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书名:新编中学数学解题方法1000招丛书―立体几何 英文书名:
丛书系列: 中学数学拓展丛书 图书编号:∑322
作者:刘培杰数学工作室编 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-4657-1 开本:787mm×1092mm 1/16
版次:2014年4月第1版 2014年4月第1次印刷 印张:13.5  字数:310千字千字
定价:28.00元元 页数:191

 

【内容提要】

本书以专题的形式对高中数学中立体几何的重点、难点进行了归纳、总结,全书共分两大部分,即解题方法编和试题精粹编,内容丰富,涵盖面广,可使学生深入理解三角函数的概念,灵活使用解题方法。

本书适合高中师生和广大数学爱好者研读。

 

【总    序】

俗话说:“自古华山一条路”,如果将学数学比作爬山,那么精通之道也只有一条,那就是做题,做大量的习题.

华罗庚曾将光看书不做习题比作“入宝山而空返”.

著名数学家苏步青教授读书时为学好微积分,光是不定积分题就做了近万道.近年来,参加国际中学生数学奥林匹克的中国选手们,则更是因为遍解难题,才得以屡获金牌.正所谓“踏遍坎坷成大路”.

然而解数学题却不是一件容易的事,世界级解题专家、美国数学教育家波利亚曾不无悲观地说:“解题同钓鱼术一样永远不会学会”.但解题作为一项有规则的活动还是有一些方法可学,至少是可模仿的.华侨大学的王志雄教授曾说出这样的体会:“相对于问题似欲爆炸,题型不断更新,方法是较少也较稳定,如能较深入地、熟练地、灵活地掌握一些重要的解题

方法,将使我们如乘快艇,得以优游于题海之上,达到数学王国的彼岸.

近年来,由《美国数学月刊》前主编、美籍加拿大老数学家哈尔莫斯(Halmos, Paul Richard)一句“问题是数学的心脏”的惊人之语,将解题运动推向高潮.1987年在上海举行的国际

数学教育研讨会上,美国南伊利诺伊大学的JP・贝克(Baker)教授在他的以《解题教学―

―美国当前数学教学的新动向》为题的报告论文中指出:“如果说确有一股贯穿20世纪80年代初期的潮流的话,那就是强调解题(Problem Solving)的潮流”.

为了配合这股潮流,世界各国大量出版数学问题与解题的丛书,真是汗牛充栋,精品纷现.光是著名的斯普林格出版社(Springer Verlug)1981年开始出版的一套高水平的《数学问

题丛书》至今就出版了20多种.我国教育界及出版界十分重视这类书的出版工作,早在1949

2月,旧中国教育部曾举行会议为补救当时数学教育质量低下提出了四点建议,其中一条

是提倡学生自己动手解题并“希望各大书局大量编印中学解题参考用书”.近些年我国各大出版社出版了一些中学数学教育方面的丛书,如江苏教育社的《数学方法论丛书》(13),北大出版社的《数学奥林匹克》系列及翻译的美国的《新数学丛书》,湖南教育社的《走向数学丛书》,但直至今天似乎还没有迹象表明要推出一套大型解题方法丛书.

哈尔滨工业大学出版社作为一“边陲小社”,出版这样一套丛书,尽管深感力所不逮,但总可算做一块引玉之砖.

最后编者有两点忠告:一是本丛书是一套入门书,不能包解百题,本丛书在编写之初曾以“贪大求全”为原则,试图穷尽一切方法,妄称“解题精技,悉数其间”.然而这实在是不可能的,也是不必要的.正所谓“有法法有尽,无法法无穷”.况且即使是已有的方法也不能生搬硬套.我国继徐光启和李善兰之后的清末第三大数学家华衡芳(18351902)曾指出:解题要随机应变,不能“执一而论”,死记硬背为“呆法”,“题目一变即无所用之矣”,须“兼综各法”以解之,方可有效.数学家惠特霍斯(Whitworth)说过“一般的解题之成功,在很大的程度上依赖于选择一种最适宜的方法”.

二是读者读本丛书一定要亲自动手解题.正如陕西师大罗增儒教授所指出:解题具有探

索性与实战性的特征,解题策略要在解题中掌握.

最后,我们送给读者一句德国著名数学家普林斯海姆(18501941Pring sheim,Alfred)的名言.

不下苦功是不能获得数学知识的,而下苦功却是每个人自己的事,数学教学方法的逻辑严格性并不能在较大程度上去增强一个人的努力程度.

愿读完本丛书后,解题对你不再是难事.

刘培杰

20131215

于哈工大

 

【前    言】

台湾地区知名人士俞大维先生自谓平生受益的书仅一部半,即半部《论语》,教会处世做人道理;一部《几何原理》,给以敏锐逻辑思考和高度判断能力.

俞大维先生曾留学哈佛大学,其专业是数理逻辑. 在国民党高级将领中算是一员儒将. 抗日战争时期在重庆还专门为破译日军密码请教过华罗庚先生,他对《几何原理》如此推崇也体现了几何在培养人逻辑思维能力中不可或缺的地位.

立体几何是平面几何的继续,它对学习者有更高的智力要求,有人将人的智力分成了七大方面. 其中空间想象能力是一大方面. 据研究还是先天带来的,后天很难培养,但由于高考还考它,所以还要加强辅导和培训,正所谓知不可为而为之,不过由于高考对考生的要求不是很高,普通考生还是完全有可能后天补足的.

我们先概述一下立体几何的研究对象及其地位和作用.

立体几何的研究对象是空间图形. 具体地讲,它主要研究空间图形的基本位置关系、主要性质、画法及其有关的度量问题.

首先,立体几何是平面几何的发展.

中学立体几何课程是在初中数学特别是平面几何课程的基础上开设的. 进行立体几何教学常常需要综合运用初中数学特别是平面几何、锐角三角函数、解三角形的基础知识.

平面几何的研究对象是平面图形,平面图形是空间图形的特殊情况. 因此,在立体几何中,平面几何的一系列内容得到了深化和发展. 例如:

在平面几何中图形的基本元素是点和直线,而在立体几何中则增加了平面这个基本元素, 这就使基本元素的相关位置由点与直线、直线与直线拓展到点与直线、点与平面、直线与直线、直线与平面和平面与平面;在平面几何中两条直线的相关位置只有相交和平行两种,而在立体几何中由于突破了面的限制, 两条直线的相关位置有了异面的可能,从而使我们对两条直线相关位置的认识进一步深化,对客观世界空间形式的认识更近乎真实.

关于平行的概念和平行线的传递性,在平面几何中不可能获得全面的认识,而在立体几何中我们不只认识了不在同一平面内多条直线的平行关系,对比异面直线的特性进一步完善了对直线平行关系的认识,而且从直线与平面平行、两个平面平行丰富了平行概念的内涵.

角的概念在立体几何中不只从相交直线的夹角拓展到两条异面直线所成的角,而且拓展到直线与平面所成的角和两个平面所成的角,使角的概念深化.

射影概念、距离概念在立体几何中也得到了进一步的拓展和深化.

在立体几何中有关立体图形的度量问题, 既要运用空间图形的基本概念和相互关系,又要将立体几何问题回归为平面几何问题来求解,这就为平面几何、锐角三角函数和解三角形等提供了更加广阔的应用范围,对初中数学知识起到了加深理解、提高综合、灵活应用和分析、解决问题能力的作用.

在基本研究方法上,立体几何和平面几何也有一定的继承和发展的关系. 例如:

不论是平面几何还是立体几何,都要运用推证通法来进行推理论证,但由于立体几何常用的定理数量少,空间图形往往可以分解为若干平面图形,所以在推证中间接证法和转化思想的运用有了进一步的发展;不论是平面几何还是立体几何,都需要从对图形、模型或实物的观察、分析入手,通过逻辑方法进行严格的推证. 但是在立体几何中,由于立体图形绘制在平面上时必然会产生崎变,这就要求在观察、分析立体图形直观图时有丰富的空间想象力. 同时对于运用逻辑方法的要求也更加严格.

在平面几何里求长度和面积,可用割补法将欲解问题转化为已知问题来求解,立体几何沿用这一思想,并进一步发展得到展平、分解、作截面等方法,将转化思想进一步深化.

在处理直、曲矛盾上,平面几何运用了以直代曲无限逼近的方法,立体几何继承了这个思想. 斗进一步发展到无限细分求和的高度.

总之. 立体几何是建立在初中数学主要是平面几何基础上的,同时深化、发展了平面几何的内容,并为平面几何、锐角三角函数、解三角形以及初中代数等许多知识的综合、灵活运用提供了机会.

在深化、发展初中数学基础知识和综合、灵活运用这些知识的过程中,逻辑思维能力、运算能力、尤其是空间想象能力是必不可少的. 由此可见,立体几何在学生数学能力的发展中占有重要的地位,有着独特的作用.

其次, 立体几何是后续课程中有关图形研究的基础.

立体几何的基础知识和通过学习立体几何培育起来的数学能力是学习解析几何、微积分、制图等后续课程中的前提和基础. 同时,如同立体几何深化、发展了平面几何的有关内容样,上述后续课程的学习也深化、发展了立体几何和平面几何的某些概念和方法,使人们对空间图形的认识达到了更加完善的程度. 例如:

在解析几何里引进了坐标系,几何图形作为动点轨迹加以研究的方法才得以完善, 相切的概念于是更加清晰,用代数方法研究几何图形把转化思想推向更高的层次;

在学习了微积分以后,立体几何中简单多面体和旋转体的表面积、体积公式的推导就有了理论依据,并使各种形体间的内在联系得到进一步的揭示;

在画法几何和制图学里, 立体几何直观图画法规则得到深化、完善,分解结构的思想反映在画图上出现了视图, 使空间想象从整体形象发展为整体与部分的辩证统一.

总之,立体几何是后续课程有关图形研究的基础, 是几何学系统中承前启后的重要环节.

最后需要指出的是:立体几何是实用性较强的一门课程.

立体几何的基础知识和基本方法在解决实际问题中有着广泛的应用. 例如:

在检验、测定平面时常应用平面的基本性质;

在判断立柱与板面垂直时要利用直线与平面垂直的判定定理;

过平面外一点作与平面内一直线垂直相交的直线时常利用三垂线定理;

在计算几何体的表面积和体积时要用有关的表面积、体积公式.

在制造各种形状的容器或物体时要用有关的侧面展开图,等等.

总之,立体几何是中学数学中实用性较强、应用范围较广的一门课程.

综上所述,立体几何是平面几何的发展,又是后续课程中有关图形研究的基础;是培养学生数学能力特别是空间想象能力的极好素材,它在解决实际问题上的作用十分突出,是中学数学的重要组成部分.

中国古代虽在求体积中有著名的“祖恒原理”提出,但其教学体系还是学习西方的.

1840年,英国传教士麦都思在上海所创办的“墨海书馆”除了传播宗教类读物之外,亦翻译、出版过一些自然科学类书籍. 其中《续几何原本》是当时书馆最著名的译文科学书籍.

在本书即将成书之际浙江省宁波雨江职高的一位教师邵剑波发来了一篇论文,正好是属于用初等方法来研究四面体体积公式的,附于本书后,希望对喜欢在教学之余进行研究的高中数学教师和学有余力致力于进一步探讨的优秀高中生有所启发.

有一位网友用立体几何思维写了一个有趣的段子:“伸手触摸你身体的每一寸肌肤, 与心的距离. 总是相等.”看到这首诗. 我想了一会儿,觉得作者爱上了一个球.

读完本书你也会爱上立体几何这门课的.

刘培杰

20131215

于哈工大

 

 

【目    录】

第一编解题方法编

怎样作立体几何中的辅助垂线 //3

怎样用体积方法解立体几何题 //6

怎样应用立体几何中的等积变换 //9

怎样利用休积关系证立体几何问题 //12

怎样用构造图形法解立体几何问题 //16

怎样利用一般方法解立体几何计算题 //18

怎样利用求四面体体积的新公式计算 //23

怎样利用基面解立体几何问题 //26

怎样作正方体的截面 //31

怎样过正方体上任意三点作截面 //34

怎样计算台体中平行于底的截面面积 //36

怎样用侧面与底面夹角计算侧面积 //39

怎样作棱柱与棱锥的截面图 //41

怎样画多面体截面直观图 //44

怎样学会画空间图形 //46

怎样用楼长表示四面体的体积 //49

怎样求类特殊旋转体体积 //53

怎样利用三棱锥体积公式解题 //55

怎样用四面体的外接平行六面体解一类立体几何题 //57

怎样使用四面体余弦定理 //59

怎样计算锥体中的比例分配问题 //62

怎样用割法推导公式  //64

怎样求几何体公共部分的体积 //68

怎样确定三棱锥顶点在底面上射影的位置 //71

怎样使用球面三角余弦公式 //71

怎样利用囚面体计算空间图形 //78

怎样用割补法解立体几何题 //81

怎样用三面角的余弦定理解高考题 //83

怎样解动态型的立体几何问题 //88

怎样用正方体解证立体几何题 //91

怎样解立体几何开放题 //94

怎样将空间问题转化为平面问题 //97

怎样借助向量解立体几何题(Ⅰ)//101

怎样借助向量解立体几何题(Ⅱ)//105

怎样用空间向量内积求异面直线所成的角 //107

怎样用平面的法向量求二面角 //110

怎样用向量法求空间角的大小 //113

怎样巧用平面的法向量解立体几何题 //117

怎样利用向量处理立体几何问题 //120

怎样用向量解立体几何中的“动态问题”//123

怎样用数量积公式解立体几何问题 //125

怎样用万能求积公式解历年高考求积题 //128

怎样巧构几何体速解多球相切题 //134

怎样对立体几何题进行整体处理 //137

怎样思考积木问题 //142

第二编试题精粹编

附录通过量纲分析发现三边求积与六棱求积公式 //189

   
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