-理论满足上同调论的7个公理中的6个,只有维数公理不成立.这样它成为第一个广义上同调理论.K-理论的产生解决了一系列拓扑学问题(如球面向量场问题),也推动了代数K-理论产生.其后又产生许多广义上同调理论,如复配边理论,成为数学家的有力工具.它们给拓扑学乃至整个数学带来了丰富的结果.

微分拓扑学是研究微分流形和微分映射的拓扑学.微分流形的概念起源很早,拉格朗日、黎曼、庞加莱都曾把它作为研究的对象.外尔在他的《黎曼面的思想》(1913)一书中,首先给出1维复流形一个内蕴定义,即不依赖解析表达式及其嵌入的空间.微分流形的一般定义是惠特尼在1936年给出的,他在1936年还证明了微分流形的嵌入定理,并在1944年改进为较好的形式,这是微分拓扑学的重要基本定理.大约同时,他还研究了关于微分映射的奇点理论.

随着代数拓扑学的进步,微分拓扑学在20世纪50年代突飞猛进地发展起来.1953年托姆(René Thom,19232002)发表关于配边理论的研究,其方法及结果大大推动了数学的进展.1956年,米尔诺因发现7维球面上有不同寻常的微分结构而引起轰动.他和外尔又对球面上的微分结构进行了详尽的研究.1958年,外尔发现存在分段线性流形不具有微分结构.1960年,斯梅尔证明5维以上微分流形的“广义”庞加莱猜想.

外尔等人的工作显示出拓扑流形、分段线性流形及微分流形三个范畴之间的巨大差别.20世纪60年代初,研究这三大范畴及其间关系的几何拓扑学应运而生.

拓扑流形是否可剖分,剖分成的分段线性结构是否一样(主要猜想),是拓扑学家早就研究的问题.拉多(Tibor Rado,18951965)1925年,莫伊斯(Edwin Evariste Moise, 1918  )1952年分别对2维流形及3维流形作出肯定证明.1969年克尔比(Robin Cromwell Kirby,1938  )和基奔曼(Laurence Carl Siebenmann,1938  )举例说明5维流形不可剖分以及可剖分的5维流形的分段线性结构不同.实际上,他们得出了分段线性结构中存在的“阻碍”.

微分流形的可剖分性早在1935年由克恩斯(Stewart Scott Cairns,19041982)所证明.对于分段线性流形及拓扑流形,5维以上的广义庞加莱猜想也在20世纪60年代初得到证明.1981年证明出4维拓扑流形的庞加莱猜想,1983年得出4维欧氏空间具有非通常的微分结构,而且有不可数无穷多.

20世纪70年代起,关于低维流形的研究取得了巨大进展,主要是瑟斯顿(William Thurston, 1946  )对于具有双曲结构的3维流形取得较完整的结果.20世纪80年代,人们又用场论定义新的拓扑不变量,除了琼斯的纽结不变量,还定义了卡松(Andrew Casson)3维拓扑不变量以及唐纳森(Simon K.Donaldson,1957  )4维拓扑不变量,同时,在此基础上形成2维、3维、4维拓扑场论.

随着20世纪50年代代数拓扑学及微分拓扑学的进展,微分流形上的分析――大范围分析也有了新的发展.1968年召开的大范围分析会议正式使用这个名称,这是分析与拓扑学有机结合的产物.

微分映射的奇点理论最早是惠特尼在研究微分流形时引入的,1955年对R2R2的微分映射奇点进行分类,这个理论在1956年经托姆的推广而成为一个重要分支.其中的主要问题――奇点分类问题已有相当大的进展.另外,1968年米尔诺开展关于复孤立奇点的研究,并得出分类的拓扑不变量.另一个主要问题是微分映射或拓扑映射中较好的稳定映射.虽然拓扑稳定映射是稠密的,但1969年麦泽(John Norman Mather,1942  )证明,微分稳定映射只是对于某些好的维数才是稠密的.对于这些好的映射,可以用一定方法决定其典范形式.在这里起关键作用的是马尔格兰日(Bernard Malgrange,1928  )证明的微分的魏尔斯特拉斯预备定理(1963.

大范围分析另一方面的发展是斯梅尔从20世纪60年代初创始的微分动力系统理论.这是微分流形上的常微分方程理论,在20世纪70年代以后获得长足的发展,特别是混沌的发现成为20世纪80年代的一大热门.而叶状结构理论可以说是偏微分方程理论,由于鲍特在1970年取得突破后,瑟斯顿等人得到了出色的结果.

要了解拓扑学的全貌需要对以下内容有初步认识:一般拓扑学、拓扑空间、度量空间、维数理论、代数拓扑学、同调论、同伦论、纤维丛、不动点理论、微分拓扑学、流形、纽结理论、突变理论、莫尔斯理论.

下面介绍一下本书作者之一的希尔顿(Peter John Hilton,1923  ).他是美国数学家,生于伦敦.牛津大学硕士(1948),剑桥大学博士,先后在英国、美国、瑞士等地工作.主要贡献在代数拓扑、同调代数和范畴论等方面.著作中最著名的是与S・怀利(Wylie)合著的《同调论》(Homology Theory,1960).本书不是一本专著,而是由若干位拓扑学专家所写的一本综述性和介绍性文集,唯一不足的是它所反映的结果有些已陈旧.还有一点便是数学术语译名取自台湾,与大陆稍有区别,虽尽力改正,但仍有遗漏.

此外,希尔顿还有一本著作便是《同伦论》 An Introduction to Homotopy Theory.这本书在1960年由科学出版社出版过,由刘华译的,当年印了8 500.(而这么多年过去后,今年本书就只能印1 500册了)

自从胡尔维兹在1935年创立了同伦群后,同伦论便在代数拓扑学的领域中占有了一个日益显著的地位.某些研究者已经相继在这个主题中作出了许多重要的新成就,而发源于法国拓扑学派的发展,就强调对同伦论要有一个基础的导引,使得它能够适应这一范畴的研究者的需要,同时满足那些希望能了解它的近代技巧和结果的人们.

但直到希尔顿写出《同伦论》之前,在任何水平上都没有一本关于同伦论的教科书.因此,这一数学分支的初学者便只有直接去查阅原始文献,而这却常常是十分冗杂的,而希尔顿的那本书便是企图弥补这样的缺陷.

在西南联大结束之前,中央研究院曾成立了中央研究院数学研究所筹备处.19477月在上海正式建立,1946~1948年这三年都由代理所长陈省身一人负责.先生当时就研究代数拓扑学,他函请各校推荐有兴趣于拓扑学的年轻讲师、助教去数学研究所进修.北大在1947年就把马良、孙以丰、廖山涛推荐了去.从别处先后去研究所的还有吴文俊、张素诚、杨忠道、胡世桢、王宪钟、陈国材、路见可、陈杰等二十人左右.数学研究所还请书商影印了三本当代重要的代数拓扑论文集,以便人手一册研读.笔者幻想当一个这样的书商也不错.甲申明亡之后,张岱写下了以下潦倒的文字:“劳碌半生,皆成梦幻……破床碎几,折鼎病琴,与残书数帙,缺砚一方而已.布衣疏食,常至断炊.”笔者执笔之际年届50,谈不上劳碌半生,但许多梦想已成梦幻,不知这一梦想是否又会成为梦幻.

 

 

刘培杰

20121216

于哈工大

 

   
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