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书名:第19~23届“希望杯”全国数学邀请赛试题、审题要津、详细评注.高二 英文书名:
丛书系列: 初高中数学辅导精品系列 图书编号:∑336
作者:周国镇主编 出版社:哈尔滨工业大学出版社
ISBN:978-7-5603-4641-0 开本:787mm×960mm 1/16
版次:2014年3月第1版 2014年3月第1次印刷 印张:17.75  字数:199千字千字
定价:38.00元元 页数:249

 

【内容简介】

    本书以审题要津和解法研究的模式对历届“希望杯”试题进行了系统的解析和研究。

    本书适合于高二年级的教师、学生及广大数学爱好者阅读。

 

【序��言】

1.一项好活动

崔健说:“年轻人没有超过老人,也是老人的失败.”中国古代数学曾达到了非凡的高度,可以说是独步天下.但宋元之后逐渐式微,其中落后的数学教育(姑且这样称.因为从严格意义上中国古代并没有今天所谓的数学教育)是一个原因.正如邓小平提出:“学电脑要从娃娃抓起.”数学也是一样,一个师傅带一个徒弟是不行的,要更广泛、更普及、更有效率.

《环球人物》杂志曾为此访问过《中国童话》的作者――台湾作家黄永松.他说:“台湾物理学家沈君山老师给我讲过一件事,他说围棋高手吴清源和日本人木谷实是‘瑜亮'之争,后来木谷实回日本乡下,吴清源很不解.1952年,吴清源在台湾收了弟子林海峰,林海峰很争气,拿了好几个冠军.就在林海峰要步入巅峰时,突然发现周围出现了很多年轻高手,这些都是木谷实的学生.原来,当年木谷实回乡下后,专收8岁的孩子做学生,成立了木谷门.这对我启发很大,你想明天更好,就要从孩子入手.小孩子觉得好会记住,甚至影响他一辈子.

“希望杯”全国数学竞赛以初一为起点,始于20世纪90年代,是由时任北京人大附中数学教师的周国镇先生发起的.

据《中国青年报》在1984年的一项调查显示,当年最受人们欢迎的职业的前三名分别是:出租车司机、个体户和厨师,而最后三名则分别是:科技工作者、医生和教师.

可见当年教师的社会地位是很低的,甚至可以说是边缘化的.但是“希望杯”竞赛活动一经启动便得到了全国各地的热烈响应.大有“星星之火,可以燎原”之势.20多年过去了,“希望杯”全国数学邀请赛这把火终于燃遍了中国,甚至还走出了国门.

有作家说,当社会迷茫的时候,知识分子应当先清醒;当社会过于功利的时候,知识分子应该给生活一些梦想.

笔者有幸参加了第1届“希望杯”的全国会议,会议是在颐和园中的龙王庙内召开的.来自全国各地的参加者精神振奋,因为终于有了一个属于普通学生的大众型数学竞赛.以往的全国联赛都是精英型的,只有少数极优秀且有一定数学天赋的学生才能参加.笔者初中一直任数学课代表,考到了省重点高中后竟连数学课外小组都进不去,更何况参加全国数学联赛了,所以总在想:那时要有“希望杯”竞赛就有希望了.

前岳麓书社总编辑、出版家钟书河说:“从自由度上讲,现在比20世纪80年代进步了,但是我们的人不行了.”他说,现在的人肯定是越来越聪明了,但是“没有理念了”.

进入21世纪后,特别是近些年,数学联赛逐渐演变成了一块进入全国重点大学的“敲门砖”.许多人并不擅长也并不喜爱数学,在功利心日重的家长们的精心安排下,学生们从小学就杀进了奥数大军中,于是乎被社会上唯利是图的教育机构所利用,逐步演变成了一场全民的梦魇.而贴近课本的“希望杯”一直保持着平民本色.考好了没什么优先政策,考砸了也没有什么大不了,下次再来.

蔡元培说:“知教育者,与其守成法,毋宁尚自然,与其求化一,毋宁展个性.”教育面对的是千千万万极具个性的个体,其数学素养及水平自然参差不齐,如果举办数学竞赛,就需要有多个层次,以适应不同水平的选手参加.美国这方面就做得比较好,除了人所共知的

美国数学奥林匹克(USAMO),还有美国大学生参加的普特南数学竞赛(PTN)、美国数学邀请赛、美国中学生数学竞赛等等,仅中学生参加的就有五个层次之多,与此同时,还不断产生新的竞赛.近年在美国,每年有数千名初中学生和高中一年级学生会参加全国中学生数学竞赛(Mathcounts.这项竞赛是在1983年由美国国家专业工程师协会(National Society of Professional Engineers)、国家数学教师委员会(National Society of Teachers of Mathematics)和CNA保险公司共同创立的.比赛的目的是为孩子们创造一个机会,来磨炼他们的数学技艺,并鼓励他们与其他孩子相互竞争,就像拼字比赛(Spelling bees)一样,是要奖励那些在压力之下成绩出众的人.在美国中学生数学竞赛中,每所学校派出由四名学生组成的代表队,首先参加地区级比赛(通常包括一个城市及其郊区),得分最高的队伍和个人再参加州级比赛,然后每个州成绩最好的四名选手组成一支队伍,进入到全国范围的角逐.

在笔者写此序言之际,收到了这样一则微信,原文如下:

中国从1985年开始派选手参加国际数学奥林匹克竞赛(IMO),至今共参加25届,共有154人参赛,其中120人获得金牌,取得的成绩令世人瞩目,傲视群雄. 奥数竞赛在选拔人才、增强自信心和激发数学学习兴趣上成绩斐然,功不可没. 但是同时很多专家认为,随着奥数成为普及型、大众性的活动,它的作用已逐渐被异化. 原本是培养学生对数学的学习兴趣、提高学生的逻辑推理能力、发现和选拔数学精英的竞赛,却变成了比拼解题技巧、机械大量做题的强化训练. 这种强迫式的学习,最后不仅不会让学生爱数学,反而会恨数学.达到目的以后,数学就会在他们的追求中“退场”. 在数学奥赛上获奖以后,却很少有人继续从事数学研究. 据统计,我国154位国际数学奥林匹克竞赛参赛者中, 将数学作为终身研究职业的仅在10位左右,其中一多半在国外发展. 中国为什么会有“钱学森之问”?为什么建国60多年了,创新还是难题?原因就是我们的教育对于创新型人才的培养是不利的. 中国的青少年几乎是世界上学习负担最重、最没有欢笑的. 让青少年长期处于慢性压力之中,是损害青少年身心健康的. 过早的慢性压力逐渐抹杀了青少年学习数学的兴趣,导致他们到了大学后劲不足. 但奥数竞赛的功利性并非与生俱来,美国、俄罗斯以及欧洲各国都没有这种现象.

美国“数学大联盟杯赛”竞赛试题灵活、生动,富有趣味性和挑战性,同时贴近生活. 让学生理解数学、欣赏数学,激励学生创新,激发学生学习数学的兴趣,培养学生主动探索的精神. 使孩子们体会到学习数学会使人有创造性和灵感,会使用逻辑推理,有理性,灵活、快乐地生活、工作和做决策.

在美国和加拿大每年有超过一百万名学生参与, 对比美国和加拿大的学生总数,这是一个相当大的数字, 由此可见美国“数学大联盟杯赛”影响之广泛. 对中小学生来讲,参与和兴趣是最重要的. 在中国推广美国“数学大联盟杯赛”可以让中国的学校、老师、学生、家长、教育工作者领略美国最为普及、最受欢迎的数学竞赛的原貌, 希望对中国教育制度改革的探索、提高学生素质和创新能力的培养贡献一份力量.

远水难解近渴,“希望杯”就是我们身边的“数学大联盟杯赛”.

“希望杯”竞赛也分初赛和决赛,但有所不同的是它的民间色彩更浓.这暗合了“十八大”所提倡的鼓励民间力量发展壮大的思路.

2.一份好试题

音乐人高晓松曾说:“每天都很‘有意义',但是有意义常常没意思.

数学竞赛的一个重要功能是激发学生对数学的兴趣,就是让他觉得有意思.如果一个学生觉得数学题今天做了明天还得做,那就是勉强在学,觉得没意思.如果一个学生觉得数学题今天刚刚做完明天还想做,那就不一样了,那他就是觉得数学有意思.

一项数学赛事,试题是关键.一份好的试题应该是既有趣味又有高深背景的.

“希望杯”的试题出得好.说它好是因为它“顶天立地”.往上追溯可以到数学的前沿,因此说它“顶天”.“希望杯”的试题又很亲民,只要你把课本学会,半数以上的题你也能得心应手,所以很接地气,故此说它“立地”.

例如1991年第2届“希望杯”全国数学邀请赛高中二年级第1试的最后一题是:

 

仅从如上几例不难看出,“希望杯”试题不仅独具亲和力,也是中考、高考复习中查缺补漏的绝好素材.

在“希望杯”竞赛初中卷中几何试题较多.正如菲尔兹奖得主丘成桐所指出:平面几何所提供的不单是漂亮而重要的几何定理,更重要的是它提供了在中学期间唯一的逻辑训练,是每一个年轻人所必需的知识……将来无论你是做科学家,是做政治家,还是做一个成功的商人,都需要有系统的逻辑训练.我希望我们中学把这种逻辑训练继续下去.中国科学的发展都与这个有关.(丘成桐在北京师范大学附属中学的演讲)

如果非要将“希望杯”竞赛与其他竞赛做一个比较的话,那么注重计算也应该算是它的一个显著特点.按一般人的理解,似乎证明能力比计算能力更高级一点,其实不然,许多著名数学家的计算能力都是超强的.华罗庚、陈省身这样的大家都有非常强的计算能力.他们不仅敢于计算,而且还非常善于计算,像华罗庚与王元合作搞起来的利用数论的方法进行积分的数值计算开辟了计算数学的一个新方法.像冯康先生首创的有限元法也是计算数学领域的一大成就.像为美国原子弹研制做出重大贡献的费米更是一位计算高手,他曾推导出了现在

通称的托马斯-费米方法�(Thomas Fermimethod).对于这个方法中的微分方程,费米用一个小而原始的计算尺求出了其数值解,此项计算也许花了他一个星期.马约拉纳(E.Majorana)是一位计算速度极快而又不轻信人言的人,他决定来验证费米的结果.他把方程式转换为黎卡蒂方程(Riccati Equation),再求其数值解.所得结果和费米得到的完全符合.

费米喜欢用计算器,不论是小的还是大的计算器他都喜欢用.那些当时在芝加哥的研究生们都看到了他这个特点而且都很信服.显然在事业的早期,他就已爱上了计算器,并且这个爱好一直延续到他的晚年.

有人说一千个人读莎士比亚就有一千个哈姆雷特.“希望杯”试题也是一样.随着数学修养的不同,看试题和解试题的角度也不同.

2012年第23届“希望杯”全国数学邀请赛高中一年级第2试最后一题为:

 

3.一个好班底

其实本书的成功有赖于两个优秀的班底.第一个当然是以周国镇先生为首的竞赛命题委员会,它汇聚了许多数学界的精英,如华罗庚当年推广优选法时的助手:计雷、徐伟宣、那吉生、余其煌等,可谓高端、大气、上档次.第二个班底就是由“希望杯”天津市组委会负责人王成维老先生组建的写作集体,其中王世�、余凤冈、孙家文、邵德彪都是津城屈指可数的解题高手.他们痴迷于数学解题,虽多数人年老体弱但执着认真.有人曾这样描述2013年获诺贝尔物理学奖的80岁的英国物理学家希格斯:希格斯确实与众不同,他的生活中没有电视,没有电脑,很少接电话,电子邮件也是别人替他回复.对他而言,只要有黑胶唱片、物理学刊物以及一支已经削好随时能用的铅笔就够了.天津这个班底只是年龄比希格斯稍小点,其余的都挺像.

关于在数学人中年轻和年老怎样区分这个问题,20世纪80年代中期,俄罗斯数学家弗拉基米尔・伊戈列维奇跟他的学生谈起过,在不同的社会中,“年轻”(特别是年轻的数学家)的概念是如何的不同.比如说,莫斯科数学会每年颁奖给一位30岁以下的年轻数学家.著名的菲尔兹奖只颁发给在国际数学家大会开会当年年龄不超过40岁的杰出的年轻数学家.而阿诺德则这样定义何为“年轻”:“数学家只要还读除他自己以外别人的工作,他就是年轻的!”

而在现代这个老龄化社会中,标准似乎应该是:如果一个人还能工作,还能做有益于社会的人,那他就算年轻人.

1998年,萨缪尔森在为《经济学:一个介绍性分析》出版50年的纪念珍藏本所写的前言中风趣地说:“看到中世纪的三个正在劳动的人,乔瑟问他们在干什么?第一个人说:‘我在挣钱,钱还不少.'第二个人说:‘我在把石头和玻璃雕刻成美妙的形状.'第三个人则声称:‘我在建一座教堂.'当我撰写《经济学》第一版时,我实际上在同时做这三件事,尽管我当时并不知道.

作为天津“希望杯”组委会的负责人,本书的编写组织者王成维老先生虽已年过古稀,但他身边聚集着一批“最美不过夕阳红”的老年数学工作者.他们以建教堂一样宗教般的热情,连篇累牍地撰写着数学的书籍,从中考到高考.近年来这些书籍在社会上引起了不小的反响.今年他们又向更高的目标迈进,以审题要津和详细评注的模式对历届“希望杯”试题进行了系统地解析和研究.中国出版的各级各类数学考试的解答有一个共同的问题,那就是同质化,大同小异、千篇一律,并且太依赖于命题组给出的标准答案,有的竟一字不改,而

且根本看不出解题思路,这与带着什么样的感情去写有关.若是对数学无感情的人,应付是最佳选择,但如果是对数学充满感情那就大不一样了.

而本书的字里行间倾注着编写者对数学的饱满热情和对读者的高度责任感.他们从应当如何审题入手,告诉读者的是,应当怎样想,为什么这样想,而提供的解法也十有八九与标准答案不同.对这种“手工制作”的原创版,说它是奢侈品也不为过.

19207月,许地山从燕京大学文学院毕业,留校任助教.3个月后,他的夫人林月森因病去世,这对许地山打击极大.

许地山的作品里,描写爱情的内容极多,他曾这样写过:“我自信我是有情人,虽不能知道爱情的神秘,却愿多多地描写爱情生活.我立愿尽此生,能写一篇爱情生活,便写一篇;能写十篇,便写十篇;能写百千亿万篇,便写百千亿万篇.

本书的作者们,这个老年团体也是这样.本书成稿过程中,王成维、余凤冈等老先生数度住院但仍坚持�写作.

1921年,陈垣创办北京孤儿工读园.校门上挂着一副对联“无私蓄,无私器,同惜公物;或劳心,或劳力,勿做游民.

中国即将进入老龄化社会,如果老人们都能如天津的这个写作班子一样或劳心,或劳力,则“中国梦”的实现指日可待.

刘培杰     

20131231

于哈工大   

 

  

【目��录】

 

1  2008年第19届“希望杯”高二  1

1  1

2  27

2  2009年第20届“希望杯”高二  53

1  53

2  79

3  2010年第21届“希望杯”高二  107

1  107

2  130

4  2011年第22届“希望杯”高二  152

1  152

2  177

5  2012年第23届“希望杯”高二  202

1  202

2  226

   
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