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书名:《抽象代数――方法导引》 英文书名:Abstract algebra――method guiding
丛书系列: 大学教材系列 图书编号:∑257
作者:徐诚浩 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-4062-3 开本:787mm×1092mm 1/16
版次:2013年6月第1版 2013年6月第1次印刷 印张:10.75  字数:200千字千字
定价:38.00元元 页数:161

 

【内容提要】

本书着重介绍抽象代数基础理论(群、环、体、格与扩域)中的各种解题方法与技巧,并配有近200个例题和300多道习题(基本上有提示或答案).所列出的约90个比较重要的定理是读者必须掌握和运用的.

本书可供理工科的教师讲授和学生学习抽象代数课程时参考,也可作为报考研究生者的复习资料.

 

 


  

【重版说明】

本书是在1989年由复旦大学出版社出版的,至今已有24年了.在这段时间内,不少读者反映书中的概念叙述清楚,定理的证明简洁,书中的例题对于学习抽象代数很有帮助,习题颇具典型性,因此经常有读者来函询问何时能够重印,然而总不能如愿.近日欣悉刘培杰数学工作室,为了数学的教育传承和发展,克服种种困难寻找各种途径,立志要把一些早期的经典著作重新出版发行,而这些书在书市中已几乎绝迹,但是还有一定的需求.于是,本书终于能够重印了!

借用这次重印之机,我把原书中的一些已经发现的各种错误和印刷模糊的地方都详细予以更正,但是,却无法在内容上更新.

哈尔滨工业大学出版社的张永芹和徐丽等有关同志,为了重印这本书付出了巨大努力,特致以衷心感谢.

 

徐诚浩 

20133

于上海 

 


  

【前  言】

这是一本介绍抽象代数基础知识和解题技巧的学习方法辅导书.在编者多次讲授这门课程的基础上,并根据历经三次修改的自编讲义,本书系统地整理了一些基本概念、重要定理与解题方法,特别还收集并改正了学生在初学阶段易犯的各类错误.

学习抽象代数的困难,主要在于对抽象概念的理解,其次才是解题技巧!解题的技巧主要来源于对概念的透彻理解.忽视概念而企求漂亮的解题技巧,是一种最忌讳的学习方法.因为它最多只能学会机械地生搬硬套,而不会举一反三.这实际上等于没有掌握解题的方法.所以读者的学习重点应放在对概念的正确理解上,善于对各概念举出正例和反例.当然,也经常出现这样一种情形:同一道题有多种解法,其繁复与简洁相差悬殊!这不仅仅取决于对概念是否理解,而且还反映了读者对有关基本定理是否掌握,对各种基本技巧是否能运算自如.因此,本书在讲清各种概念的前提下,介绍了一些常用解题方法和技巧.在书中列出的定理是相当基本的,所给出的证明(包括定理和例题)是相当简洁的,并同时尽可能举一些反例作辅助说明.每看完一个证明,应找出关键步骤和所用技巧,然后归纳整理成便于记忆的几条,这无疑是收效甚大的学习方法.

在现有的各种抽象代数书籍中,所用术语极不统一!为此在本书中不得不花一些篇幅来叙述概念.并在每个概念之后配备若干例子和习题,作为对一些概念的补充说明或应用,并指出各相关概念之间的区别与联系,这一部分习题是比较容易的,也是基本的.本书在每章末所配的习题大都是一些较难和综合性的习题,用以让读者作对概念理解程度的自我鉴定.*号的内容可略去不看.

本书主要供教师或学生在讲授或学习抽象代数时作参考,也可作为报考研究生者的复习资料.

限于本人水平,书中难免有处理不当,甚至错误之处,恳请同行和读者批评指正,本书中部分习题的解题方法是由姚慕生、黄昌令、徐崇业、严民和陈毓卿等同志提供的,我在此向他们表示衷心的感谢.

 


  

【目  录】

第一章 集合与映射 // 1

§1 集合 // 1

§2 映射与变换 // 2

§3 代数运算与等价关系 // 4

习题一 // 6

第二章 群论 // 8

§1 群的各种等价定义 // 8

§2 群中元素的阶 // 10

§3 子群 // 12

§4 正规子群与商群 // 14

§5 同态定理与同构定理 // 19

§6 循环群与有限生成群 // 24

§7 变换群与置换群 // 27

§8 可解群 // 34

§9 Sylow定理 // 36

§10 直积 // 40

§11 有限生成交换群基本定理 // 48

习题二 // 51

第三章 环与体 // 57

§1 环 // 57

§2 体 // 62

§3 特征数 // 65

§4 同态与同构 // 66

§5 环上的多项式环 // 70

§6 理想 // 73

§7 商环 // 82

§8 唯一分解环 // 86

习题三 // 94

第四章 格论 // 99

§1 偏序集 // 99

§2 格 // 101

§3 分配格与模格 // 106

§4 布尔代数与布尔环 // 113

习题四 // 116

第五章 扩域理论 // 119

§1 代数扩域 // 119

§2 多项式的分裂域 // 123

§3 多项式的重根 // 130

§4 可分扩域 // 136

§5 伽罗瓦群 // 140

§6 伽罗瓦扩域基本定理 // 143

§7 阿贝尔扩域与循环扩域 // 149

习题五 // 152

编辑手记 // 154

 

 


  

【编辑手记】

1968年著名的POP ART艺术家安迪玖霍尔说了一句预言:每个人都可以成功15分钟.”

对一个作者来说,出一本书让当时读到这本书的人记住并不难,难的是时隔20多年还有人记得,这可就不是仅仅成功15分钟了.

本工作室在成功的推出了阿廷的《伽罗瓦理论》后就有读者提议要求重版本书,在本书之前我们重版了先生的《古典数学难题与伽罗瓦理论》,反响不错.

重建后的人民出版社第一任社长胡绳同志多次指出:一个国家的出版要有门槛,如果我们把门槛放低,学术风是会变坏.”

余生也晚,我们所理解的出版门槛有两道,一是作者水平,二是书稿质量,先说作者水平.笔者远非行家,不便妄断.但仅凭毕业于南京大学,曾工作于中国科学院数学所,长期任教于复旦大学数学系,这三点一线的傲人简历足以证明此人绝非等闲.

其次再来说内容.有人可能觉得既然叫抽象代数,那当然是越抽象越好,越抽象水平越高,越抽象越高级.而本书恰恰是在抽象代数书中比较具体、比较通俗、比较初级、比较简单的,那还有什么出版价值吗?最近读了一篇传奇华人数学家李天岩教授的自述.他本科就读于台湾清华大学数学系,后到美国留学.他回忆说:

 当初去马里兰大学(University of Maryland)读研究生是一个巧合,遇到后来的指导教授约克(James A. Yorke)更是一个极大的巧合。记得约克教授头一次看了我当初在清华念书的档案时,显然是吃了一惊.以为我是哪路杀来的高手,功力无比深厚.现在回想起来那个档案里所记录的实在是有极大的误导性(misleading;英文这字有时是指人欺诈的礼貌性用词).看那!我在念大二的三高时,高等微积分用的是Apostol的数学分析;高等几何用的是Halmos的有限维向量空间;高等代数用的是N.Jacobson的抽象代数讲义;微分方程用的是Coddington的常微分方程导读.大三念近世代数时,用的是van der Waerden的现代代数;念复变函数论用的是Ahlfors的复分析.另外,大三还念了拓扑学、数论;大四念了泛函分析、李群、实变函数论(用的是Royden的实分析),微分几何(用的是Hicks的微分几何讲义).这些课不但都修过,而且成绩都不错(大四修的课都在90分以上).在表面上看来,这个记录的确是相当牛了,不是吗?可是今天把那些教科书拿出来翻一翻,实在很难想象当初是怎么混过来的.好比说,Ahlfors那本书的水平不低,它绝对不适合做初学复变数函数论的教科书.记得我们大二学高等微积分时,教授根本就跳过了线积分(现在想来,大概根本的原因还在于Apostol那本书过于高深,教授不可能教完书里大部分的材料).可这本教材基本上是假设阁下已经清楚地掌握了所谓的复数面上的线积分(contour integral.若是对线积分都不甚了解,我很难想象当时怎么去理解柯西积分定理(Cauchy integral theorem)等基本概念.那时的老师们好像都觉得能用愈深的教科书(其实每本书都号称是self contained'即自成一体)学生自然就会变得高档次'吧!

其实抽象数学的出发点多半起始于对实际问题所建立的数学模式,然后将解决问题的方式建立理论再抽象化,希望能覆盖更一般性的同类问题.因此在学习较高深的抽象数学理论之前,多多少少要对最原始的出发点和工具有些基本的认识.要不然,若是一开始就搞些莫名其妙的抽象定义,推些莫名其妙的抽象定理,学生根本无法知道到底是在干些什么.可是为了考试过关,只好跟着背定义、背定理、背逻辑,一团混战.对基础数学实质上的认识真是微乎其微.我们那时的学习环境大致如此.

另一位数学大师(哈尔莫斯)也曾说过:一个好的数学家手中常常有许多例子,而差的只有一些抽象的理论.”从这一点说本书是好的.

尼采说过:艺术,她在人生的光景上披上了一层含混的思想的面纱,使生灵挨过生涯.”能够帮助人们挨过生涯的除了艺术还有数学.先生现在已是一位老人,身藏支架,但对数学的热爱使他仍老当益壮,老有所乐.这是数学人的幸运.本书的再版更说明了这一点.

 

刘培杰

2013415

于哈工大

   
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