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书名:《数学奥林匹克问题集》 英文书名:Problems for the mathematical olympiads
丛书系列: 奥林匹克精典系列 图书编号:∑267
作者:[罗]内格特 冯贝叶译 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-4243-6 开本:787mm×1092mm 1/16
版次:2013年11月第1版 2013年11月第1次印刷 印张:12  字数:230千字千字
定价:38.00元元 页数:182

 

【内容提要】

本书包含了一系列经典领域中(代数、几何、组合)安德烈的最喜爱的数学问题,其中有许多是作者原创的,其中有些简直是奇妙的解答.由于涉及各种层次的竞赛题,因此书中题目难度波动较大,有相对简单的问题,也有相当令人费解的难题,读者不妨依个人情况自选章节择题解读.

本书适合准备参加数学竞赛的学生以及数学爱好者研读.

  


  

【序  言】

这是一本由一个初次涉及此领域的年轻有为的数学家编写的初等数学方面的书籍.作者安德烈・内格特曾在高中及国际数学竞赛中获奖,现在已在美国普林斯顿大学学习数年.

收集和发表某些在紧张的工作和学习中所获得的他认为是最美丽的数学问题是他多年以来的一个梦想.

最后完成的这本精彩的书,包含了一系列经典领域中(代数、几何、组合)安德烈最喜爱的数学问题,其中有许多是作者原创的,还包括了有些简直是奇妙的解答.本书的文字流畅易懂,解答完整并且显示出作者对问题的深刻洞察力.我向任何专业的或业余的对解题有兴趣和爱好的人士推荐此书.准备参加数学竞赛的学生也将会在本书中找到很好的训练材料.

我相信,无论你何时阅读本书,你都会感到,这是你以数学作为自己的职业生涯的一个重要的开端.

 

Radu Gologan(拉杜・戈洛干)

布加勒斯特理工大学暨数学研究所

罗马尼亚数学奥林匹克教授协调员


  

【前  言】

本书的内容是一些主要用于为参加例如国际数学奥林匹克这样的数学竞赛做准备的数学问题.因此这些问题都是国际数学奥林匹克级别的,并且只需要初等数学的知识.然而,由于国际数学奥林匹克也许是最难的初等数学考试,因此任何参加者都必须具有足够的有关知识和良好的解题技能,并且能敏锐地理解他所遇到的问题.本书并不准备教授IMO水平的初等数学而是希望有助于培养那些准备参加者,并加深他们对这些概念的理解.

已有很多直接针对IMO参加者的问题集.但从我的眼光来看,本书在两方面和它们有别,首先是在选题方面.本书中的问题都是一些在我为参加高层次的数学竞赛而开设的四年制训练班中所遇到的最精彩的问题,多年来许多大师和指导教师一直在训练班中向我们提出这些问题.它们既不枯燥也不乏味,但需要某种洞察力和创造力,我认为这些是任何精彩的数学问题所必须具有的品质.此外,我试图避免在本书中加进一些众所周知的问题(例如历届IMO或其他重要竞赛中曾提出过的问题),由于对每个学生来说这些问题很可能在第一年的竞赛生涯中就已知道.相反,读者可能不太有机会知道这里所提出的问题,而任何良好的竞赛准备是致力于提出较多的尽可能新的问题.本书中的任何一个问题都可以作为IMO的试题,我希望本书有助于这些问题面世.

我已把本书中所有问题按照其困难程度分成了三个层次:E表示容易,M表示中等难度而D表示难题(读者可在问题解答的开头知道那个问题的层次).然而这只是一种相对的分类.

大致来说,E问题相当于IMO中水平1难度的问题,M问题则类似于IMO中人们认为是水平2难度的问题,而D问题可能相当于IMO中水平3中的问题.因此,如果一个新手在奥林匹克世界中解E问题遇到麻烦时,他不必感到沮丧,因为很难给出一个绝对的分数.这些问题远远超出了正规学校作业的水平.

关于本书的另一件重要的事是书中的解答.IMO的任何一个优秀的参加者在处理初等问题时并不需要知道那么多的理论技巧.对一个参加IMO的学生来说学习多变量微积分和拉格朗日乘数法远没有知道如何运用几何反演(也更难)有用.那就是为什么我始终强调解答中所用到的方法、引理和性质.为了说明这些方法的教育价值,我常常不得不牺牲证明的简洁性.我在附录中也提出了一些始终贯穿本书的概念.那样我就可以用我自己的观点来叙述解答.一个有潜力的IMO参加者需要两种品质:一种是别出心裁的独创性,另一种则是熟练掌握所有的数学玩具的技巧.我不知道哪种品质更重要,我只能猜.

我衷心感谢那些创造了这些精彩问题的人.但是大多数解答是我自己的工作.问题不属于我,因此我对问题的创造深表不安.由于这些问题主要来自我的笔记本和论文,我并不知道它们的确切出处.我用***号代替它们的作者.这并不是尊重作者的一种合适方式,对此我表示抱歉.

但是作为一个IMO的参加者,我已在参赛的准备训练中遇到了这些问题,它们已经成了我生活的一部分.其中的每道题都与把它告诉我的那个人,与那些给我提供了精彩解答的朋友,与那些我所参加过的不管是否成功的竞赛有关.我衷心感谢那些帮助过我,使我成为现在这样的所有人士.尽管我无法叫出所有这些人的名字,但我知道,他们都是一些像Radu Gologan(拉杜戈洛干),Severius Moldoveanu(塞维利乌斯莫尔多韦亚努),Dorela Fainisi(多雷拉法伊尼西),Dan Schwartz(丹许瓦兹),Calin Popescu(克林波佩斯库),Mihai Baluna(米哈伊伯卢纳),Bogdan Enescu(波格丹埃内斯库),Dinu Serbanescu(迪努塞尔巴内斯库)和Mircea Becheanu(米尔恰贝克亚努)那样的人,这些人教给了我数学中最美妙和最精致的艺术.我也不能忘记那些和我一起经历了奥林匹克竞赛甘苦的同学们和朋友们,但是他们可能已忘记了我,由于我叫不出他们的姓名.他们知道他们是谁,我也不能忘记我的家人,他们时刻站在我身边,不管我在竞赛中表现如何,他们始终给予了我无价的精神支持.

我衷心感谢Mircea Lascu(米尔恰拉斯库)和Gil(吉尔)出版社在本书出版的漫长过程中对我和本书的支持以及Radu Gologan(拉杜戈洛干)教授所给予的大量帮助和有益的建议.我也想对Gabriel Kreindler(加布里埃尔克莱恩德勒),Andrei Stefanescu(安德烈斯特凡内斯库),Andrei Ungureanu(安德烈温古雷亚努)和Adrian Zahariuc阿德里安扎哈留克)对本书所提供的解答表示感谢.

我祝你无论在数学方面还是其他方面都吉星高照.

 

      安德烈内格特

 

 


  

【翻译说明】

不算厚的一本书,拖拉了半年左右总算全部完工了.原因就在于这不只是单纯的翻译,如果像一架机器一样,完全照本宣科的进行文字转换工作,那翻译的速度就只依赖于机器的性能.拖拉的原因在于译者是一个对自己和对读者都要负责的人,这就使得译者要一再对译文进行注解,修改和润色甚至对原文进行改写和加写.

一开始,译者仅是对怀疑有笔误或排印错误之处加注,指出作者认为可能应是正确的内容,后来觉得如此注解,未免太烦,就干脆不加注解的将其改正,而仅对有实质性错误或难以理解的地方加以注解,最后发现,有些地方仅予以注解还不够,还需加以重新组织和改写、加写.这就最后形成了译者对本书的添加内容.

不可否认,本书包含了许多有特色的思想和有兴趣的材料.但由于作者自己熟悉的内容和习惯的说法必然和读者有不尽相同的地方,因此,为了使读者易于理解和看懂,就需要对原文做一定的注解,此外,即使是很优秀的作者,也难免有一些失误(如1-25,3-2,3-63-29,4-26),这就不仅需要指出,还需给出正确的解答.此外,从研究问题的角度,有些问题(如1-6原题除了要求证明公共面积至少是3.4外,还有一问是能否断言该面积大于3.5),原书乃至国内其他同类资料都并未给出解答,译者也对此进行了补充,最后有些问题(如4-28原来的不等式中的常数4现在已改进为2)原书的解答已显落后或目前已有新的进展,译者也尽自己的可能一一指出.为此译者在书中做了约40处注解并包括了大量的经过重新编写的引理和若干原书没有的新的插图.这些注解和引理构成了理解本书的重要部分.

然而如此一来,译文中必然有些部分与原文不一致.文学翻译中有所谓信,雅,达的原则,然而译者坚信,凡是阅读问题集的读者最关心的问题是得知对一个问题如何解答,并从此获得心得和满足.因此译者在翻译、编辑问题集一类的书籍时所遵循的最终的和一贯的原则始终是关注如何对书中的问题首先给出一个解答,然后在已有解答的基础上,再关注如何能使解答更加简明、易懂和合情合理(指尽可能使解答能够自然地逐步得出),尽量完美.按照这一原则,译者对原文的处理办法就是如果原书的解答很精彩,那当然完全照译;如果原书的解答虽然本质上是正确的,但在叙述上有缺陷(例如想到哪,写到哪或逻辑上不清楚或不太显明或解答不完整),那么就对原文进行改写和重新组织(如2-6,3-6,3-14,3-24等题),而如果原文的解答实在太过迂回或路子根本走歪了,则坚决抛开原文,另行在文献中寻找答案或由译者本人重新解答(如4-28,4-30),不过即使在这种情况下,译者仍首先将原文译出再重新给出解答.

当然这样做就会花费额外的精力,对标明了注解的部分,读者还能知道译者的工作,而对上述所说的重新组织、改写、加写的文字和插图,则读者根本不会知道这是译者的额外工作.然而译者仍然认为这是值得的,因为译者的目的不是在于让读者详细知道哪些是原作者的,哪些是译者的工作,而在于求得译者内心的满意.译者认为只有这样做,首先译者自己才会感到这样得出来的东西多少还总算是一个有些价值的玩意,也才拿得出手.译者希望读者会感到本书多少还有些作用.

当然,译者的译文也必然会有不合适乃至失误的地方,希望读者发现时及时告知译者,译者将感激不尽.

冯贝叶

2013 5

 


  

【目  录】

第Ⅰ部分  问题

第一章  几何∥3

第二章  数论∥8

第三章  组合∥11

第四章  代数∥16

第Ⅱ部分  解答

第一章  几何∥23

第二章  数论∥53

第三章  组合∥87

第四章  代数∥ 126

第Ⅲ部分  附录

附录1  有用的事实∥ 159

附录2  问题的来源∥ 169

编辑手记∥ 171

 

 


  

【编辑手记】

这是一本译自英文的,由罗马尼亚数学家撰写的,关于数学奥林匹克的试题集。

罗马尼亚有着悠久的数学竞赛传统,是继匈牙利之后,世界上第二个开展中学生数学竞赛的国家。东欧各国开展数学竞赛按时间排序是:1894年匈牙利,1902年罗马尼亚,1934年苏联,1949年保加利亚,1950年波兰,1951年捷克斯洛伐克,……

今天的IMOInternational Mathematical Olympiad)也始于罗马尼亚,罗马尼亚的罗曼(T.Roman)教授对此非常热心,经过他积极而卓有成效的努力,在1956年于东欧国家正式确定了开展国际数学竞赛的计划。

第一届IMO19597月在罗马尼亚古都布拉索(Brasov,位于现在的首都布加勒斯特西北约200千米)举行。参加竞赛的选手才52名,全部来自东欧6国:罗马尼亚、保加利亚、匈牙利、波兰、捷克斯洛伐克及民主德国。每个国家8名选手;另外4名选手是苏联派去的。

第二届IMO的东道国还是罗马尼亚。我国直到第三十一届才成为东道主。而在罗马尼亚总共举办了4次:1959年(第一届)、1960年(第二届)、1969年(第十一届)、1999年(第四十届)。所以罗马尼亚可以说是开先河,而我国只能说是后来居上,并且罗马尼亚还是世界上仅有的3个一届不落都参加的国家之一,另两个是保加利亚与捷克斯洛伐克,而波兰与匈牙利分别在第二届与第二十届缺席过一次。所以说罗马尼亚在IMO历史上是一个不容忽视的国家。

罗马尼亚同我们曾同属一个社会主义阵营。罗马尼亚作家诺曼・马内阿(Norman Manea)因深受诺贝尔文学奖得主海因里希・伯尔推崇,而渐被国人所识。当他被问到:“你如何来看待乌托邦?”时,他说:“通常而言,任何形式的乌托邦都会让人感到挫折,他们中的许多人都认为,每天这种无聊的生活很压抑,限制了他们的自由,是不能让人满意的。这些喜欢梦想的人需要一些‘其他的东西',去补足他们的生活,去梦想。当这种需求保持在一个私人领域内时,当每个人都以他们自己的方式来解决这个问题时,我们就处在一个正常的国家形态之中,但当此成为一种集体意识形态时,特别是当其支配了一个政权时,我们不久就将迎来恐怖和暴政。”(河西著《自由的思想――海外学人访谈录》三联书店2012年,北京,P243~P244)。不过这种极权也成就了罗马尼亚的数学和数学竞赛,因为罗马尼亚的独裁者齐奥赛斯库的女儿就曾任国家数学研究所的所长。而极权国家的特点是当权者想让什么上去,什么就必须上去,数学亦不例外。

本书是由老数学工作者先生译的。时值盛夏,酷热难耐,着实不易,而且翻译本身是一个费思量的活。因为翻译时,选择恰当的词还是有难度的。比如“Humour”一词,林语堂译为“幽默”;李青崖译为“语妙”;陈望道译为“油滑”;易培基译为“优骂”;唐桐候译为“谐稽”。后以林译流行于世。本书中关于“数列”和“数列”及“序列”也需选择一下。

罗马尼亚对中国现在的年轻人影响不大,对笔者这一代人影响颇大。当年的电影:《多瑙河之波》、《宁死不屈》都历历在目。甚至在写此手记之时笔者居然还想起了罗马尼亚的影片《奇普里安・波隆贝斯库》插曲的歌词:“联合”写在我们的旗帜上,它把我们的心连在一起,在它的伟大精神鼓舞下,我们敢面对疾风暴雨,有谁对斗争感到畏惧,它就要彷徨犹豫,……

我们热爱的罗马尼亚将永远辉煌壮丽”。近的记不起,远的忘不掉。有人说是衰老的特征。

诗人北岛有一首题为“无题”的诗,诗中的最后四句是这样的:

生活是一次机会

仅仅一次

谁校对时间

谁就会突然老去

 

刘培杰

2013811

 

 

   
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