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书名:《数学分析中的一个新方法及其应用》 英文书名:A new method in mathematical analysis and its application
丛书系列: 欧美数学经典著作译丛系列 图书编号:∑231
作者:[匈]图兰著 郭焕庭译 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-3785-2 开本:787mm×1092mm 1/16
版次:2013年1月第1版 2013年1月第1次印刷 印张:15.75  字数:300千字千字
定价:38.00 元元 页数:244

 

【内容提要】

本书共分的两部分,第一部分为丢番图近似法理论中若干较新的问题,第二部分为应用.

本书适合大学生、研究生及数学爱好者阅读参考.

  



  


【初版序】

这本书的标题是很自负的,或许会引起读者过大的期望.这样的一个问题势必会提出来,那就是:怎样的一个数学论著才可以被认为是一种方法.波利亚与塞戈(Pólya und Szeg)在他们有名的习题集的序文中写道:“一个观念,如若我们应用过它一回,就要算是一个技巧.如若我们应用过它两回,那它就成为一种方法了.”这几句话,不用多讨论,是非常恰当的;只要看一看本书的目录就可以把这一本书中的观念提高到一种方法的高尚品级.甚至于,为了更精确,我们把话语“如若我们应用过它两回”换为话语“如若我们把它应用到两个显见相离很远的范围内”,本书中的观念仍然不失为一个方法.自然,问题还值得研究一下,那就是,换过话语之后,定义是否更精确了.这问题的答案,我们可能说是,也可能说不是.两个观念区域的距离当然是与观察者的眼睛有关的;但我认为那总是可以肯定的,那就是,像黎曼泽塔函数理论(die Theorie der Riemannschen Zetafunkcion)与代数方程式的近似解法那样两种对象,对于一切数学家们看起来,不管他们会患着怎样的散光症,都要认为是完全而且十分远离的.如若我们宣称这里有一个方法,别人就必然会问,它是不是新的,并且从怎样的观点看起来它才能算是新的.对于这些问题的回答,要经过起初两章的准备,在本书第Ⅰ部分的§3里才给了出来.在此处,我们简单地说:博尔(H.Bohr)是这个方法的发明人,他第一个系统地运用丢番图近似法理论(die Theorie der diophantischen Approximationen)来解决函数论中的问题;他也是第一个注意到这理论的某些问题与三角表达式的某些估计式是等价的.在这本书中能够称为新的一点不过是给这一观点奠定一个更广阔的基础(本书第Ⅰ部分),从而大大地扩充了它的应用范围(本书第Ⅱ部分).

编入这本书里的材料,有一部分是已经发表过了的(请参看书末的参考文献,迄至1952年).由这些参考文献以及本书的目录就很容易地可以断定本书中哪一些章节与结果在此处是初次发表的.我可以说,有许多在这里并非初次出现的定理,它们的讨论在这里都是经过化简了的,特别是在第Ⅰ部分的§11.有些小的错误也都修正过了.然而,在这里并不假定要知道这些论文的内容,当然地,在那些作品中可能有些结果讨论得比在本书里更详细.要想让这本书并不需要任何特别的预备知识,仅需要一些在黎曼泽塔函数理论方面和已成为经典事实的东西作为预备知识就够了.

特别促使我现在来出版这本书的一种愿望是:想把那井井有条的基本思想以及所有以上提到的那些论文中的公共方法详细而且连贯地表达出来.这些我最初在一次讲学中试过,这次讲学是我于大学年度1947~1948的前半期在哥本哈根(Coperhagen)大学的数学研究所里进行的.1949年,在布拉格(Prag)、捷克斯洛伐克与波兰数学会的集会范围里,我曾作了一个简短的但含有更多结果的报告,在那里面自然是不谈证法的;这篇讲演以“On a new method in the analysis with applications”为标题发表在Casopis的第74卷里.我理所应当地要对匈牙利科学院表示感谢,不仅是因为让我有可能在这一本书里详细地演述了方法的基础,综合了迄今的结果,而且也是因为这书的编著,在增加结果方面,使我有一个很好的机会.

在时间上说起来的最初应用,事实上也就是这整个研究的出发点,要算是――正像已经是在如此多的情形之下一样――黎曼猜测(die Riemannsche Vermutung).我觉得我自己有几分像那些炼金术家,本来预备去寻觅点金石的,但却寻到一些别的东西.自从那时以后,应用的数目是大大地增多了;但是,正如由以下的内容可知,还有其他重要而且有趣的应用可能性存留着,并且也还总有理论中的若干基本问题留待研究和解决.因此,我必须――这或许由一个序文的作者那里是不常听得到的――以一种愿望的表达来结束我这序文,那就是,但愿这本书里的许多结果不久就会被别人的研究所超过.

这本书原来是用匈牙利文写的.不过这德文的编写并不单纯是一种翻译:在匈牙利文版本中,有些部分解释得更详细些.

在本书的编写中,我受到一些专家同事们对论著的批评和支持,这些专家是:厄多斯(P.Erds),浮尔的史(S.Fldes),哈乔什(G.Hajós),海尔布罗恩(H.Heilbronn),阿布拉塞(R.Oblth),伦伊(A.Rényi),许外侧(N.Schweitzer),以及守拉弩衣(J.Surányi).德文译文由厄多斯夫人(Frau L. Erds)与阿布拉塞教授校阅过,在本书出版的技术方面,科学院出版社,松格拉(Csongrád)州的国家印刷厂,以及赫雅皆夫人(Frau Vera Hirsch)都给了我很大的帮助.为了他们的相助,我向他们全体表示我衷心的感谢.

 

保罗・图兰Paul Turán)

1951820

布达佩斯

  


  

【原著者为中文版作序】

这一版本与原先的一版有实质上的差异.书中的划分已经有了基本的改变,原先的附录现在已经编入了正文的章节之中,章节的顺序又重新编过一次,对于定理也引入了一种新的编排.这样一来,这本书确实是要比以前更便于支配一点,虽然就方法的本质在一目了然方面讲起来比以前不免略有所失.编入的材料也大大地有所变更,这种变更,一部分是起因于当我在中国讲学时,演讲后与中国数学家朋友们所作的多方面的讨论.在实质上只有最初两章没有变动.在第一版的书里两个主要定理是放在显著的地位,我的主要目的是要指明在怎样多种的形式下这两个主要定理在不同的应用之中发挥效力.在这一版里一些基本的问题是更有系统地被提了出来处理着;如若我在第一版中是谈论一个方法,那么,我以为过一个时期以后,我们就可以来谈论一种理论了.在这一版里,寻求可能最好的常数也作为是一个重点在讨论.除了两个主要定理以外还添了一个第三主要定理,这并不是由于它的优美性,而是由于它在多方面都可以得到应用.又至于谈到应用,那是在许多的情形之下大大地比以前改进了的(特别是在§18中),而且应用的数目也是增多了.若干理论上未被解决的问题都汇集在§11中,又若干另外的可能应用是在§27中被提到;这两处都没有要求完备.不过,如果我心目中留意到佩隆(Perron)的一些词句,用那些词句,在1928年,在波伦亚(Bologna)他这样地开始着对数学会所做的报告.他说:“我们总可以把那认为是科学的一种进步,如若我们能够把许多彼此分离的比邻的问题归结到一个共同的观点之下而且又能够依照一个同一的方法来处理它们……”,那么,我现在或许已经能够把所讨论的方法当作是科学的一种进步了.

我认为本书第Ⅰ部分中的一些主要定理是属于丢番图近似法理论的.丢番图近似法定理的家庭将会怎样来接待这些新的异母兄弟那倒是一个问题;要想这个家庭把指数函数和的外尔估值(die Weylschen Absch tzungen von Exponential-summen)纳入怀抱中恐尚需时日.对于减轻这家庭的冷淡,堆垒数论中与泽塔函数论中的成果究竟做出了多大的贡献,我还知道得不够确切;不过,如果这样的因素在调解促使承认方面能够起一种作用的话,那么,依照在这一本书中所传达的一些应用,我们或许可以盼望过一个时期以后在这里也将遇见到一种调解作用(如若果真有这种需要的话).

 

保罗・图兰Paul Turn

1955430

布达佩斯

 

 


  

【目  录】

第Ⅰ部分  丢番图近似法理论中若干较新的问题  1

§1  克朗耐克定理在分析学中的一个带有特征性的应用及若干注意事项  1

§2  迪利克雷定理在分析学中的一个带有特征性的应用及若干注意事项  6

§3  推广式的前言  15

§4  关于纯方幂和的一些定理  22

§5  第一主要定理  46

§6  第二主要定理的一些辅助定理  53

§7  第二主要定理  55

§8  第三主要定理  63

§9  补充注意  68

§10  若干推广  75

§11  若干未解决问题的汇集  84

第Ⅱ部分        87

§12  论李特伍德的一个定理  87

§13  论伯恩斯坦的若干定理  89

§14  论殆周期多项式的实零点  93

§15  在具有缺隙的幂级数与迪利克雷级数理论上的应用  99

§16  在亚解析函数理论上以及在解析函数的边界值上的应用  118

§17  论某些整函数的线性组合  122

§18  在微分与差分方程式理论中的应用  131

§19  论代数方程式的近似解法  140

§20  在素数定理的余式项上的第一个应用  145

§21  在素数定理的余式项上的第二个应用  155

§22  论类似黎曼猜测  167

§23  与类似黎曼猜测等价的另外一些定理  179

§24  论迪利克雷级数论中若干值得注意的半平面  187

§25  论泽塔函数论中卡尔松的一个定理  202

§26  论林德洛夫猜测  217

§27  论若干另外问题的提出与应用的可能  228

参考文献  231

编辑手记  232

 


  

【编辑手记】

 

英国14世纪有一位哲学家叫奥卡姆的威廉,针对繁琐的经院哲学提出“若无必要,勿增实体”,这就是所谓的“奥卡姆的剃刀”.

图书市场同样也需要有一把“奥卡姆剃刀”.因为正如金克木先生所叹.“书太多了”.所以每一本书都必须为自己出生的合法性辩护.

一个通用的辩词是:出版纸质图书的行为是一种“为了忘却的纪念”.

自称“精英主义者”的法国作家夏尔・丹齐格在其《为什么读书》中写道:

 

“伟大的帝国化作烟尘,我们再也记不起它们的名字;历史留下的是千年以前诗人的作品.死亡是一种忘却,它将生命一笔简化.读书为我们还原了生命中那些值得崇拜的纷繁驳杂,由它们对抗死神的傀儡.图书馆是墓地唯一的竞争对手.

 

奥匈帝国早已被人们所淡忘,但保罗・图兰作为一位匈牙利优秀的数论专家却一直留在许多数学爱好者的记忆中.虽然图兰写作的文风与我国读者心目中的数学专著风格迥异.

金人王若虚《文辨》中有一句妙语:

 

“或问文章有体乎?曰:无.又问无体乎?曰:有.然则果何如?曰:定体则无,大体须有.

 

所以从整体来说这是一本解析数论方面的专著且相当具有原创性.图兰在数学家中不算长寿,活了66岁(19101976),著作不多但都是精品(笔者曾在新西兰一家二手书店看到过一本美国出版的《保罗・图兰文集》,新西兰是移民国家,人口只有几百万,尚能见到此书,可见影响之广).这与现在许多国内年青教师动辄著作等身对比鲜明.

英国汽车品牌阿斯顿・马丁在上海车展开幕期间发布价值四千多万人民币的One-77时,其首席执行官乌尔里奇・贝兹博士的一句话,曾让人深刻感受少而精的妙处:“九十多年来,阿斯顿・马丁制造了大约5.5万辆至尊车款,而这个数字,日本丰田汽车只需要三天时间就可以搞定.”有人用美术市场做比喻说:

“如果你用一年画一幅画,可能一天就卖出去了,而如果你仅用一天就画了一幅画,你可能要卖一年”.

这本书有一定深度.适合于大学研究生阅读.

哥伦比亚大学宗教系主任马克・泰勒曾在《纽约时报》发表了《我们所知的大学的终结》,他说:

 

“研究生教育是高等教育的底特律.美国大学的大部分研究生项目生产了没有市场的产品(候选人的教书职位并不存在),开发的技能也越来越少地被用到(在各个领域的研究和发表在期刊上的论文除了很少几个志同道合的同事,没有人会去读它),成本却都在快速增长(有时候要超过10万美元的贷款)”.

 

所以即使在美国搞解析数论的研究生也并不多.因为它离就业市场太远且过于高端.

有人将高端艺术品(就是能拍到上千万的那种)从题材上分为五类:1.自画像;2.死亡;3.色情;4.形式感;5.时事.据说五大题材里面你能用一件作品综合表达,你就离合格的当代艺术家很接近了.在数学领域也是如此,从题材上也可分为五类:1.整体微分几何;2.代数数论与丢番图逼近;3.量子群;4.多复变函数论;5.线性偏微分方程.如果你能在其中任何一个领域有所突破,就离成名不远了(本书的另一特色是丢番图逼近,国内王元、徐广善、朱尧辰等先生在搞).

东汉末年,曹操重法术,曹丕篡通达,于是研经之士,失了利衤录之门,儒家经学,便呈现了极度的衰微.鱼豢《魏略・儒宗传》序中云:

 

  “从初平之元(汉献帝)至建安之末,天下分崩,人怀苟且,纲纪既衰.

 

中国的图书市场从早期的厚黑学流行,到心灵鸡汤泛滥,及至近期的养生术和官场文学盛行,使得饱读数学经典之士倍感失落,转而怀念20世纪50年代中国数学的黄金年代.本书作为世界数学名著,首次出版就是在那时,当然现在人图舒服不愿意再花力气去啃这些经典了.

但是待得再舒服的地方也不是终点,做得再顺手的事也不是唯一的事.所以本书现在还有攻读的价值,在黎曼猜想没被证明之前,一定是这样的.

 

刘培杰

2012年元旦

2012823于哈工大

 


   
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